高等流體-第二講,流體運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、2021-11-251第二章第二章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)流體運(yùn)動(dòng)學(xué) 流體運(yùn)動(dòng)的描述流體運(yùn)動(dòng)的描述 Helmholtz Helmholtz 速度分解定理速度分解定理 無(wú)源有旋流動(dòng)與無(wú)旋流動(dòng)無(wú)源有旋流動(dòng)與無(wú)旋流動(dòng) 簡(jiǎn)單平面勢(shì)流簡(jiǎn)單平面勢(shì)流 勢(shì)流疊加原理勢(shì)流疊加原理2021-11-252第一節(jié)第一節(jié) 流體運(yùn)動(dòng)的描述流體運(yùn)動(dòng)的描述拉格朗日方法拉格朗日方法歐拉歐拉(Euler)(Euler)方法方法跡線跡線, ,流線流線, ,脈線脈線 研究研究流體運(yùn)動(dòng)流體運(yùn)動(dòng)的兩種方的兩種方法法2021-11-253一、拉格朗日方法一、拉格朗日方法 拉格朗日方法著眼于流體質(zhì)點(diǎn),設(shè)法描述出每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)自始至終的運(yùn)動(dòng)過(guò)程,即它們的位

2、置隨時(shí)間變化的規(guī)律,又稱(chēng)跟蹤方法跟蹤方法. 以直角坐標(biāo)系為例講述.設(shè)初始時(shí)刻 ,流體質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)是 a，b, c, 于是流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律數(shù)學(xué)上可表示為:or：ott ),(tcbarr),(tcbaxx),(tcbayy ),(tcbazz 2021-11-254變數(shù)a,b,c, 稱(chēng)為拉格朗日變數(shù).流場(chǎng)中的速度:流場(chǎng)中的加速度:ttcbaru),(22tra2021-11-255 二、歐拉二、歐拉(Euler)(Euler)方法：方法： 這種方法著眼于研究流場(chǎng)中空間固定點(diǎn),又叫站崗法站崗法. 設(shè)法在空間中的每一點(diǎn)上描述出流體運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的變化狀況.設(shè) F為任一固定點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)的某些物理量,則:

3、 txxFtxxFtxxFtFttrFdtddtFdttrtxxtxxtxxrFF3,32,21,1213132,),(2021-11-256txxFtFtxxFtxxFtxxFtFttrFdtddtFdttritxirtxxtxxtxxrjFF,3,32,21,1213132,),(FutFxFutFdtFdii隨體導(dǎo)數(shù)2021-11-257 例如: 速度 (1)變數(shù)x，y，z，稱(chēng)為歐拉變數(shù). (2)均勻場(chǎng):運(yùn)動(dòng)參數(shù)不依賴于x,y,z (3)定常場(chǎng):運(yùn)動(dòng)參數(shù)不依賴于t 直角坐標(biāo)中: 總的速度變化即全加速度就是局部導(dǎo)數(shù)和位變導(dǎo)數(shù)之和,稱(chēng)之為隨體導(dǎo)數(shù)(物質(zhì)導(dǎo)數(shù)).),( truuzuuyuuxu

4、utudtduuutudtudxuutudtduxzxyxxxxjijii),(),(tzyxuutzyxuuxxyy2021-11-258三、跡線三、跡線, ,流線流線, ,脈線脈線1 1、跡線：、跡線：它是指確定的流體質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間過(guò)程中的運(yùn) 動(dòng)軌跡 對(duì)于一給定的速度場(chǎng) ，其跡線方程常由常微分方程組 確定且三個(gè)方程獨(dú)立。)3 , 2 , 1(),(321itxxxudtdxii),(321txxxui2021-11-259 2 2、流線：、流線： 它是在某一確定瞬時(shí)流場(chǎng)中的一個(gè)空間曲線族,凡是該族的一條曲線,都和曲線上每一點(diǎn)的瞬時(shí)流體速度相切。 流線方程: 0urdt , z, y, xudz

