三垂線定理的證明及應用教案

1、三垂線定理的證明及應用教案三垂線定理的證明及應用教案教學目的使學生掌握三垂線定理及其應用，同時培養(yǎng)學生觀察、猬想和論證能力.教學過程一、復習和新課引入師：我們已經(jīng)學習過直線與平面的垂直關系，請大家回答幾個問題：(1)直線與平面垂直的定義.(2)直線與平面垂直的判定定理.(3)何謂平面的斜線、斜線在平面上的射影.生：略.師：(板書)設斜線2Da=0,作出J在平面a上的射影.(師生共同完成圖1.學生敘述畫法，教師畫圖，再次深化概念.)平面的垂線、斜線及斜線在平面上的射影是三垂線定理的基礎，引導學生溫故而 知新是十分必要的.二、猜想與發(fā)現(xiàn)師：根據(jù)直線和平面垂直的定義，我們知道，平面內的任意一條直線都

2、和平面的垂 線垂直.現(xiàn)在我們想一想，平面內的任意一條直線是否也都和平面的一條斜線垂直呢？（演示教具：用兩根鐵絲在桌面上演示，學生容易看出平面內的任意一條直線，并 不一定和平面的一條斜線垂直.）師：那么，是否平面內的所有直線都不和平面的一條斜線垂直呢？演示教具：如圖2,設直線1（鐵絲）和平面a （桌面）斜交，使直線山（鐵絲）和1 垂直，把直線m沿直線1平行移動到平面a內的n的位置，此時學生發(fā)現(xiàn)平面a內有 直線與平面的斜線垂直.師；如果我們把鐵絲m在平面內平行移動，使其到不同的位置（直線），那么，這些 直線與鐵絲垂直嗎？學生根據(jù)“兩條異面直線所成的角”的原理也很快判定這些直線與1（鐵絲）垂 直.1

3、師：平面內一條直線具備什么條件，才能和平面的一條斜線垂直呢？即怎樣判定平 面內的直線與平面的一條斜線垂直呢？指導學生用三角板和鉛筆在桌面上搭成模型（如圖3）,使鉛筆與三角板的斜邊垂 直，引導學生觀察猜想發(fā)現(xiàn)規(guī)律.經(jīng)過實驗，發(fā)現(xiàn)鉛筆和三角板在平面a內的直角邊 垂直時便與斜邊垂直.師：（啟發(fā)）如何歸結為數(shù)學問題呢？（學生們恍然大悟，終于發(fā)現(xiàn)了，平面內的一 條直線如果和平面的斜線的射影垂直就和平面的斜線垂直.）師：實驗得出的結果是否正確還得進行證明.引入新課是課堂教學的重要環(huán)節(jié),新課引入得好，這節(jié)課就成功了一半，教師根 據(jù)教與學的實際，提出問題，創(chuàng)設情境，引導學生觀察、猜想，發(fā)現(xiàn)新知識，從而調動 了

4、學生的積極性，培養(yǎng)了學生的探索能力，體現(xiàn)了教師為主導、學生為主體的教學思想.三、證明師：現(xiàn)在我們把由實驗發(fā)現(xiàn)的結論表達成命題的形式.（學生敘述，教師板書.）已知：如圖4, PA、P0分別是平面a的垂線和斜線，A0是P0在平面a上的射影,acci, alAO.求證：a±P0.國4師：這是證明兩條直線互相垂直的問題.在立體幾何中怎樣證明兩條直線互相垂直 呢？（學生思考、議論，教師歸納.）師：常用的方法是證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面.現(xiàn)在要證明a_L平面PAO呢？只要證明a_L平面PAO內的兩條相交直線即可.證明（師生共同完成.）PA1C1a C丁> AOla= al 平面

5、PA。AOnPA = APO C 平面PAO師：這個命題的證明，體現(xiàn)了 “由線面垂直證線線垂直”的方法.這個方法很重要, 大家要給以足夠的重視.上述命題反映了平面內的一條直線、平面的斜線和斜線在這個平面內的射影這三者 之間的垂直關系.這就是有名的三垂線定理.下面請大家根據(jù)已知條件和結論，把三垂 線定理完整地表達出來.（學生敘述，教師板書.）三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么 它也和這條斜線垂直.這樣由具體到抽象地研究問題，能夠培養(yǎng)學生的概括能力.從“猜想”到“證明” 是質的升華！是學習數(shù)學必須具備的重要素質，引導學生證明猬想結果，總結定理，比 直接給出定理

