相似三角形經(jīng)典題(含答案)

1、相似三角形經(jīng)典習(xí)題.例1從下面這些三角形中，選出相似的三角形.8求 S#DF ,已知：如圖，Z7ABCD中，AE:EB=1:2,求ZkAEF與ACDF的周長的比，如果 S&EF=6cm2,例 3 如圖，已知 AABDs &ACE,求證：AABC" AADE .例4 下列命題中哪些是正確的，哪些是錯誤的？(1)所有的直角三角形都相似.(2)所有的等腰三角形都相似.(3)所有的等腰直角三角形都相似.(4)所有的等邊三角形都相似.E 和 AABC例5如圖，D點是 MBC的邊AC上的一點，過D點畫線段DE ,使點E在AABC的邊上，并且點D、點 的一個頂點組成的小三角形與 A

2、ABC相似.盡可能多地畫出滿足條件的圖形，并說明線段 DE的畫法.看到尺例6如圖，一人拿著一支刻有厘米分畫的小尺，站在距電線桿約30米的地方，把手臂向前伸直，小尺豎直,上名1 12個分畫恰好遮住電線桿，已知手臂長約60厘米，求電線桿的高.例7如圖，小明為了測量一高樓MN的高，在離N點20m的A處放了一個平面鏡，小明沿 NA后退到C點，正好從鏡中看到樓頂 M點，若AC = 1.5m,小明的眼睛離地面的高度為1.6m,請你幫助小明計算一下樓房的高度(精確到0.1m).C AN例8格點圖中的兩個三角形是否是相似三角形，說明理由.例9根據(jù)下列各組條件，判定 AABC和AABC'是否相似，并說明

3、理由：(1) AB =3.5cm, BC = 2.5cm,CA = 4cm, A'B' = 24.5cm,BC' = 17.5cm,C A'= 28cm . /A =35/B =104，/C' = 44ZA' = 35 土(3) AB =3, BC =2.6,/B =48 ： AB' = 1.5,BC ' = 1.3/B' = 48 一例10如圖，下列每個圖形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它們用字母表示出來，并簡要說明識別的根據(jù).例11已知：如圖，在AABC中，AB = AC,NA = 36°BD是角平分

4、線，試?yán)萌切蜗嗨频年P(guān)系說明 AD2 = DC AC .例12已知 MBC的三邊長分別為 5、12、13,與其相似的AABC，的最大邊長為26,求&ABC'的面積S.例13在一次數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們到操場上測量旗桿的高度，然后回來交流各自的測量方法.小芳的測量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在離旗桿 27米的C處（如圖），然后沿BC方向走到D處，這時目測旗桿頂部 A與 竹竿頂部E恰好在同一直線上，又測得 C、D兩點的距離為3米，小芳的目高為1.5米，這樣便可知道旗桿的高.你認(rèn) 為這種測量方法是否可行？請說明理由.A口、BC D例14.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在

5、河對岸選定一個目標(biāo)作為點 A,再在河的這一邊選點 B和C,使AB_L BC , 然后再選點E,使EC_LBC,確定BC與AE的交點為D,測得BD=120米，DC =60米，EC = 50米，你能求出 兩岸之間AB的大致距離嗎？E例15.如圖，為了求出海島上的山峰AB的高度，在D和F處樹立標(biāo)桿DC和FE,標(biāo)桿的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面內(nèi)，從標(biāo)桿 DC退后123步的G處，可看到山峰 A和標(biāo)桿頂端C在 一直線上，從標(biāo)桿 FE退后127步的H處，可看到山峰 A和標(biāo)桿頂端E在一直線上.求山峰的高度 AB及它和標(biāo)桿CD 的水平距離BD各是多少？（古代問題）

