茂茂的實驗二：時域采樣和頻域采樣

1、時域采樣與頻域采樣實驗報告姓名： 學號：一、實驗目的時域采樣理論與頻域采樣理論是數(shù)字信號處理中的重要理論。要求掌握模擬信號采樣前后頻譜的變化，以及如何選擇采樣頻率才能使采樣后的信號不丟失信息；要求掌握頻率域采樣會引起時域周期化的概念，以及頻率域采樣定理及其對頻域采樣點數(shù)選擇的指導作用。二、實驗原理及方法1、時域采樣定理的要點：對模擬信號Xa(t)以間隔T進行時域等間隔理想采樣，形成的采樣信號的頻譜會以采樣角頻率s（s=2/T）為周期進行周期延拓。公式為： 采樣頻率s必須大于等于模擬信號最高頻率的兩倍以上，才能使采樣信號的頻譜不產(chǎn)生頻譜混疊。利用計算機計算上式并不方便，下面我們導出另外一個公式，

2、以便用計算機上進行實驗。 理想采樣信號和模擬信號xa(t)之間的關系為： 對上式進行傅立葉變換，得到：在上式的積分號內只有當時，才有非零值，因此：上式中，在數(shù)值上xa(nT)x(n)，再將=T代入，得到： 上式的右邊就是序列的傅立葉變換，即 上式說明理想采樣信號的傅立葉變換可用相應的采樣序列的傅立葉變換得到，只要將自變量用T代替即可。2、頻域采樣定理的要點：對信號x(n)的頻譜函數(shù)X(ej)在0，2上等間隔采樣N點，得到則N點IDFTXN(k)得到的序列就是原序列x(n)以N為周期進行周期延拓后的主值區(qū)序列，公式為： 由上式可知，頻域采樣點數(shù)N必須大于等于時域離散信號的長度M(即NM)，才能使

3、時域不產(chǎn)生混疊，則N點IDFTXN(k)得到的序列xN(n)就是原序列x(n),即xN(n)=x(n)。如果N>M，xN(n)比原序列尾部多N-M個零點；如果N<M，z則xN(n)=IDFTXN(k)發(fā)生了時域混疊失真，而且xN(n)的長度N也比x(n)的長度M短，因此。xN(n)與x(n)不相同。 在數(shù)字信號處理的應用中，只要涉及時域或者頻域采樣，都必須服從這兩個采樣理論的要點。 對比上面敘述的時域采樣原理和頻域采樣原理，得到一個有用的結論，這兩個采樣理論具有對偶性：“時域采樣頻譜周期延拓，頻域采樣時域信號周期延拓”。因此放在一起進行實驗。三、實驗內容及步驟1、時域采樣理論的驗證

4、給定模擬信號， 式中A=444.128，=50，0=50rad/s。現(xiàn)用DFT(FFT)求該模擬信號的幅頻特性，以驗證時域采樣理論。按照xa(t)的幅頻特性曲線，選取三種采樣頻率，即Fs=1kHz，300Hz，200Hz。觀測時間選Tp=64ms。 為使用DFT，首先用下面公式產(chǎn)生時域離散信號，對三種采樣頻率，采樣序列按順序用x1(n)，x2(n)，x3(n)表示。 因為采樣頻率不同，得到的x1(n)，x2(n)，x3(n)的長度不同， 長度（點數(shù)）用公式N=Tp×Fs計算。選FFT的變換點數(shù)為M=64，序列長度不夠64的尾部加零。X(k)=FFTx(n) ， k=0,1,2,3,-

5、,M-1式中k代表的頻率為 。要求： 編寫實驗程序，計算x1(n)、x2(n)和x3(n)的幅度特性，并繪圖顯示析頻譜混疊失真。程序：A=444.128;a=50*sqrt(2)*pi;w0=50*sqrt(2)*pi;Tp=64/1000;F1=1000;F2=300;F3=200;T1=1/F1;T2=1/F2;T3=1/F3; n1=0:Tp*F1-1;n2=0:Tp*F2-1;n3=0:Tp*F3-1;x1=A*exp(-a*n1*T1).*sin(w0*n1*T1);x2=A*exp(-a*n2*T2).*sin(w0*n2*T2);x3=A*exp(-a*n3*T3).*sin(w

6、0*n3*T3);f1=fft(x1,length(n1);f2=fft(x2,length(n2);f3=fft(x3,length(n3);k1=0:length(f1)-1;fk1=k1/Tp; k2=0:length(f2)-1;fk2=k2/Tp; k3=0:length(f3)-1;fk3=k3/Tp; subplot(3,2,1)stem(n1,x1,'.')title('(a)Fs=1000Hz');xlabel('n');ylabel('x1(n)');subplot(3,2,3)stem(n2,x2,'

7、.')title('(b)Fs=300Hz');xlabel('n');ylabel('x2(n)');subplot(3,2,5)stem(n3,x3,'.')title('(c)Fs=200Hz');xlabel('n');ylabel('x3(n)');subplot(3,2,2)plot(fk1,abs(f1)title('(a) FTxa(nT),Fs=1000Hz');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度&#

8、39;)subplot(3,2,4)plot(fk2,abs(f2)title('(b) FTxa(nT),Fs=300Hz');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度')subplot(3,2,6)plot(fk3,abs(f3)title('(c) FTxa(nT),Fs=200Hz');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度') 實驗圖像：(1)采樣頻率Fs=1KHZ，圖（a1）的橫坐標是n，縱坐標是采樣序列，圖（a2）的橫坐標是頻率，縱坐標是幅度 (2)采樣頻率F

