第09講數(shù)值方法

1、相變傳熱焦冬生熱科學和能源工程系2內(nèi)容1. 準穩(wěn)態(tài)法2. 攝動法3. 數(shù)值方法3六 準穩(wěn)態(tài)法半徑為R的無窮長的圓管內(nèi)充滿溫度為熔點的Tm的液體，當t0時，圓管被突然置于溫度TaTm的環(huán)境中，因對流冷卻而凝固，表面換熱系數(shù)h為常數(shù)。顯熱相對于潛熱要低幾個數(shù)量級，在熱能貯存中，溫差不大，可忽略顯熱。如果用指數(shù)積分函數(shù)構造精確解，不能滿足r=0上的邊界條件。近似解，假設：1.物體的熱物性為常數(shù)；2.管壁熱阻忽略；3.SteRTaSORTwTm4 準穩(wěn)態(tài)法 數(shù)學方程 固液界面 首先，引入無量綱量am11rSrR(1-a)r rrTkh(TT)rR,t0(1-b)rT=TsR,t0(1-c)TTtmmT

2、=T(1-d)Tdskhrs(1-e)rdt-(-)mmasmamT TrhRXBTTRkc TTsULtSBiSte FoRkhR5附 Paterson法（圓柱坐標） 一條強度為Q的線熱匯置于均勻溫度的液體中，位置為r=0，溫度Ti高于物質的溶解溫度。從時間T=0開始，熱匯不斷吸收熱量，凝固過程以r=0為原點開始，且固液界面向r正方向移動。 Paterson認為如果熱傳導方程解的形式取指數(shù)積分函數(shù)，則上述問題具有精確解。 指數(shù)積分函數(shù)uxtx1uxxeeEi( x)Ei(x)dudtx0(42a)utddeeEi( x)du(42b)dxdxux 6附 Paterson法 固相（圓柱坐標）

3、液相 固液界面sss(r, )(r, )11r0rS(t),t0(43)r rrTtTtt llllili(r, )(r, )11rS(t)r,t0(44-a)r rrT(r,t)Tr,t0(44-b)T(r,t)Tr0,t0(44-c)TtTtt slmslsl(r, )(r, )TrS(t),t0(45a)TTdS(t)kkLrS(t),t0(45b)rrdtTtTt7準穩(wěn)態(tài)法 無量綱形式的方程及邊界條件、初始條件和界面耦合方程 因Ste0時刻，位于x=0處的表面保持亞凝固溫度T0，且T0Ts，于是周圍的固體開始熔化。確定熔化區(qū)域隨時間的變化和溫度分布。68固體H界面rrixr0Tw69

4、熔化區(qū)內(nèi)任一點的密度 有效壓力 控制方程的守恒型sss(TT )(42) effsppgx(43)2222221 ()0(44)1 ()1()(44)1 ()1(44)1 ()(44)effseffurvaxrrpuuruvg TTubtxrrxpvuvrvvvctxrrrrTuTrvTTdtxrr 70 假定： 相界面上所傳遞的熱量與界面的移動之間，允許有一個時間步長的滯后，即熔化區(qū)內(nèi)，在一個時間步長的間隔內(nèi)的流動與熱量傳遞是在固定的相界面下計算的。 假定相界面的傾角很小，可認為平行于x軸。 長為dx的一段微元距離內(nèi)界面上的熱平衡以上方程構成完整控制方程初始條件，t=0，液體層厚度為零，為避

5、免出現(xiàn)分母為零，實際計算中從一個很小的均勻厚度開始。形成這一厚度的時間用Stefan精確解得到. 2iSLi222n+1niiiTk2r thr(45)rrrr(46)71為了保持液體區(qū)域位于0與1之間，作坐標變換：通過變換，把物理平面上的帶運動邊界的圓柱坐標系中的計算區(qū)域，變成計算平面上不動邊界的矩形域。為了把計算時間控制在合理的范圍內(nèi)，而又不嚴重影響計算結果，假定x方向的導數(shù)均忽略不計。00i0rrxrrri0i0i0dr1xrrr dx1rrr72 定義無量綱量200020302/Pr(/)PreffpwsswsSLpwswsSLpuvUVPrrrcTTTTtFo SteTTrhcTTg

6、 TTrRaSteh 73方程組轉換為222222RVU10(47a)R(Ri 1)RUV1UU1PSteRaU(47b)PrR(Ri 1)RV1VUV1PVSteV(47c)PrR(Ri 1)RRVU1Ste(47d)R(Ri 1)2RiRi 1 2Ri(47e) i00222rrRiRRi 11rr1R Ri 1R 74 經(jīng)過變換，在-坐標系內(nèi)液體區(qū)的計算范圍已經(jīng)簡化成一個單位寬度的矩形，但控制方程極為復雜。由于計算從某一初始厚度開始，避免出現(xiàn)Ri=1的情形。 固液界面上的兩相的密度差別不考慮，則邊界條件為：=0U=V=01=1U=V=0=0U=V=00=HU=V=00 xxxx 75 采

