第二章分離變量3

1、2.4 非齊次方程的解法非齊次方程的解法 通過(guò)前面課程的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)了解，用分離變量法求通過(guò)前面課程的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)了解，用分離變量法求解偏微分方程定解問(wèn)題，這個(gè)定解問(wèn)題必須是線性、齊解偏微分方程定解問(wèn)題，這個(gè)定解問(wèn)題必須是線性、齊次方程、齊次邊界條件。那么對(duì)于次方程、齊次邊界條件。那么對(duì)于非齊次方程非齊次方程和和非齊次非齊次邊界條件邊界條件如何進(jìn)行處理？如何進(jìn)行處理？非齊次方程、齊次邊界條件非齊次方程、齊次邊界條件考慮如下定解問(wèn)題：考慮如下定解問(wèn)題：22222( , ),0,0 (2.37)uuaf x txl ttx 00,0 (2.38)xx luut00( ),( ),0 (2.39

2、)ttuuxxx lt 從物理上看：從物理上看：在現(xiàn)在的情況，弦的振動(dòng)是由在現(xiàn)在的情況，弦的振動(dòng)是由兩部分干擾兩部分干擾引起的，一是引起的，一是強(qiáng)迫力強(qiáng)迫力，一是一是初始狀態(tài)初始狀態(tài)，所以由物理意義可知，此時(shí)的，所以由物理意義可知，此時(shí)的振動(dòng)可以看作為僅由振動(dòng)可以看作為僅由強(qiáng)迫力引起的振動(dòng)強(qiáng)迫力引起的振動(dòng)和僅由和僅由初始狀態(tài)初始狀態(tài)引起的振動(dòng)引起的振動(dòng)的的合成合成。從數(shù)學(xué)上看：從數(shù)學(xué)上看：就是將將弦的振動(dòng)位移分解為強(qiáng)迫力引起振動(dòng)的位移與就是將將弦的振動(dòng)位移分解為強(qiáng)迫力引起振動(dòng)的位移與初始狀態(tài)引起振動(dòng)的位移的和。即初始狀態(tài)引起振動(dòng)的位移的和。即( , )v x t設(shè)設(shè)強(qiáng)迫力引起振動(dòng)的位移；強(qiáng)迫力

3、引起振動(dòng)的位移；( , )w x t初始狀態(tài)引起振動(dòng)的位移。初始狀態(tài)引起振動(dòng)的位移。即即( , )( , )( , )u x tv x tw x t（2.40） ( , )v x t滿足如下定解問(wèn)題：滿足如下定解問(wèn)題：22222( , ),0,0vvaf x txl ttx00,0 xx lvvt000,0,0ttvvxlt（2.41） 22222,0,0wwaxl ttx00,0 xx lwwt00( ),( ),0ttwwxxxlt（2.42） ( , )w x t滿足如下定解問(wèn)題：滿足如下定解問(wèn)題：22222000+ + ( , ),0,0+ + 0,0+ ,+ ,0 xx lttvva

4、f x txl ttxvvtvvxlt22222000 ( ) ( )xx lttwwatxwwwwxxt22222000( , ),0,00,00,0,0 xx lttvvaf x txl ttxvvtvvxlt22222000,0,00,0( ),( ),0 xx lttwwaxl ttxwwtwwxxxlt22222000( , ),0,00,00,0,0 xx lttvvaf x txl ttxvvtvvxlt22222000,0,00,0( ),( ),0 xx lttwwaxl ttxwwtwwxxxlt( , )( , )22222()()( , ),0,0u x tu x tv

5、wvwaf x txl ttx ( , )( , )0()()0,0u x tu x txx lvwvwt ( , )( , )00()()( ),( ),0u x tu x tttvwvwxxxlt 不難驗(yàn)證，若不難驗(yàn)證，若v是（是（2.41）的解，）的解，w是（是（2.42）的解，則）的解，則uv+w一定就是原定解問(wèn)題的解。一定就是原定解問(wèn)題的解。00,0 (2.38)xx luut00( ),( ),0 (2.39)ttuuxxx lt 22222( , ),0,0 (2.37)uuaf x txl ttx 問(wèn)題（問(wèn)題（2.42）可以直接用分離變量法求解，因此現(xiàn)在的）可以直接用分離變量法

