南開大學(xué)高等數(shù)學(xué)課件13 導(dǎo)數(shù)與微分

1、第一章 微積分1.3 導(dǎo)數(shù)與微分2.3 導(dǎo)數(shù)與微分主要教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)與微分的概念，計(jì)算導(dǎo)數(shù)與微分的概念，計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)函數(shù)的彈性經(jīng)濟(jì)學(xué)函數(shù)的彈性用微分作近似計(jì)算用微分作近似計(jì)算二元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分二元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念1.曲線的切線斜率 圓的切線：與圓相交于唯一點(diǎn)的直線 但對(duì)于一般曲線, 切線是不能這樣定義的例如下圖中右邊的曲線在P點(diǎn)處的切線,除P點(diǎn)外還交曲線于Q點(diǎn)。 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分為確切表達(dá)切線的含義, 需應(yīng)用極限的思想請(qǐng)看下圖 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分 點(diǎn)P(x0,f(x0)= P(x0,

2、y0)是曲線y=f(x)上的給定點(diǎn), 點(diǎn)Q(x,y)=Q(x,f(x)是曲線上的動(dòng)點(diǎn), 可在P的兩側(cè)：在右側(cè)時(shí)xx0；在左側(cè)時(shí) x x0 動(dòng)直線PQ 是曲線的割線 如果動(dòng)點(diǎn)Q 無限地逼近定點(diǎn)P 時(shí), 動(dòng)直線PQ 有一個(gè)極限位置PT, 即 則稱PT 為曲線在P 點(diǎn)的切線 建立PT 的方程, 只需確定其斜率由于PT 是PQ 的極限,從而PT 的斜率是PQ 斜率的極限, 極限過程是由QP 產(chǎn)生而QP 即xx0 現(xiàn)設(shè)PT對(duì)于x 軸的傾角(即x 軸正向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至PT經(jīng)過的角)為,PT的斜率為k=tan 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分現(xiàn)在割線PQ 的斜率為則切線PT 的斜率為：由此得切線PT 的方程是： y f(x

3、0) = k(x x0) 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分2. 導(dǎo)數(shù)的定義 定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域X內(nèi)有定義，y0 =f(x0)如果xX x0，我們稱x = xx0 ( 讀作delta )為自變量的改變量自變量的改變量，y = f(x)f(x0)為函數(shù)函數(shù)的的( (對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)) )改變量改變量，比值 為函數(shù)的差商或平差商或平均變化率均變化率 如果極限 存在，則稱函數(shù)y =f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)可導(dǎo) ( (或可微或可微) )，該極限稱為函數(shù)y=f(x)在x0 點(diǎn)關(guān)于自變量x 的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)( (或微商或微商) )記作 因x =xx0， x= x0+x，故還有 此時(shí)，曲線y =f(x) 在點(diǎn)(x0，

4、f (x0) )的切線方程是注. x 可正可負(fù)，依x 大于或小于x0 而定2.3 導(dǎo)數(shù)與微分000()yffxxxx 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分根據(jù)定義求已知函數(shù)y = f(x) 在給定點(diǎn)x0 的導(dǎo)數(shù)的步驟是：1.計(jì)算函數(shù)在自變量x0 +x 處的函數(shù)值 f(x0+x)；2.計(jì)算函數(shù)的對(duì)應(yīng)改變量y=f(x0+x)f(x0)；3.寫出函數(shù)的差商4.計(jì)算極限，即導(dǎo)數(shù)值 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分 例2.3.1 求常數(shù)函數(shù)y = c 的導(dǎo)數(shù) 解 因y = y(x+x)y(x)=c c =0， 差商 此處x 可為任意實(shí)數(shù)，即常數(shù)函數(shù)y在任意點(diǎn)x 處的導(dǎo)數(shù)為0. 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分例2.3.2 設(shè)n是正整數(shù)，求冪函數(shù)y=

5、xn在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)解因特別，當(dāng)n=1時(shí)，函數(shù)y=x在任意點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)為1 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分例2.3.32.3.3 求曲線yx3在點(diǎn)(2,8)處的切線方程解在上例中取n =3 可知函數(shù)y x3 在點(diǎn)x 處的導(dǎo)數(shù)為3x2，于是在點(diǎn)(2，8)處的切線斜率是：y(2)=3 22 =12，故曲線yx3 在(2,8)處的切線方程是: y 8 = 12 (x 2) ，即 12x y 16 = 0 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分注:(1) 一般情況下，給定函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間X 內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，這樣可求出X 內(nèi)每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)y(x)，xX于是y(x)成為X 內(nèi)有意義的一個(gè)新函數(shù)，它為給定函數(shù)y = f(x)的導(dǎo)函數(shù)