6、B D G F H例16 如圖，已知 ABC的邊AB=2J3, AC=2, BC邊上的高AD=,3.（1）求BC的長；（2）如果有一個正方形的邊在 AB上，另外兩個頂點分別在 AC, BC上，求這個正方形的面積.,相似三角形經(jīng)典習(xí)題答案例1.解、相似，、相似，、相似，.例2.解 ABCD 是平行四邊形， AB/CD,AB=CD，.- AAEF ACDF ,AE: EB =1:2, AE:CD =1:3, AAEF 與 ACDF 的周長的比是 1： 3.AEF =(-)2,SEF =6(cm2), S&DF - 54(cm2) .S CDF 3BA CA例3分析 由于 MBD s MCE

7、 ,則/BAD =/CAE ,因此/BAC =/DAE ,如果再進(jìn)一步證明 BA =CA ,則 AD AE問題得證.證明 MBD s MCE, . ZBAD=ZCAE .又丫 ZBAC =/BAD +ZDAC , ZDAE =/DAC +ZCAE , ZBAC =NDAE . MBD s MCE ,AB _ ACAD - AEAB在 MBC和 AADE 中，.ZBAC =NADE, ADAC,AABCs AADE AE例4.分析 （1）不正確，因為在直角三角形中，兩個銳角的大小不確定，因此直角三角形的形狀不同.（2）也不正確，等腰三角形的頂角大小不確定，因此等腰三角形的形狀也不同.（3）正確.

8、設(shè)有等腰直角三角形ABC和ABC',其中/C=/C' = 90'則/A=2A'=45t/B =/B' = 45)設(shè) AABC 的三邊為 a、b、c, AA'BC'的邊為 a'、b'、c,貝U a =b,cMBCsAA'BC'.（4）也正確，如 MBC與AA'B'C'都是等邊三角形，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊都成比例, 答：（1）、（2）不正確.（3）、（4）正確.例5.解：因此AABCsAABClBDE方法二方法三B方法一 畫法略.例6.分析本題所敘述的內(nèi)容可以畫出如下圖那樣的幾何圖形,DF

9、 =60 厘米=0.6 米,GF =12 厘米= 0.12 米,CE =30米，求 BC.由于 MDF s mec 匹=空，又 MCF s MBC, 'EC ACDF GFEC BC,從而可以求出 BC的長.解 : AE _L EC, DF/EC , . . /ADF =/AEC,/DAF =/EAC , . . AADF s AEC . . 牛=丹 EC AC又 GF _ EC,BC _ ECGF / BC/AFG =NACB/AGF =/ABC , MGF s MBC,AF GFAC BC 'DF GFEC BC又DF =60厘米=0.6米，GF =12厘米=0.12米，E

10、C =30米，BC = 6米.即電線桿的高為 6米.例7.分析 根據(jù)物理學(xué)定律：光線的入射角等于反射角，這樣， ABCA與AMNA的相似關(guān)系就明確了.解 因為 BC J_CA,MN j_ AN,ZBAC =/MAN ,所以 ABCAsMNA.所以 MN :BC = AN:AC,即 MN :1.6 = 20:1.5 .所以 MN =1.6x20-1.521.3 （m）.說明 這是一個實際應(yīng)用問題，方法看似簡單，其實很巧妙，省卻了使用儀器測量的麻煩.例8.分析 這兩個圖如果不是畫在格點中，那是無法判斷的.實際上格點無形中給圖形增添了條件一一長度和角度.解 在格點中 DE _LEF,AB_LBC,所

11、以 /E=/B=90。又 EF =1,DE =2, BC =2, AB =4.所以-DE =1 .所以 ADEF iABC.AB BC 2說明 遇到格點的題目一定要充分發(fā)現(xiàn)其中的各種條件，勿使遺漏.AB3.5cm1 BC2.5cm1 CA4cm1例 9.解 （1）因為=,=,=,所以 AABC AA B C ;AB24.5cm7 BC17.5cm7 C A28cm7（2）因為ZC =180口NANB =41%兩個三角形中只有 ZA = ZA另外兩個角都不相等，所以AABC與ABC ,不相似；ABBC2_（3）因為ZB =/B ,=,所以AABC相似于AA B C .ABB C1例10.解 （1