6、求解，因此現(xiàn)在的問(wèn)題只要討論如何解問(wèn)題（問(wèn)題只要討論如何解問(wèn)題（2.41）就行了。）就行了。22222,0,0wwaxl ttx00,0 xx lwwt00( ),( ),0ttwwxxxlt（2.42） 22222( , ),0,0vvaf x txl ttx00,0 xx lvvt000,0,0ttvvxlt（2.41） 復(fù)習(xí)：參數(shù)（常數(shù)）變易法復(fù)習(xí)：參數(shù)（常數(shù)）變易法下列形式的一階常微分方程下列形式的一階常微分方程若若( )0q x ，則方程成為，則方程成為( )( )yp x yq x一階線性非齊次一階線性非齊次( )0yp x y一階線性齊次一階線性齊次一階線性齊次常微分方程的解法一

7、階線性齊次常微分方程的解法( )0yp x y是可分離變量方程。分離變量，得是可分離變量方程。分離變量，得( )dyp x dxy ( )dyp x dxy 兩邊積分，得兩邊積分，得ln( )lnyp x dxc所以，方程的通解公式為所以，方程的通解公式為( )p x dxyce一階線性非齊次常微分方程的解法一階線性非齊次常微分方程的解法齊次方程與非齊次方程的差異，在于齊次方程與非齊次方程的差異，在于( )0q x 。因此，我們可以設(shè)想它們的通解之間會(huì)有一定的聯(lián)系。因此，我們可以設(shè)想它們的通解之間會(huì)有一定的聯(lián)系。設(shè)設(shè)1( )yy x，是齊次方程的一個(gè)解，則當(dāng)，是齊次方程的一個(gè)解，則當(dāng)c為常數(shù)時(shí)

8、，為常數(shù)時(shí)，1( )ycy x1( )yy x仍然是仍然是( )0yp x y的一個(gè)解。它不可能滿足線性非齊次方程。如果我們把的一個(gè)解。它不可能滿足線性非齊次方程。如果我們把c看作看作x的函數(shù)，并將的函數(shù)，并將1( )( )yc x y x代入線性非齊次方程中，得代入線性非齊次方程中，得設(shè)設(shè)1( )( )yc x y x是非齊次方程的解，將是非齊次方程的解，將1( )( )yc x y x及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)11( )( )( )yc x y xc x y代入方程代入方程( )( )yp x yq x常數(shù)變易常數(shù)變易得得111( )( ) ( ) ( ) ( )yyc x yc x yp x c

9、x yq x 111( )( ) ( ) ( ) ( )yyc x yc x yp x c x yq x 即即111( )( )( ) ( )c x yc x yp x yq x因因1( )yy x是對(duì)應(yīng)線性齊次方程的解，所以是對(duì)應(yīng)線性齊次方程的解，所以11( )0yp x y因此，有因此，有1( )( )c x yq x1( )( )c xq x y兩邊積分，得兩邊積分，得1( )( )c xq x ydx c1( )( )c xq x ydx c1( )( )yc x y x將將代入到代入到得得111( )( )ycy xyq xy dx在實(shí)際運(yùn)算中，我們?nèi)≡趯?shí)際運(yùn)算中，我們?nèi)? )1p

10、x dxye于是，得到一階線性非齊次常微分方程的通解公式：于是，得到一階線性非齊次常微分方程的通解公式：( )( )1( )p x dxp x dxyecyq x edx22222000,0,0 (2.1)0,0,0 (2.2)( ),( ),0 (2.3)xx lttuuaxl ttxuutuuxxxlt齊次方程、齊次邊界條件下，定解問(wèn)題齊次方程、齊次邊界條件下，定解問(wèn)題的解為的解為11( , )( , ) (cossin)sinnnnnnu x tu x tn an anctdtxlll11( )1( , )( , ) (cossin)sin ( )sinnnnnnnutnnu x tu