6、，且常常省略定義中的字樣“在x 點(diǎn)處關(guān)于自變量的”，甚至簡(jiǎn)稱f(x)的導(dǎo)數(shù) 例如: 常數(shù)函數(shù)y = c 的導(dǎo)數(shù)是0，y = x 的導(dǎo)數(shù)是1，y =xn 的導(dǎo)數(shù)是nxn-1等等，分別記作c= 0，x=1，(xn)=nxn-1等等(2) 關(guān)于改變量的記號(hào)，應(yīng)把它與其后面的變量x 或y 看作一個(gè)整體，絕不能把x 看成與x 的乘積，為避免誤解，用 (x)2來表示x的平方 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分例2.3.4 y = sinx的導(dǎo)數(shù)是(sinx)=cosx， y =cosx 的導(dǎo)數(shù)是(cosx)=sinx 證同理可證， (cosx)= sinx 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分例2.3.52.3.5y=logax(0a1)

7、的導(dǎo)數(shù)是 (logax)= 特別，(lnx)=1x 1lnxa 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分例2.3.62.3.6 指數(shù)函數(shù)y=ax(0a1)的導(dǎo)數(shù)是 (ax)=axlna 證：(ax)=特別， 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分2.3.2. 2.3.2. 變化率問題變化率問題 1. 1. 運(yùn)動(dòng)速度問題 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過的路程s 是時(shí)間t 的函數(shù)：s=s(t) 時(shí)刻t 到t+t 時(shí)間段內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度為： 該瞬時(shí)速度v(t)就是極限： 即質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度是路程s 關(guān)于時(shí)間t 的導(dǎo)數(shù)。 s tts tvt 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分例2.3.72.3.7 已知自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為s=gt，其中g(shù) 9.8(m/s2)是重力加速

8、度常數(shù)，t與s分別以秒(s)和米(m)為單位求：(1)落體在t 到t+t 時(shí)間內(nèi)的平均速度；(2) 落體在t=2，t=0. .1，0. .01，0. .001，0. .0001 這些時(shí)間段內(nèi)的平均速度;(3) 落體在t 及t=2 時(shí)刻的瞬時(shí)速度解 (1)落體在t 到t+t 時(shí)間內(nèi)的行程是 s = - = ,因此平均速度 = .212g tt212gt2122gt tt 122gttv 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分(2) 按照(1)所求出的平均速度表達(dá)式，我們用下表列出t = 2 開始的各個(gè)時(shí)間段內(nèi)的平均速度：t 時(shí)刻的瞬時(shí)速度： 在t=2 時(shí)刻的瞬時(shí)速度是： v(2)=2g29. .8=19. .6(m

9、/sm/s) 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分2. 經(jīng)濟(jì)學(xué)函數(shù)的邊際（不作為基本要求） 邊際：導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)理論中的別名 設(shè)y=f(x)是某個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)把自變量在x0處變化一個(gè)單位所引起的函數(shù)變化稱為函數(shù)f(x)在x0 處的邊際變化邊際變化自變量單位的大小可能引起大小不同的誤差比如成本函數(shù)C=C(x)，自變量x 是產(chǎn)量，用噸作單位與千克作單位，引起的成本變化就相差很大為減小這種誤差，應(yīng)取盡可能小的單位但不管取多小的單位，自變量的取值還是非負(fù)整數(shù)為了運(yùn)用科學(xué)的微積分工具，我們假定成本等經(jīng)濟(jì)學(xué)函數(shù)的自變量x可取連續(xù)的非負(fù)實(shí)數(shù)值 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分下面仍以成本函數(shù)C=C(x)為例 自變量(產(chǎn)量)x0 x0 +

10、x 變化x ( 個(gè)單位 ) 函數(shù)(成本) C(x0) C(x0+x)變化C=C(x0+x) C(x0) 差商是x 個(gè)產(chǎn)量的平均成本，即從x0 到x0 +x 時(shí)1 個(gè)單位的自變量變化引起函數(shù)的平均變化如果x=1，得C(x0)C=C(x0+1)C(x0) 由此可見，C(x0)近似地表示產(chǎn)量從x0 增加1 個(gè)單位時(shí)的添加成本， 或近似地表示第x0 + 1個(gè)單位產(chǎn)量的成但經(jīng)濟(jì)學(xué)中常略去“近似”二字，把C(x0)稱為邊際成本， 并解釋為在產(chǎn)量x0 的水平上，再增加1個(gè)單位產(chǎn)量所增加的成本定義 設(shè)經(jīng)濟(jì)學(xué)函數(shù)y=f(x)在x0可導(dǎo)，則稱導(dǎo)數(shù)f(x0)為函數(shù)f(x)在x0 處的邊際值； 若f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，