5、t , z, y, xudyt , z, y, xudxzyx2021-11-2510解： （1）流線的微分方程是 tydytxdx 上式中的 t 是參數(shù)變量，當(dāng)作常數(shù)，對(duì)上式積分，得 ln(x+t)=-ln(-y+t)+lnc 上式可寫(xiě)為 （x+t）.（-y+t）=c 由上式可知，在流體中任一瞬時(shí)的流線是一雙曲線族。 當(dāng) t=0，x=-1，y=-1，代入上式，得 c=-1。因此，通過(guò)點(diǎn) A（1，1）的流線為 xy=1 上式為等邊雙曲線方程，即流線是一等邊雙曲線，在第三象限。 例例 設(shè)在流體中任一點(diǎn)的速度分量，由歐拉變數(shù)給出為設(shè)在流體中任一點(diǎn)的速度分量，由歐拉變數(shù)給出為 ux=x+t， uy=

6、-y+t， uz=0。 試求試求t=0時(shí)，通過(guò)點(diǎn)時(shí)，通過(guò)點(diǎn)A（-1，-1）的流線與跡線。）的流線與跡線。2021-11-25112021-11-2512、脈線：、脈線： 是指運(yùn)動(dòng)流體中，用下述方法做成的一種“染色線”，在流場(chǎng)中的一個(gè)固定點(diǎn)處，用某種裝置（盡量小，而不致于對(duì)所要考慮的流動(dòng)發(fā)生明顯干擾）連續(xù)不斷的對(duì)流經(jīng)該點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)染色，許多染色點(diǎn)形成一條纖細(xì)色線稱(chēng)為脈線煙筒煙筒2021-11-2513第二節(jié)第二節(jié) HelmholtzHelmholtz速度分解定理速度分解定理 Helmholtz Helmholtz速度分解定理速度分解定理 渦量渦量2021-11-2514 一、一、Helmholt

7、zHelmholtz速度分解定理：速度分解定理：1、剛體的速度分解定理 任一剛體的運(yùn)動(dòng)可以分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 2、流體與固體運(yùn)動(dòng)的區(qū)別：流體運(yùn)動(dòng)要復(fù)雜得多，它 除了平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)外，還要發(fā)生變形。 對(duì)流場(chǎng)中M0點(diǎn)鄰域內(nèi)的流體微團(tuán)進(jìn)行分解： M0點(diǎn)速度為 ，鄰域內(nèi)任一處M,速度為 rvv0 0uuMzy,x,0M2021-11-2515 對(duì)流場(chǎng)中M0點(diǎn)鄰域內(nèi)的流體微團(tuán)進(jìn)行分解： M0點(diǎn)速度為 ，鄰域內(nèi)任一處M,速度為 在M點(diǎn)鄰域內(nèi)展成泰勒級(jí)數(shù),并略去二階無(wú)窮小量以上的項(xiàng),我們則可以得到： 或縮寫(xiě)成： 0uuuuuzzuyyuxxuuu00)1(0jjiiixxuuuMzy,x,0M2021-11-25

8、16其中 為二階張量可以分解成一個(gè)對(duì)稱(chēng)張量 和一個(gè)反對(duì)稱(chēng)張量 其中： : 線性變形速率 : 角變性速度jixuijSijAijijijjiijjijiASxuxuxuxuxu)(21)(21zxyxyzyzxzyzzxyzyxyzxxyxijzuzuyuxuzuzuyuyuyuxuxuzuyuxuxuS212121212121)(21)(21)(21)(21)(21)(212021-11-2517 與 對(duì)應(yīng)的矢量 ,其分量為: ， ， 即: -旋轉(zhuǎn)角速度021212102121210zuyuzuxuyuzuyuxuxuzuxuyuyzxzzyxyzxyxijAijAzyuuyzx21xzuuz

9、xy21yxuuxyz21urot21kijkija或2021-11-2518 所以：所以： 上式表明M0點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)流體微團(tuán)的速度由三部分組成: （1 1）平動(dòng)速度）平動(dòng)速度 ; ; （2 2）轉(zhuǎn)動(dòng)速度）轉(zhuǎn)動(dòng)速度 ; ; （3 3）變形速度）變形速度 jijjijjjiixxSxxuuaiu0rurotu212 rSu3 rsrurotuxsxauuijijjijii2100HelmholtzHelmholtz速度分解定理速度分解定理: : 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)可分解為平動(dòng)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)可分解為平動(dòng), 轉(zhuǎn)動(dòng)和變形三部分之和轉(zhuǎn)動(dòng)和變形三部分之和.2021-11-2519注：它等價(jià)于矢量積xyzxyzzyxx