11、x tn an anctdtxlllnu txl 22222000( , ),0,00,00,0,0 xx lttvvaf x txl ttxvvtvvxlt而定解問(wèn)題而定解問(wèn)題（2.41） 只比齊次方程多一個(gè)自由項(xiàng)只比齊次方程多一個(gè)自由項(xiàng)f(x,t)，所以設(shè)想（，所以設(shè)想（2.41）的解）的解22222000,0,0 (2.1)0,0,0 (2.2)( ),( ),0 (2.3)xx lttuuaxl ttxuutuuxxxlt有如下形式：有如下形式：1( , )( )sinnnnv x tv txl（2.43） ( )( )yp x yq x( )0yp x y一階線性非齊次一階線性非齊次

12、一階線性齊次一階線性齊次1( )yy x是一個(gè)特解是一個(gè)特解1( )ycy x也滿足方程也滿足方程1( )( )yc x y x是非齊次方程的解是非齊次方程的解1( )( )c xq x y1( )( )c xq x ydx c其中其中( )nv t是待定的函數(shù)。是待定的函數(shù)。也按特征函數(shù)系展開(kāi)成如下的也按特征函數(shù)系展開(kāi)成如下的級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)： 1( , )( )sinnnnf x tf txl（2.44） 其中其中 為了確定為了確定( )nv t，將自由項(xiàng)，將自由項(xiàng)f(x,t)02( )( , )sinlnnf tf x txdxll1( , )( )sinnnnv x tv txl（2.43）

13、 22222( , ),0,0vvaf x txl ttx將（將（2.43）及（）及（2.44）代入）代入 得得22221( )( )( )sin0nnnna nnv tv tf txll（2.45） （2.44） 1( , )( )sinnnnf x tf txl22221( )( )( )sin0nnnna nnv tv tf txll（2.45） 2222( )( )( )0nnna nv tv tf tl即即2222( )( )( )nnna nv tv tf tl我們又得到一個(gè)常微分方程。我們又得到一個(gè)常微分方程。因?yàn)橐驗(yàn)閟innxl是線性無(wú)關(guān)的，所以只有是線性無(wú)關(guān)的，所以只有再將（

14、再將（2.43）代入（）代入（2.41）中的初始條件得）中的初始條件得 1( , )( )sinnnnv x tv txl（2.43） 22222( , ),0,0vvaf x txl ttx00,0 xx lvvt000,0,0ttvvxlt（2.41） (0)0,(0)0nnvv同樣可得同樣可得因此，只需解如下的常微分方程初值問(wèn)題：因此，只需解如下的常微分方程初值問(wèn)題：2222( )( )( )nnna nv tv tf tl(0)0,(0)0,(1,2,)nnvvn（2.46） 用拉普拉斯變換法解這個(gè)二階常系數(shù)非齊次常微分方程用拉普拉斯變換法解這個(gè)二階常系數(shù)非齊次常微分方程 拉普拉斯變換

15、理論（又稱為運(yùn)算微積分，或稱為算子拉普拉斯變換理論（又稱為運(yùn)算微積分，或稱為算子微積分）是在微積分）是在19世紀(jì)末發(fā)展起來(lái)的首先是英國(guó)工程師亥世紀(jì)末發(fā)展起來(lái)的首先是英國(guó)工程師亥維賽德維賽德(o.heaviside)發(fā)明了用運(yùn)算法解決當(dāng)時(shí)電工計(jì)算中發(fā)明了用運(yùn)算法解決當(dāng)時(shí)電工計(jì)算中出現(xiàn)的一些問(wèn)題，但是缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證后來(lái)由法國(guó)出現(xiàn)的一些問(wèn)題，但是缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證后來(lái)由法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯數(shù)學(xué)家拉普拉斯(p.s.laplace)給出了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義，稱給出了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義，稱之為拉普拉斯變換方法之為拉普拉斯變換方法 解：解：在方程（在方程（2.46）2222( )( )( )nnna nv tv