11、則導(dǎo)數(shù)f(x)稱為f(x)的邊際函數(shù) 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分例2.3.82.3.8 設(shè)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為C(x)=1100+ ，其中x 為產(chǎn)量數(shù)求(1) 生產(chǎn)900 個(gè)單位時(shí)的總成本與平均成本;(2) 生產(chǎn)900 個(gè)單位到1000 個(gè)單位時(shí)總成本的平均變化率;(3) 生產(chǎn)900 個(gè)單位時(shí)的邊際成本，并解釋其實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義解 (1)生產(chǎn)900 個(gè)單位時(shí)的總成本為C(900) = 1100 + = 1775, 此時(shí)的平均成本為21200 x29001200 2.3 導(dǎo)數(shù)與微分(2) 生產(chǎn)900 個(gè)單位到1000 個(gè)單位時(shí)總成本的平均變化率為 (3) 生產(chǎn)x 個(gè)單位時(shí)的邊際成本為 ，因此生產(chǎn)900 個(gè)單

12、位時(shí)的邊際成本為 . 其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)量在900的水平上，若生產(chǎn)增加(或減少)1個(gè)單位，成本將增加(或減少)1. .5注: 此處C(900)=1. .5，指的是近似于1. .5，即生產(chǎn)第901 個(gè)產(chǎn)品的成本近似于1. .5，生產(chǎn)第900 個(gè)產(chǎn)品的成本也近似于1. .5 實(shí)際上，經(jīng)計(jì)算C(901)C(900)1. .5008,C(900)C(899)1. .4992教材第51頁上 （應(yīng)該熟記） 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 。xxaxxnxxeeaaaxxxxcannxxxx1)(ln,ln1)(log,)(,)( ,ln)(,sin)(cos,cos)(sin; 0)(12.

13、3 導(dǎo)數(shù)與微分已得基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式如下：2.3 導(dǎo)數(shù)與微分 2.3.32.3.3微分概念微分概念 在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)之后，我們學(xué)習(xí)與導(dǎo)數(shù)相伴的微分概念讓我們回到導(dǎo)數(shù)定義的圖，并放大P 點(diǎn)鄰近的圖形:在光滑曲線y=f(x)上點(diǎn)P(x0,f(x0)的鄰近，曲線看起來像直線(就是過P 的切線)，其斜率是導(dǎo)數(shù)f(x0)由于一次函數(shù)的計(jì)算比絕大多數(shù)別的函數(shù)簡(jiǎn)單， 因此我們可以期望在P的鄰近近似地用切線PT 來代替曲線，即用一次函數(shù)y=f(x0)+f(x0)(xx0)來代替y=f(x). 設(shè)函數(shù)y=f(x)可導(dǎo)，其圖象是光滑曲線，取定點(diǎn)P(x0，f(x0)，如下圖 所示2.3 導(dǎo)數(shù)與微分2.3 導(dǎo)數(shù)與微分0

14、00000000000,()(),()()(),(),limlim()0, limlim()0.xxxxPBxBQyf xxf xBQyPBxBTfxBTfx PBfxxPBuTQBQBTyBQBTTQfxxuuyuyfxxfxxx 自變量的改變量：函數(shù)改變量：差商：導(dǎo)數(shù)：差數(shù)：極限如下：2.3 導(dǎo)數(shù)與微分可以忽略不計(jì)。誤差為：。主要部分的是稱因更高階的無窮小量是比稱快，的速度比趨于因此的乘積，與為兩個(gè)無窮小量即又均為無窮小量，時(shí)，故當(dāng)xxfyuyxxfuxxfyxuxuxuxuxxuuxuuxx)()(,)(.0,00002.3 導(dǎo)數(shù)與微分定義：定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0 可導(dǎo)，則x的線