10、ayxxzzyxyxzyzjij000rur)(21zyxkjirurotzyx212021-11-2520二、渦量二、渦量1、定義： 2、意義：表征流體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),為旋轉(zhuǎn)角速度的二倍.zyxjkijkuuuzyxkjixueurot2021-11-2521第三節(jié)第三節(jié) 無(wú)源有旋流動(dòng)與無(wú)旋流動(dòng)無(wú)源有旋流動(dòng)與無(wú)旋流動(dòng) 無(wú)旋流動(dòng)無(wú)旋流動(dòng) 有旋流動(dòng)有旋流動(dòng) 無(wú)旋流場(chǎng)速度表示無(wú)旋流場(chǎng)速度表示2021-11-2522 一、無(wú)旋流動(dòng)一、無(wú)旋流動(dòng) 對(duì)于直角坐標(biāo)系：即： （1） 無(wú)旋流動(dòng)又稱(chēng)勢(shì)流.由于(I)式成立,則： ；即 即存在速度勢(shì) ,使得: 注 :00zyxxuzuyuxuzuyuzxxyyz,0u0

11、urot gradu0rotgrad2021-11-2523把 代入連續(xù)性方程 ,可以得到: 在直角坐標(biāo)系中： -拉普拉斯方程。 它是一個(gè)線性的二階偏微分方程。 線性方程的一個(gè)突出特點(diǎn)就是解的可以疊加性,即如果 是上式的解,則這些解的任意線性組合 也是上式的解。 由于： 所以：u0 u000222222zyxnnccc.2211 graduzuyuxuzyxn,.,21（2）平面極坐標(biāo)形式r1urur 柱面坐標(biāo)形式zur1uruzr 勢(shì)流條件是流場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)無(wú)旋轉(zhuǎn)，而有粘性的實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)往往都是有旋轉(zhuǎn)的，只有遠(yuǎn)離固體壁面之處可近似看作是勢(shì)流。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，純粹的勢(shì)流是不存在的，勢(shì)流只是一種理論模型。二

12、、有旋流動(dòng)二、有旋流動(dòng)注意注意02021-11-2525 例題：已知一個(gè)二元不可壓流體為勢(shì)流 , 求在點(diǎn)(1,2) 處速度的大小. 22yx )/(52) 4(24222222221smuyyuxxuuuyxyyxx2021-11-2526例題：判斷流動(dòng)是否有旋已知圓管層流流動(dòng)場(chǎng)如下： ， ，其中， 為管中心最大速度解：故流動(dòng)有旋。kykyyuxukzkzxuzuzuyuxyzzxyyzx)2(21)(21)2(21)(210)(21)(22zykuumx0zu0yumu2021-11-2527 應(yīng)該指出應(yīng)該指出：有旋與無(wú)旋僅由流體質(zhì)點(diǎn)本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來(lái)決定，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡形狀

13、無(wú)關(guān)。 例如用黑白各半的小圓球表示流體質(zhì)點(diǎn)，如圖所示. （1）（2）雖然流體運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，但是(l)是無(wú)旋流，而(2)是有旋流。 （3）（4）流體運(yùn)動(dòng)軌跡是圓周，固然有可能出現(xiàn)（4）所示的有旋流動(dòng)，但也可能出現(xiàn)(3)所示的無(wú)旋流。 判斷流體運(yùn)動(dòng)無(wú)旋或是有旋，歸根到底就是看它的速度分量是否滿足無(wú)旋條件。2021-11-2528 1、速度勢(shì)函數(shù) xux yuy zuz 函數(shù)與流場(chǎng)中的速度有關(guān)，所以函數(shù)就叫作速度勢(shì)函數(shù)，或簡(jiǎn)稱(chēng)速度勢(shì)。 由于速度勢(shì)存在的條件為無(wú)旋， 任何一種具體的無(wú)旋流動(dòng)，總有一個(gè)而且只有一個(gè)速度勢(shì)，因而無(wú)旋流動(dòng)也叫作有勢(shì)流，或簡(jiǎn)稱(chēng)勢(shì)流，用速度勢(shì)表示流場(chǎng)比用三個(gè)分速度更為簡(jiǎn)明。 三