16、tf tl(0)0,(0)0,(1,2,)nnvvn得兩端取關(guān)于得兩端取關(guān)于t的拉普拉斯變換，得的拉普拉斯變換，得22222( )( )( )nnna np upupfpl( )nup其中其中和和( )nfp分別是分別是( ),( )nnv tf t得拉普拉斯變換得拉普拉斯變換（2.46）222221( )( )nnupfpa npl由于由于222221a npl的逆拉普拉斯變化為的逆拉普拉斯變化為1sinn atn al利用拉普拉斯變化的卷積性質(zhì)，得利用拉普拉斯變化的卷積性質(zhì)，得01()( )( )sintnnn a tv tfdn al所以，所以，011()( , )( )sinsintn

17、nn a tnv x tfdxn all22222,0,0wwaxl ttx00,0 xx lwwt00( ),( ),0ttwwxxxlt（2.42） 將這個(gè)解與（將這個(gè)解與（2.42）22222( , ),0,0 (2.37)uuaf x txl ttx 00,0 (2.38)xx luut00( ),( ),0 (2.39)ttuuxxx lt 的解加起來(lái)，就得到原定解問(wèn)題（的解加起來(lái)，就得到原定解問(wèn)題（2.372.39）的解。）的解。還可以用沖量定理法求解非齊次振動(dòng)方程定解問(wèn)題。還可以用沖量定理法求解非齊次振動(dòng)方程定解問(wèn)題。22222( , ),0,0vvaf x txl ttx00,

18、0 xx lvvt000,0,0ttvvxlt（2.41） 沖量定理法的前提是初始條件均取零值。沖量定理法的前提是初始條件均取零值。這里所給的求解問(wèn)題（這里所給的求解問(wèn)題（2.41）的方法，其實(shí)質(zhì)是將方程）的方法，其實(shí)質(zhì)是將方程的自由項(xiàng)及解都按齊次方程所對(duì)應(yīng)的一族特征函數(shù)展開(kāi)的自由項(xiàng)及解都按齊次方程所對(duì)應(yīng)的一族特征函數(shù)展開(kāi)。隨著方程與邊界條件的不同，特征函數(shù)族也就不同，。隨著方程與邊界條件的不同，特征函數(shù)族也就不同，但總是把非齊次方程的解按相應(yīng)的特征函數(shù)展開(kāi)。所但總是把非齊次方程的解按相應(yīng)的特征函數(shù)展開(kāi)。所以這種方法也叫做以這種方法也叫做特征函數(shù)法特征函數(shù)法。 22222( , ),0,0vv

19、af x txl ttx00,0 xx lvvt000,0,0ttvvxlt（2.41） 解解 由于求解區(qū)域是環(huán)形區(qū)域，所以我們選用平面極坐由于求解區(qū)域是環(huán)形區(qū)域，所以我們選用平面極坐標(biāo)系，利用直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的關(guān)系標(biāo)系，利用直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的關(guān)系cossinxy可將上述定解問(wèn)題用極坐標(biāo)可將上述定解問(wèn)題用極坐標(biāo) , 形式：形式： 222211()12 cos2 ,02 (2.47)0,0,02 (2.48)abuuabuu 這是一個(gè)非齊次方程附有齊次邊界條件的定解問(wèn)題。采這是一個(gè)非齊次方程附有齊次邊界條件的定解問(wèn)題。采用特征函數(shù)法，并注意到在用特征函數(shù)法，并注意到在2.3中得到的關(guān)于圓域內(nèi)拉中得到的關(guān)于圓域內(nèi)拉普拉斯方程所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)，可令問(wèn)題（普拉斯方程所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)，可令問(wèn)題（2.47）、）、（2.48）的解為）的解為0( , )( )cos( )sinnnnuanbn 代入（代入（2.47）2202221( )( )( )cos1( )( )( )sin12cos2nnnnnnnnaaannbbbn2222214( )( )( )12aaa（2.49） 221( )( )( )0(2)nnnnaaan（2.50） 222211()12cos2uu并整理得到并整理得到0( , )( )cos( )sinnnnuanbn 221(