15、性倍數(shù) f(x0)x稱為y =f(x)在x0 對(duì)應(yīng)于自變量改變量x 的微分微分，記作 d y = f(xd y = f(x0 0) ) x .x .注注1 1. 微分依賴于兩個(gè)因素： (1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x0)； (2)是自變量的改變量x 一旦x0 取定，導(dǎo)數(shù)f(x0)也就取定，此時(shí)微分僅與x 成正比，比例系數(shù)即f(x0)2.3 導(dǎo)數(shù)與微分 .0lim)(limlim20000 xuxxxfyxdyyxxx：微分的另一特征為：注2.3 導(dǎo)數(shù)與微分定理2.3.1 若函數(shù)y=f(x)在x0可導(dǎo),則f(x)在x0 連續(xù)000000000000( )( )()()limlim()0,lim ( )()

16、0,lim( )(),( )xxxxxxxxyf xxf xf xfxxxxxf xf xf xf xyf xx證：因函數(shù)在 可導(dǎo)即存在，又因故有從而即函數(shù)在點(diǎn) 連續(xù)。思考：定理的逆命題是否成立？2.3 導(dǎo)數(shù)與微分 現(xiàn)在 y ydydy，得計(jì)算函數(shù)值的近似公式 f f( (x x0 0+ +x x) )f f( (x x0 0)+)+f f( (x x0 0) ) x x 例例2.3.92.3.9 求函數(shù)y=x 在x 處對(duì)應(yīng)于自變量改變量x 的微分 解 因x= 1 ，故微分為 dy=y(x) x=1 x=x 另一方面， y= x ， dy = dx 由此得 dx = dx = x x 這表明自

17、變量的微分等于自變量的改變量2.3 導(dǎo)數(shù)與微分 于是又可把微分dy=f(x x0 0 )x 寫成dy=f(x x0 0 )dx 注意dx =x 是自變量x 的改變量，恒不為0，又可得到 綜上所述，對(duì)每一函數(shù)y = f(x)，有導(dǎo)數(shù)(可導(dǎo))與有微分(可微)是同一件事， 求導(dǎo)數(shù)與求微分的運(yùn)算規(guī)律就完全統(tǒng)一在下述公式中： dy=fdy=f( (x x) )dx.dx.,)(0fydxdfdxdyxdxdyxf有：或?qū)θ我饪蓪?dǎo)的點(diǎn)2.3 導(dǎo)數(shù)與微分從前面得到的導(dǎo)數(shù)公式有如下微分公式： 1sincos,cossin,ln, ,1, log,ln1ln,xxxxnnadxxdx dxxdxdaa a dx

18、dee dxdxnxdxdxdxxadxdxx 等等。2.3 導(dǎo)數(shù)與微分 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0 導(dǎo)數(shù)為 函數(shù)y=f(x)的微分為： dy=f(x)dx 00|lim)()(lim)()(lim)(0000000 xxxxxxdxdyxyxxxfxfxxfxxfxy2.3 導(dǎo)數(shù)與微分 。xxaxxnxxeeaaaxxxxcannxxxx1)(ln,ln1)(log,)(,)( ,ln)(,sin)(cos,cos)(sin; 0)(12.3 導(dǎo)數(shù)與微分已得基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式如下：2.3.4 導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算1.1.導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算 設(shè)u=u(x),v=v(x)為可導(dǎo)

19、函數(shù)，c為常數(shù)，則 公式1.(uv)=u v,d(uv)= dudv. 證 u(x)+v(x) ).()()()(lim)()(lim)()()()(lim000 xvxuxxvxxvxxuxxuxxvxuxxxxxuxxx2.3 導(dǎo)數(shù)與微分公式公式2 2.(uv) .(uv) =u=u v+uvv+uv , d(uv)=vdu+udv, d(uv)=vdu+udv證：.)()()()()()()()()(lim)(lim)(lim)()(lim)()()()()()()()(lim)()()()(lim)()(000000udvvdudxuvvudxuvuvdxvxuxvxuxxvxxvxu

20、xxvxxuxxuxxvxuxxvxuxxvxuxxvxxuxxvxuxxvxxuxvxuxxxxxx2.3 導(dǎo)數(shù)與微分 公式3. (cu) =cu, d(cu)=cdu證： .)()(,0)(cdudxcudxcucudcucucuuccu2.3 導(dǎo)數(shù)與微分 )0()(,).(422vvudvvduvudvuvvuvu公式)()()()()()()()()()(lim)()()()()()()()()()(lim)()()()()()(lim)()()()(lim)(lim)(00000 xvxxvxxuxvxxvxuxxuxvxvxxuxxvxxvxvxuxuxxvxvxuxvxxuxxv