14、三. . 無(wú)旋流場(chǎng)速度表示無(wú)旋流場(chǎng)速度表示2021-11-25292 2、流函數(shù)、流函數(shù) ( (平面運(yùn)動(dòng)才講流函數(shù))(1).的定義 則:存在著流函數(shù) ,使得 (2).的求法 則0yuxucyx若),(tyxxuyuyx,dyudxMudyydxMxdMMxMyMMM000)()(0mmxymmdyudxu00)()(2021-11-2530 (3)的性質(zhì) 是流線.可由流線方程證明. cyx).(2021-11-2531 通過(guò)單位寬曲線MM0的流量等于M點(diǎn)和M0點(diǎn)上流函 數(shù)之差,以公式表示為: 證明: 單位寬沿曲線MM0通過(guò)的流量 而： 代入上式，得 )()(0MMQdsynuxnudsuQyx

15、MMMMn,cos,cos00dxdsyndydsxn,cos,cos)()(0MMQsdnxn,cosxn,cosxyMM02021-11-2532注注意意：在引出流函數(shù)這個(gè)概念時(shí)，既沒(méi)有涉及流體是粘性的還是無(wú)粘性的，也沒(méi)有涉及流體是有旋的還是無(wú)旋的。所以，不論是理想流體還是實(shí)際流體，不論是有旋的還是無(wú)旋的流動(dòng)， 只要是不可壓縮流體的平面流動(dòng)， 就存在流函數(shù)。 如果是不可壓縮流體的平面無(wú)旋流動(dòng)，必然同時(shí)存在速度勢(shì)和流函數(shù)。 2021-11-25332021-11-25345、流網(wǎng)、流網(wǎng)（3）流網(wǎng)：由一族流線和一族等勢(shì)線所組成的正交網(wǎng)格，稱(chēng)為平面無(wú)旋流動(dòng)的流網(wǎng)。2021-11-25352021

16、-11-25362021-11-25372021-11-2538第四節(jié)第四節(jié) 簡(jiǎn)單平面勢(shì)流簡(jiǎn)單平面勢(shì)流直線均勻流（平行等速流）直線均勻流（平行等速流）點(diǎn)源與點(diǎn)匯點(diǎn)源與點(diǎn)匯純環(huán)流動(dòng)純環(huán)流動(dòng) 2021-11-25392021-11-2540 x0y2021-11-25412021-11-25422021-11-25432021-11-25442021-11-25452021-11-25462021-11-25472021-11-25482021-11-2549圖 點(diǎn)源與點(diǎn)匯2021-11-25504、壓強(qiáng)、壓強(qiáng) 根據(jù)伯諾利方程 pg2up2r p在r處的流體壓力，該處速度為0r2Qur 得 222

17、r1g8Qpp 可以看出，壓力 p 隨著半徑 r 的減小而降低。 當(dāng)21220gp8Qrr時(shí)，p=0。圖表示當(dāng)0r r 時(shí)點(diǎn)匯沿半徑 r 的壓力分布。 2021-11-25512021-11-2552渦束內(nèi)渦束外2021-11-2553渦束外渦束外2021-11-2554渦束外渦束外2021-11-25552021-11-25562220y2220 xyxxruyxyru2021-11-25572021-11-25582021-11-2559 圖 純環(huán)流的流網(wǎng)2021-11-25602021-11-25612021-11-25622021-11-25632021-11-25642021-11-

18、25652021-11-25662021-11-25672021-11-2568點(diǎn)源、點(diǎn)匯點(diǎn)源、點(diǎn)匯純環(huán)流純環(huán)流ryxxytgyxxuyxyuyxln2ln42222221222222ln2ln4221222222QxytgQrQyxQyxyQuyxxQuyx2021-11-2569第五節(jié)第五節(jié) 勢(shì)流疊加原理勢(shì)流疊加原理 勢(shì)流疊加原理勢(shì)流疊加原理 偶極流偶極流 繞圓柱體流動(dòng)繞圓柱體流動(dòng) 2021-11-25702021-11-25712021-11-2572 （2）速度 復(fù)合勢(shì)流的速度分量 2y1y21y2x1x21xuuyyyuuuxxxu （3）流函數(shù) 復(fù)合勢(shì)流的流函數(shù) 21 代數(shù)和 結(jié)結(jié)