7、用控制容積積分法來建立離散方程。 在每一個時間間隔內(nèi)，Ri為定值因而在離散方程中是常數(shù)。 在每一個時層上，這一方程組的求解可采用SIMPLE系列的算法，而在時間坐標上采用隱式格式，又選定的初始時刻向前推進。 在每一個時層的終了獲得的收斂值后，可計算由于這段時間間隔內(nèi)界面上的換熱而造成的熔化界區(qū)的擴大。122()1nnniiiniRRRR 76 計算中取 在r方向上均分，在X方向上逐密布置，頂部最密。000.0010.01412 141012 20HrHr77SIMPLE算法計算步驟1. 假定一個速度分布，記為U，以此計算動量離散方程中的系數(shù)及常數(shù)項。2. 假定一個壓力場。3. 以此求解兩個動量

8、方程.4. 求解壓力修正值方程。5. 據(jù)此改進速度值。6. 利用改進后的速度場求解那些源項物性等與速度場耦合的變量。7. 利用改進后的速度場重新計算動量離散方程的系數(shù)，并用改進后的壓力場作為下一層次迭代計算的初值。8. 重復以上計算，直到獲得收斂的解。78朗道變換法 通過引進新變量使固液界面不動，該變量用單元離界面的距離與原相的瞬時厚度的比表示單元的位置。該思想由 Landau首次提出。 Saito把該方法應用于一維的凝固問題（ Stefan problem ）。 考慮平板狀（0=x=b）液體的凝固，液體與絕熱壁面接觸，壁面初始溫度高于熔解溫度。 在t=0時刻，液體表面溫度突然降低到低于熔點的

9、溫度，并一直保持下去。79Saito 得到如下無量綱控制方程固液界面耦合條件 220220,0(48a),0,0(48b)1,0(48c),01,0(48d)01,0(48e)ssslllilXSXXXSXXXXXX 1(49),(50)slslfdSkXSXXdXX2sillisstxsTXSbbbTkCTkLk80固定的固液界面，依賴于以下兩個變量1XSXSS81控制方程: Solid phase : Liquid phase: 邊界條件 : 通過隱式差分可解出上述方程.2220101(51 a),0(51 b)ssssdSsS dX222101(52a)1101(52b)lllldSS

10、dS1,0,(53a)11,0,(53b)slslfkdSS dSS ddt82 Beaubouff,Chapman,Duda,Saitoh和 Sparrow應用于二維的凝固問題。 為了進一步細化該方法Hsu 等對體積控制法作了坐標變換。 該方法的進一步應用有：Cheung 等有熱源的一維相變問題, Ho 和 Viskanta,Gadgil, Gobin矩形空腔諧振器內(nèi)的熔解問題以及 Ho 和 Viskanta水平管內(nèi)的熔解問題. 83優(yōu)點1) 該方法應用于具有復雜的固液界面和表面邊界條件的相變問題使其變得更容易。2) 能很容易的在液相內(nèi)引進自然對流。3) 然而，通常這種方法應用于二維問題會引

11、出十分復雜的方程和求解迭代方法。為了獲得原始空間變量的解需要額外的計算。 4) 在其他變量不變的情況下， Gupta and Kumar對一個變量作了變換。有限單元法將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個單元內(nèi)假設的近似函數(shù)來分片的表示求解域上待求的未知場函數(shù)，近似函數(shù)通常由未知場函數(shù)及其導數(shù)在單元各節(jié)點的數(shù)值插值函數(shù)來表達。從而使一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。步驟1：剖分:將待解區(qū)域進行分割，離散成有限個元素的集合。元素（單元）的形狀原則上是任意的。二維問題一般采用三角形單元或矩形單元，三維空間可采用四面體或多面體等。每個單元的頂點稱為節(jié)點（或結點）。步驟2：單元分析:進行分片插值，即將分割單元中任意點的未知函數(shù)用該分割單元中形狀函數(shù)及離散網(wǎng)格點上的函數(shù)值展開，即建立一個線性插值函數(shù)。步驟3：求解近似變分方程用有限個單元將連續(xù)體離散化，通過對有限個單元作分片插值求解各種力學、物理問題的一種數(shù)值方法。87有限單元法 對于純金屬的凝固過程, 相變溫度為一確定值, 忽略對流項和輻射項, 熱傳導方程可寫成固相SSSTkTCtLLLTkTCt fSLLffdRtTTkkLnndt 為了適用于多維問題計算以及處理帶有相變區(qū)間的情況, 引入焓H 、熵S 兩個物理量0THcdT0TSkdT 在整個區(qū)域用統(tǒng)一的能量