9、s=300HZ，圖（b1）的橫坐標是n，縱坐標是采樣序列，圖（b2）的橫坐標是頻率，縱坐標是幅度 (3)采樣頻率Fs=200HZ，圖（c1）的橫坐標是n，縱坐標是采樣序列，圖（c2）的橫坐標是頻率，縱坐標是幅度結果分析：由圖可見，采樣序列的頻譜的確是以采樣頻率為周期對模擬信號頻譜的周期延拓。當采樣頻率為1000Hz時頻譜混疊很??；當采樣頻率為300Hz時，在折疊頻率150Hz附近頻譜混疊很嚴重；當采樣頻率為200Hz時，在折疊頻率110Hz附近頻譜混疊更很嚴重。由實驗圖像可以看出，時域非周期對應著頻域連續(xù)。對連續(xù)時間函數(shù)對采樣使其離散化處理時，必須滿足時域采樣定理的要求，否則，必將引起頻域的混

10、疊。要滿足要求信號的最高頻率Fc不能采樣頻率的一半（Fs/2），不滿足時域采樣定理，頻率將會在=附近，或者f=Fs/2混疊而且混疊得最嚴重。2、頻域采樣理論的驗證給定信號如下： 編寫程序分別對頻譜函數(shù)在區(qū)間2,2上等間隔采樣32點和16點，得到X32(k)和X16（k）：再分別對X32(k)和X16（k）進行32點和16點IFFT，得到x32(n)和x16(n）：分別畫出、X32(k)和X16(k）的幅度譜，并繪圖顯示x(n)、x32(n)和x16(n）的波形，進行對比和分析，驗證總結頻域采樣理論。提示：頻域采樣用以下方法容易變程序實現(xiàn)。（1）直接調用MATLAB函數(shù)fft計算X32(k)=F

11、FTx(n)32就得到在0,2的32點頻率域采樣(2)抽取X32(k)的偶數(shù)點即可得到在0,2的16點頻率域采樣X16(k)，即X16(k)= X32(k),k=0,1,2,3,.15。(3) 當然也可以按照頻域采樣理論，先將信號x(n)以16為周期進行周期延拓，取其主值區(qū)（16點），再對其進行16點DFT(FFT),得到的就是在0,2的16點頻率域采樣X16(k)。程序：M=27;N=32;n=0:M;xa=0:floor(M/2); xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=xa,xb;Xk=fft(xn,1024);X32k=fft(xn,32); x32n=ifft(X32k)

12、;X16k=X32k(1:2:N);x16n=ifft(X16k,N/2);subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');box ontitle('(b) 三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis(0,32,0,20)k=0:1023;wk=2*k/1024;subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk);title('(a)FTx(n)');xlabel('omega/pi');ylabel('|X(ejomega)

13、|');axis(0,1,0,200)k=0:N/2-1;subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');box ontitle('(c) 16點頻域采樣');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis(0,8,0,200)n1=0:N/2-1;subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');box ontitle('(d) 16點IDFTX_1_6(k)');xlabel('n');ylabel(&

14、#39;x_1_6(n)');axis(0,32,0,20)k=0:N-1;subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');box ontitle('(e) 32點頻域采樣');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis(0,16,0,200)n1=0:N-1;subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');box ontitle('(f) 32點IDFTX_3_2(k)');xlabel('n');

15、ylabel('x_3_2(n)');axis(0,32,0,20)實驗圖像(1) x(n)及其采樣波形(2) 16點的頻域采樣及其IDFT(3) 32點的頻域采樣及其IDFT結果分析：該圖驗證了頻域采樣理論和頻域采樣定理。對信號x(n)的頻譜函數(shù)X(ej)在0，2上等間隔采樣N=16時， N點IDFTXN(k)得到的序列正是原序列x(n)以16為周期進行周期延拓后的主值區(qū)序列：由于N<M，所以發(fā)生了時域混疊失真，因此，xN(n)與x(n)不相同，如圖圖3.3(c)和(d)所示。當N=32時，如圖圖3.3(c)和(d)所示，由于N>M，頻域采樣定理，所以不存在時域混

16、疊失真，因此，xN(n)與x(n)相同。由實驗內容2的結果可知，對一個信號的頻譜進行采樣處理時，必須嚴格遵守頻域采樣定理，否則，用采樣的離散頻譜恢復原序列信號時，所得的時域離散序列是混疊失真，得不到原序列四、實驗思考及解答如果序列x(n)的長度為M，希望得到其頻譜在0，2上的N點等間隔采樣，當N<M時，如何用一次最少點數(shù)的DFT得到該頻譜采樣？答：由實驗內容2的結果可得：對于求頻域采樣點數(shù)N小于原時域序列長度M的N點離散頻譜時，可先對原序列x(n)以N為周期進行周期延拓后取主值區(qū)序列再計算N點DFT則得到N點頻域采樣：但是，所求的N點離散頻譜對應的時域離散序列是原序列x(n)以N為周期進行周期延拓后取主值區(qū)序列，而不是原序列x(n)五、實驗小結通過此次實驗，對時域采樣和頻域采樣的理論、定理的理解更加深入。采樣是模/數(shù)中最重要的一步，采樣方法的正確與否，關系到信號處理