19、論論：疊加兩個(gè)或多個(gè)勢(shì)流組成一個(gè)新的復(fù)合勢(shì)流，其速度勢(shì)和流函數(shù)只要代數(shù)相加。 30 逆逆應(yīng)應(yīng)用用 幾個(gè)簡(jiǎn)單勢(shì)流復(fù)雜勢(shì)流分解 把復(fù)合的流動(dòng)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的流動(dòng)，分別推導(dǎo)出這些簡(jiǎn)單流動(dòng)的流函數(shù)及勢(shì)函數(shù)，然后把它們進(jìn)行代數(shù)相加，即可得到所欲求的復(fù)合流動(dòng)的流函數(shù)及勢(shì)函數(shù)。 2021-11-25732021-11-25742021-11-25752021-11-25762021-11-25772021-11-25782021-11-25792021-11-2580點(diǎn)源、點(diǎn)匯點(diǎn)源、點(diǎn)匯純環(huán)流純環(huán)流ryxxytgyxxuyxyuyxln2ln42222221222222ln2ln4221222222Qxyt

20、gQrQyxQyxyQuyxxQuyxcosr12Mrx2Myxx2M222sinr12Mry2Myxy2M222偶極流偶極流2021-11-25812021-11-25822021-11-25832021-11-25842021-11-25852021-11-25862021-11-2587（一一）理理想想流流體體繞繞圓圓柱柱體體的的流流動(dòng)動(dòng) （無(wú)無(wú)環(huán)環(huán)量量圓圓柱柱繞繞流流） 有一根據(jù)無(wú)限長(zhǎng)，半徑為 r0的圓柱體，垂直放置在作直線均勻流動(dòng)的平面流體中。讓流體橫向繞過(guò)圓柱流動(dòng)，如圖所示。流體假設(shè)為理想流體。由圖可見(jiàn)： 2021-11-258810 流體在流近圓柱體前是均勻的，不受任何干擾，流線

21、是一組平行的直線。20 流近圓柱體時(shí)，由于圓柱體的阻礙，使流線逐層發(fā)生彎曲，繞過(guò)圓柱體最大橫向尺寸后，流線又彎曲合攏。30 在圓柱體后一定距離處流線又恢復(fù)為一組平行流。流線的這種繞流彎曲及合攏現(xiàn)象，隨離開(kāi)x 軸而變得越來(lái)越平坦。顯然在 y處，流體不會(huì)受到圓柱體阻礙及干擾，流線仍是平行直線。流線邊界特點(diǎn)流線邊界特點(diǎn)2021-11-25892021-11-2590（2）分析稍離圓柱體的流線形狀。把圓柱繞流圖與圖 偶極流的流線進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)在 y軸附近，有一相當(dāng)長(zhǎng)的一段區(qū)域，兩者的流線極為相像。說(shuō)明理想流體繞圓柱體的流動(dòng)狀況與偶極流的流動(dòng)有內(nèi)在的聯(lián)系。 2021-11-2591一個(gè)直線均勻流繞半

22、徑為 r0的圓柱體的平面流動(dòng)， 可以用這個(gè)直線均勻流與偶極矩 M 0Ur2M2 的偶極流疊加而成的復(fù)合流動(dòng)來(lái)代替。 與均直流速度、圓柱休半徑有關(guān)2021-11-25921、 勢(shì)勢(shì)流流疊疊加加驗(yàn)驗(yàn)證證（1）設(shè)有一無(wú)窮遠(yuǎn)處速度為 U、方向與 x 軸平行一致的直線均勻流動(dòng)，其流函數(shù)與速度勢(shì)分別為UxUy11， （2）另有以坐標(biāo)原點(diǎn)為偶極點(diǎn)的偶極流，其流函數(shù)與勢(shì)函數(shù)分別為2222ry2Myxy2M 2222rx2Myxx2M 2021-11-25932021-11-2594 （4）結(jié)論：）結(jié)論： 一個(gè)直線均勻流繞半徑為 r0的圓柱體的平面流動(dòng)， 可以用這個(gè)直線均勻流與偶極矩M 0Ur2M2 的偶極流疊

23、加而成的復(fù)合流動(dòng)來(lái)代替。 2、流流函函數(shù)數(shù)和和速速度度勢(shì)勢(shì) （1）直線均勻流繞圓柱體平面流動(dòng)的流函數(shù)Uy2ry2MUysinrrr1Urr1220220 （2）直線均勻流繞圓柱體平面流動(dòng)的速度勢(shì)cosrrr1Urr1Uxyxr1Uxrx2MUx22022022202以上二式中的0rr ，因?yàn)?rr 在圓柱體內(nèi)，沒(méi)有實(shí)際意義。2021-11-25953、速度場(chǎng)、速度場(chǎng)流場(chǎng)中任一點(diǎn)的速度分量為222220 xyxyxr1Uxu2220yyxxyrU2yu（1） 在yx，處，0uUuyx，。表明：在離圓柱體無(wú)窮遠(yuǎn)處是速度為 U 的直線均勻流。（2）可驗(yàn)證：前駐點(diǎn) A（r0，0）和后駐點(diǎn) B（r0，0