21、xxvxuxxvxvxxuxxvxuxxvxxuxvuvuxxxxx證：2.3 導(dǎo)數(shù)與微分 .)()(,)()()()()()(lim)()()(lim)()()(lim)()()(lim)()()(lim)()()(lim2222000000vudvvduvdxuvdxvudxvuvvudxvuvudxvxvxuxuxvxxvxvxxvxxvxuxxuxxuxvxxvxvxxvxxvxuxxuxxuxvxxxxxx2.3 導(dǎo)數(shù)與微分.cscsin1sincoscos)sin(sinsin)(sincossin)(cos)sincos()(cot,seccos1cos)sin(sincosco

22、scos)(cossincos)(sin)cossin()(tan22222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：2.3 導(dǎo)數(shù)與微分例12 求y=tanx,y=cotx的導(dǎo)數(shù)。.cotcscsincossin)(cos10sin)(sin1sin1)sin1()(csc,tanseccossincos)sin(10cos)(cos1cos1)cos1()(sec222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：2.3 導(dǎo)數(shù)與微分例13 求y=secx,y=cscx的導(dǎo)數(shù).481541245322,1252.48154361694128)94)(41 (

23、)32(4)32)(41 ()32()41 (323243232322322323232xxxxxxyxxxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxy故解二：因解一：2.3 導(dǎo)數(shù)與微分例14 求y=(1+4x)(2x2-3x3)的導(dǎo)數(shù).)sin1cos(ln1)sin()cos(ln1)sin()sin(ln)(ln)sin()sin(lndydxxxxxdxxxxxdxdxxdxxxxxddxxxdxxxxxd解2.3 導(dǎo)數(shù)與微分例15 求函數(shù)y=(x+sinx)lnx的微分。2.2.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分定理定理2.3.22.3.2（鏈鎖法則）（鏈鎖法則） 設(shè)z=f(y

24、),y=g(x)分別在點(diǎn)y0=g(x0)與 x0可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)z=f( g(x)在x0可導(dǎo)，且求導(dǎo)。才表示整個(gè)函數(shù)對(duì)的求導(dǎo)，而表示對(duì)變量注：證明略或xxgfxgxgfxgyfxgfdxdydydzdxdzxxyyxx000)()()().()()()(|0002.3 導(dǎo)數(shù)與微分 鏈鎖法則的幾點(diǎn)說明鏈鎖法則的幾點(diǎn)說明1.略去法則中的x=x0與y=y0,法則成為公式2.計(jì)算復(fù)合函數(shù)值的過程為： 而復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的過程為：dxdydydzdxdzzyx. xyzyydzdz dydzddxdy dxddx是兩個(gè)導(dǎo)數(shù)與相乘。2.3 導(dǎo)數(shù)與微分.5cos55cosy,sin,5xudxdududyuyx

25、u于是則解令2.3 導(dǎo)數(shù)與微分例16 求y=sin5x的導(dǎo)數(shù).tancossin)sin(1yln,cosu:xxxxudxdududyuyx，于是則令解2.3 導(dǎo)數(shù)與微分例17 求y=lncosx的導(dǎo)數(shù).1.,lnu,1lnlnlnmmxmuuxmxmxxxmexmxmedxdududyyeyxmeeym則令解：因2.3 導(dǎo)數(shù)與微分例18 求冪函數(shù)y=xm的導(dǎo)數(shù),m為任意實(shí)數(shù).注3.鏈鎖法則可以推廣到多層次中間變量的復(fù)合函數(shù).注4.在熟練掌握鏈鎖法則以后，為簡(jiǎn)便寫法，中間變量v,u,z等可不必寫出，只要心中有數(shù)即可。注5.鏈鎖法則的微分形式為：.)()()()()(dxxgxgfxdgxgf

26、xgdf2.3 導(dǎo)數(shù)與微分 )1ln(2xxy例19 求 的導(dǎo)數(shù).1112211111)1()1(211)1(111)1(11y2222212122222xxxxxxxxxxxxxxxx解：2.3 導(dǎo)數(shù)與微分例2.3.19 求函數(shù) 的微分.xey2sin.2sincossin2sinsin2sin2222sinsinsin2sinxdxexdxxexxdexdedyxxxx解：2.3 導(dǎo)數(shù)與微分基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分公式 例2.3.20求 的微分21arcsinxy.12)1(21|1)1()1(21111(11dy2212221222)2xdxxdxxxxdxx