6、記得牢，理解得深刻，又能培養(yǎng)學生的能力.四、剖析定理師：（逐字逐句地閱讀定理，同時圈點重要字眼，并提出下面幾個問題讓學生討論.）（1）本定理的證明過程是對水平位置的平面a而進行的.那么定理對其他位置的平 面是否成立？并說明理由.（2）直線a是平面a內垂直于AO的任意一條直線,a和斜線P0的位置關系有幾種？ 反映三垂線定理的圖形有幾種可能的情況？并畫出圖形.（學生分組討論，教師巡回指導，適時點撥，解答疑難，啟發(fā)誘導，掌握討論情況, 然后教師總結.）師：（1）三垂線定理對任意位置的平面都成立.因為定理中并沒有水平平面的限 制.定理的實質是研究平面內的一條直線與這個平面的斜線及斜線在這個平面內的射影

7、 三者的垂直關系，與平面的位置無關.（2）因為a是平面a內的任意一條直線，所以a與斜線P0的位置關系有兩種情況: 一是不過斜足0的異面垂直；一是過斜足0的相交垂直.反映三垂線定理的圖形有四種 情況（如圖5）.(3)圖5以上四種情況的圖形在證題時都是經(jīng)常遇到的，應該靈活運用三垂線定理.a不過 斜足。時的情況容易被忽略，這是證題時確定三垂直關系的一個難點，應當給以足夠的 重視.剖析定理是幾何教學中的一個重要環(huán)節(jié).通過剖析，可以加深對定理的理解，為 應用定理奠定基礎，這是提高教學質量的重要措施.五、定理的應用定理的應用是學習定理的重要環(huán)節(jié).它既能鞏固所學知識又能培養(yǎng)能力.師：請同學們證明下題：已知：

8、如圖6,。是ABC的垂心，PO_L平面ABC,連結PA.求證：BCXPA.囪6（學生思考后，教師分析.）師；根據(jù)題意，P。是平面的垂線，顯然PA是平面A3C的斜線,而BCU平面ABC,所以，要證明BC_LPA,只要證明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可.那么，怎 樣確定PA的射影呢？請大家把證明過程寫在練習本上.（同時指定一學生上黑板板演.）生：（板演）因為PO、PA是平面的垂線和斜線，連結A0且延長交BC于D（圖7）,則 A0是PA在平面ABC上的射影.又0是AABC的垂心，所以AD_LBC,由三垂線定理可得 BCXPA.F圖7師：請談談證明的思路.生：先找出平面的垂線、斜線以及這條斜線在

9、平面上的射影，.師：他回答完整嗎，生：應先確定一個平面及平面內的一條直線.師：這點補充得好！三垂線定理是證明空間兩條直線互相垂直的重要方法,應用三 垂線定理的思維過程是：“一定"定平面及平面內的一條直線；“二找”找這個平面的垂線、斜線及斜線在這個平面上的射影；“三證”一證明平面內的一條直線與射影垂直.在復雜圖形中應用三垂線定理時，需要先確定反映三垂線定理的基本圖形，然后 才能著手證明，因而掌握三垂線的證題步驟是十分必要的.師：我們來研究第二道題.（板書.）已知：正方體ABCD-ABCD.求證：（DAQJLBG； （2）AQJ_平面GDB.先考慮ACJLBC如何證明？圖aB(在此指導下

10、，學生們通過認真觀察，獨立思考，確定平面BCCH及平面內的一條 直線BQ, AB是平面BCC瓜的垂線，AC是斜線，從而找到了反映三垂線定理的基本圖 形.連結BC 用三垂線定理證明樂C_LBC，.)證明略.師：把第小題作為條件證明第小題，只需再證A,C_LBD就可以了.學生連結AC,順利地證明了 A£_LBD,第(2)小題的證明就水到渠成了.證明過程 是：由(1)得 AglBC同理證AglBD卜nAgl平面C】DB.BCDDB 二 B師：在數(shù)學證明中，相同的證明方法可用“同理可證”代替推理過程.但必須注意 推理的嚴密性.例如，上面的證明過程中，要防止漏掉BGGDB=B.(證明時，有些同

11、 學漏掉了這一點，經(jīng)教師指導才改正，“同理”的運用也是如此.)講定理的應用時，關鍵是選好例題.這兩道題的安排是由易到難，第一道題是直 接應用定理，第二道題難度增大，要求學生在復雜的圖形中通過觀察和分析確定反映三 垂線定理的基本圖形，再應用定理，以培養(yǎng)學生靈活應用定理的能力.六、小結(師生共同進行.)(1)本節(jié)課的教學可概括為四個字：猜、證、剖、用，即猜想平面內的直線與平面 的斜線垂直的特征；證明三垂線定理；剖析定理的內容；應用定理證題.(2)敘述三垂線定理的內容，定理的證明方法是證明空間兩條直線互相垂直的基本 方法，稱為線面垂直法.(3)此定理是空間兩條直線垂直的判定定理，與平面的位置無關.運用定理的步驟 是：“一定、二找、三證明”.七、課外作業(yè)課本習題：略.補充題：寫出三垂線定理的逆定理，并加以證明.課后扎記學生們反映這樣講定理好，記