24、）處，ux=uy=0。2021-11-2596（3）對(duì)于極坐標(biāo)，速度分量為cosrr1Uru220rsinrr1Uru220（4）沿包圍圓柱體的圓形周線的速度環(huán)量0dsinrr1Urdsu220 所以，直線均勻流繞圓柱體平面流動(dòng)是沒(méi)有速度環(huán)量的。2021-11-25972021-11-2598圓柱體表面速度分布：圓柱體表面速度分布：Uu2021-11-25994、壓力場(chǎng)、壓力場(chǎng) （1）壓力 關(guān)于圓柱體上任一點(diǎn)的壓力，由伯諾利方程得22u21pU21p式中p為無(wú)窮遠(yuǎn)處的壓力。將速度關(guān)系式代入上式，得22sin41U21pp （2）無(wú)量綱的壓力系數(shù) cp 在工程上常用無(wú)量綱的壓力系數(shù) cp來(lái)表示流

25、體作用在物體任一點(diǎn)的壓力，它的定義為22psin41U21ppc2021-11-251002021-11-25101壓力系數(shù)在圓柱表面上上的分布情況壓力系數(shù)在圓柱表面上上的分布情況2021-11-25102（3）沿零流線的壓力速度變化關(guān)系）沿零流線的壓力速度變化關(guān)系 在左方無(wú)窮遠(yuǎn)處， cp0。 當(dāng)流體流向圓柱體時(shí)，壓力逐漸增大； 流到 A 點(diǎn)壓力為極大值， cp1。 由 A 點(diǎn)分為兩支分別流向 B、D 點(diǎn)，壓力逐漸減小， 到達(dá)這兩點(diǎn)時(shí)壓力為極小值， cp3。 由 B、D 點(diǎn)流向 C 點(diǎn)時(shí)，壓力逐漸增大， 到達(dá) C 點(diǎn)， 恢復(fù)至極大值， cp1。 由 C 點(diǎn)流向右方無(wú)限遠(yuǎn)處， 壓力又再次減小，最

26、后壓力重新降至，cp0。 2021-11-25103表 沿0時(shí)，u 和 cp的變化 位置 左 A點(diǎn) B、D C點(diǎn) 右 U U 0 （極?。?2U （極大） 0 （極?。?U cp 0 1 （極大） 3 極?。?1 極大） 0 2021-11-251042021-11-25105式中的負(fù)號(hào)是考慮，當(dāng)為正值時(shí)，dFx和 dFy的方向分別與x 和 y 軸的方向相反。 2021-11-251062021-11-251072021-11-251082021-11-251092021-11-25110 （2）當(dāng) r=r0時(shí)， 由2cosUr20，得 0rur，徑向速度為 0 0r2sinU2ru0， 切向

27、速度不為 0 即只有沿著圓周切線方向的速度。所以滿足以 r=r0的圓柱體的周線來(lái)代替這條流線的圓柱表面邊界條件。 2cosrrr1U2202021-11-251112021-11-251122021-11-251132021-11-251142021-11-25115 根據(jù)相對(duì)于0Ur4數(shù)值不同，將有以下三種不同情況：0Ur4sin2021-11-25116（2）當(dāng)0Ur4則1sin則兩個(gè)駐點(diǎn)重合成一點(diǎn)，位于圓柱面的最下端。0Ur4sin（3）當(dāng)0Ur4，則sin1 這時(shí)在圓柱面上已不存在駐點(diǎn)，駐點(diǎn)脫離圓柱面沿 y軸向下移到相應(yīng)的位置，稱(chēng)為自由駐點(diǎn)。 它的位置可以這樣確定： 令0u0ur和，便可得到兩個(gè)位于 y 軸上的駐點(diǎn)，一個(gè)在圓柱體內(nèi)，另一個(gè)在圓柱體外。 但在這種流動(dòng)中，只有一個(gè)在圓柱體外