27、xdx解：2.3 導(dǎo)數(shù)與微分 .112)(11)4(3)()(11)(3y.arctan322525244xxxxxxxeexeexeexexy解：的導(dǎo)數(shù)求例2.3 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) 定義：若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y=f(x)可導(dǎo)，則稱y= f(x)的導(dǎo)數(shù)：( y)=f(x)為y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作：y= f(x). 遞推地，若函數(shù)y=f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)存在且可導(dǎo)，則函數(shù)y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù)為： 統(tǒng)稱為函數(shù)y=f(x)的高階導(dǎo)數(shù)。. )() 1()(nnyy2.3 導(dǎo)數(shù)與微分 ).2sin(sin.cossin.cos.sin.cossin.cossi

28、n.cosy.sin1)n()24()14()4()14()6()5()4()3( nxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxnxykkkk通式為：解：顯然有階導(dǎo)數(shù)的：求例2.3 導(dǎo)數(shù)與微分).2(cosycos.sinycos.siny.cos.sinycos.siny.cos2(n)24(1)(4k)4(1)-(4k)4(3) nxxyxxyxxyxxyxnxykk通式為：解：顯然有階導(dǎo)數(shù)的：求例2.3 導(dǎo)數(shù)與微分隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 定義：由方程F(x,y)=0,其中x為自變量，y為因變量，確定的函數(shù)y=f(x)稱之為隱函數(shù)。 例如： 有的可以從方程中解出y，表示為顯函

29、數(shù)y=f(x)，有的不能。等等。橢圓的方程：圓的方程：. 0; 1;)()(2222222xyebyaxrbyaxy2.3 導(dǎo)數(shù)與微分隱函數(shù)求導(dǎo)的方法隱函數(shù)求導(dǎo)的方法 方法1.在方程F(x,y)=0中，把y看成x的函數(shù)：y=y(x),于是方程可看成關(guān)于x的恒等式F(x,y(x)=0.其兩端對(duì)x求導(dǎo)，即可求出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 .10)()() 1 ()() 1 (xy11yyyyyyyyexeyyexeexexxeyxey從而求導(dǎo)，得解：將方程兩邊對(duì)的導(dǎo)數(shù)。所確定的隱函數(shù)：求由方程例2.3 導(dǎo)數(shù)與微分方法2：對(duì)方程兩邊求微分，再導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)。.01|1)0(, 1)0(10.1,)1 (,)(0)(1

30、).0(,11101eexeeyyxeyxxeedxdyydxexedydyxedxeexddxexedddyyxeyyxyyyyyyyyyyyyy于是可得時(shí)，由方程當(dāng)可得從而：解：對(duì)方程兩邊求微分并求所確定隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求方程例2.3 導(dǎo)數(shù)與微分例2.3.26 一飛機(jī)在離地面1200m 的高空以速率150(m s)向探照燈L 沿水平直線飛行(見右圖)探照燈強(qiáng)光照在機(jī)身試問：當(dāng)飛機(jī)在地面上的正投影A 離探照燈600m 時(shí)，為使燈光不離開機(jī)身， 探照燈應(yīng)以怎樣的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)?2.3 導(dǎo)數(shù)與微分解 記時(shí)間變量為t ，探照燈光線的仰角(由地平線逆時(shí)針轉(zhuǎn)向光線的角)為=(t) ，飛機(jī)在地面上的正投影A

31、 離探照燈L 的距離LA 為x= x(t) ，它們都是t 的函數(shù)按題意, 首先建立變量與x 的聯(lián)系方程： tan = 1200 x-1 , 對(duì)此方程兩邊求微分：.|,150600 xdtdvdtdx現(xiàn)在要求已知2.3 導(dǎo)數(shù)與微分代入，得及對(duì)應(yīng)的，現(xiàn)將51)6001200(11)tan1 (cos150600,cos12001200sec)1200(tan212222221dtdxxdtdxxdtddxxdxdd2.3 導(dǎo)數(shù)與微分例2.3.27 求曲線 x2+ xy +y2 = 4 在點(diǎn)(2, 2)處的切線方程 . 解過點(diǎn)(2, 2)的切線由其斜率確定. 為此先求該方程確定的函數(shù)y = y( x)在x = 2 處的導(dǎo)數(shù). 對(duì)方程x2+ xy +y2 = 4的兩邊求微分得： 2x d x + x d y+ y dx + 2 y d y = 0 ( x +2 y) dy = ( y+2