12、） AADEsAABC 兩角相等；（2） AADES&ACB 兩角相等；（3）ACDE s ACAB兩角相等；（4）AEABAECD兩邊成比例夾角相等；（5）AABDsAACB兩邊成比例夾角相等；（6）AABDsACB兩邊成比例夾角相等.例11.分析 有一個角是65。的等腰三角形，它的底角是 72。，而BD是底角的平分線， /CBD=36'則可推出ABCs iBCD ,進(jìn)而由相似三角形對應(yīng)邊成比例推出線段之間的比例關(guān)系.證明 ；NA=36：AB =AC ,/ABC=/C =72,又：BD 平分/ABC,/ABD =/CBD =36口.AD = BD = BC ,且 AABC s

13、 ABCD , . BC : AB = CD :BC , . . BC2 = AB CD , . AD2 = AC CD .說明（1）有兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，這是判斷兩個三角形相似最常用的方法，并且根據(jù)相等 的角的位置，可以確定哪些邊是對應(yīng)邊.（2）要說明線段的乘積式 ab=cd,或平方式a2 =bc , 一般都是證明比例式，-=-,或2,再根據(jù)c b a c比例的基本性質(zhì)推出乘積式或平方式.例12分析 由AABC的三邊長可以判斷出 AABC為直角三角形，又因為 MBCM*BC所以AAB'C'也是直角 三角形，那么由 小人'。'的最大邊長為26,

14、可以求出相似比，從而求出 AAB'C'的兩條直角邊長，再求得 AAB'C'的 面積.解 設(shè) MBC的三邊依次為， BC =5, AC =12, AB =13,BC 又 AABCs AAB C , NC =NC =90°.BC又 BC =5, AC =12,BC' = 10, A'C' = 24.，S =則rAB2 = BC2+AC2,/C = 90'.AC AB 13A'C' AB 262,111 AC * B C =- 24x10 = 1202 2例13.分析判斷方法是否可行，應(yīng)考慮利用這種方法加之我們

15、現(xiàn)有的知識能否求出旗桿的高.按這種測量方法，過F作FG _L AB于G,交CE于H,可知 MGF s AEHF ,且GF、HF、EH可求，這樣可求得 AG,故旗桿AB可求.解 這種測量方法可行.理由如下：設(shè)旗桿高AB = x .過F作FG _L AB于G,交CE于H （如圖）.所以AAGF s AEHF .因為 FD =1.5,GF =27+3=30,HF =3,所以 EH =3.5 1.5 = 2,AG =x 1.5.一 AG GF x _1 5 30 一一由 MGF s AEHF ,得 tG=GF,即 x 1.5=30 ,所以 x_i.5 = 20,解得 x = 21.5 (米)EH HF

16、 23所以旗桿的高為21.5米.說明 在具體測量時，方法要現(xiàn)實、切實可行.例 14.解：丫 NADB =/EDC,/ABC =/ECD =90©,.ABDsECD, .ab- = -Bd,AB = BDxEC 120x50 =i00 （米），答：兩岸間 AB 大致相距 100 米.EC CDCD 60例 15.答案：AB=1506米，BD=30750步，（注意：KC =四 AK ,KE =里 AK .） CDFE例16.分析：要求BC的長，需畫圖來解，因 AB、AC都大于高AD,那么有兩種情況存在，即點 D在BC上或點D在BC的延長線上，所以求 BC的長時要分兩種情況討論.求正方形的面積，關(guān)鍵是求正方形的邊長.解：（1）如上圖，由 AD ± BC,由勾股定理得 BD=3, DC = 1,所以BC=BD+ DC = 3+1 = 4.如下圖，同理可求 BD = 3, DC = 1,所以BC=BD-CD=3-1=2.（2）如下圖，由題目中的圖知BC=4,且 AB2 +AC2 =(273)2 + 22 =16 , BC2 =16 ,222AB2 + AC2 = BC2 .所.以4ABC是直角三角形.由AEGF是正方形，設(shè) GF = x,則FC