利用待定系數(shù)法因式分解和分式的拆分等

1、.第2講利用待定系數(shù)法因式分解、分式的拆分等一、 方法技巧1. 待定系數(shù)法運用于因式分解、分式的拆分等問題中，其理論依據(jù)是多項式恒等，也就是利用了 多項式的充要條件是：對于一個任意的x=a值，都有；或者兩個多項 式各關(guān)于x的同類項的系數(shù)對應(yīng)相等 2. 使用待定系數(shù)法解題的一般步驟是：（1）確定所求問題含待定系數(shù)的一般解析式；（2）根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程（組）；（3）解方程（組），從而使問題得到解決. 例如：“已知，求a，b，c的值”解答此題，并不困難只需將右式與左式的多項式中的對應(yīng)項的系數(shù)加以比較后，就可得到a，b，c的值這里的a，b，c是有待于確定的系數(shù)，

2、這種解決問題的方法就是待定系數(shù)法3. 格式與步驟:(1)確定所求問題含待定系數(shù)的解析式.上面例題中，解析式就是： (2)根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程.在這一題中，恒等條件是：(3)解方程或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決.二、應(yīng)用舉例類型一 利用待定系數(shù)法解決因式分解問題【例題1】已知多項式能被整除.（1）求a，b（2）分解因式： 【答案】（1） （2）【解析】試題分析：（1）由條件可知是該多項式的一個二次因式，而該多項式次數(shù)為4，故可設(shè)，可解出m、n，最后代入即可求出a、b的值.（2）由（1）可得結(jié)果試題解析：解：（1）多項式能被整除設(shè)，整理，得解得a、b的值分別為.（2）考點：1

3、.待定系數(shù)法因式分解 2.整式乘法 3.解方程組.點評：用待定系數(shù)法分解因式，就是先按已知條件把原式假設(shè)成若干個因式的連乘積，這些因式中的系數(shù)可先用字母表示，它們的值是待定的，由于這些因式的連乘積與原式恒等，然后根據(jù)恒等原理，建立待定系數(shù)的方程組，最后解方程組即可求出待定系數(shù)的值.【難度】一般【例題2】分解因式：【答案】【解析】試題分析：方法一 因為，因此,如果多項式能分解成兩個關(guān)于x、y的一次因式的乘積,那么設(shè)原式的分解式是,其中m、n為待定系數(shù). 然后展開，利用多項式的恒等，求出m、n的值.試題解析：解：，設(shè)即 對比系數(shù)，得： 由、解得： 代入式也成立.試題分析：方法二 前面同思路1，因為

4、是恒等式，所以對任意的值，等式都成立，所以給取特殊值，即可求出的值.試題解析：解：，設(shè)即  該式是恒等式，它對所有使式子有意義的x，y都成立，那么令 令 解、組成的方程組，得或把它們分別代入恒等式檢驗，得考點：1.待定系數(shù)法分解因式 2.解方程組.點評：本題解法中方程的個數(shù)多于未知數(shù)的個數(shù)，必須把求得的值代入多余的方程逐一檢驗.若有的解對某個方程或所設(shè)的等式不成立，則需將此解舍去；若得方程組無解，則說明原式不能分解成所設(shè)形成的因式.【難度】較難類型二 利用待定系數(shù)法解決分式拆分問題【例題3】 將分式拆分成兩個分式的和的形式.【答案】【解析】試題分析：設(shè)，將等式右邊通分，再利用分子恒等

5、求出a、b、c的值即可.試題解析：解：設(shè)而即比較分子，得解得， .考點：分式的恒等變形點評：拆分有理真分式的時候，分母含二次項，則設(shè)分子為形式，分母只含一次項，則設(shè)分子為常數(shù)【難度】較難【例題4】計算： 【答案】【解析】試題分析：本題的10個分式相加，無法通分，而式子的特點是：每個分式的分母都是兩個連續(xù)整數(shù)的積（若a是整數(shù)），所以我們探究其中一個分式，找到相通的規(guī)律，從而解題.試題解析：解：我們設(shè)而比較分子得：，解得： 所以所以，原式= 考點：分式計算.點評：在做題的時候見到式子的特點是：每個分式的分母都是兩個連續(xù)整數(shù)的積，可直接用公式拆分.【難度】較難類型三 利用待定系數(shù)法解決多項式中不含某

6、項問題【例題5】 已知的積中不含的二次項，則的值是（）A. 0 B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：將多項式展開、合并，按的降冪排列，根據(jù)積中不含的二次項等價于項的系數(shù)為零列方程即可求得的值.試題解析：解： 積中不含x的二次項，解得.故選C.考點：多項式乘以多項式.點評：多項式不含某項則某項的系數(shù)為零，根據(jù)這一條件列方程或方程組，從而求出待定系數(shù)的值.【難度】一般三、 實戰(zhàn)演練1.若多項式能被整除，則.【答案】【解析】試題分析：此題可通過因式分解得到：被除式=商×除式（余式為0），其除式為試題解析：解：設(shè)原式比較系數(shù)，得：由，解得，代入得考點：因式分解的應(yīng)用點評：此題考查知

7、識點是因式分解的應(yīng)用，運用公式被除式=商×除式（余式為0）是解題關(guān)鍵.【難度】容易2. 分解因式：【答案】=【解析】試題分析：這個多項式各項之間沒有公因式也不符合乘法公式，又因為不是二次三項式所以不適用十字相乘法；雖多于三項，但分組之后分解不能繼續(xù).因此，我們應(yīng)采用其他的辦法待定系數(shù)法.這是一個四次五項式，首項系數(shù)為1，尾項也是1，所以它可以寫成兩個二次三項式的積，再利用恒等式的性質(zhì)列方程組求解即可.試題解析：解：設(shè)=而解得或考點：待定系數(shù)法因式分解.點評：本題考查了待定系數(shù)法因式分解解高次多項式，恰當設(shè)待定系數(shù)是關(guān)鍵.【難度】容易3.分解因式：【答案】【解析】試題分析：屬于二次六項

8、式，也可考慮用雙十字相乘法，在此我們用待定系數(shù)法.先分解，再設(shè)原式，展開后，利用多項式恒等列方程組即可求解.試題解析：方法一解：可設(shè)原式原式=即 *比較左右兩個多項式的系數(shù)，得： 解得方法二 對于方法一中的恒等式（*）因為對a、b取任何值等式都成立，所以也可用特殊值法，求m、n的值.令 令 令 解、組成的方程組，得當時，成立考點：1.待定系數(shù)法因式分解 2.整式乘法 3.解方程組.點評：對于復(fù)雜的多項式分解因式，關(guān)鍵是列出恒等關(guān)系式，然后根據(jù)恒等原理，建立待定系數(shù)的方程組，最后解方程組即可求出待定系數(shù)的值. 【難度】較難4. 已知表示關(guān)于x的一個五次多項式，若，求的值.【答案】【解析】試題分析

9、：因為，所以這個多項式中必有因式，而四個因式的乘積為四次多項式，故原多項式可以分解為以上四項因式的乘積以及還有一項一次因式的乘積，故式的乘積，故這個多項式可以設(shè)為，利用待定系數(shù)法求出a、b的值最后代入原多項式，即可求出的值.試題解析：解：，設(shè)由，可得方程組 解得： 考點：1.解二元一次方程組 2.多項式變形點評：此題考查了解二元一次方程組以及多項式的變形，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.【難度】較難5.為何值時，多項式能被整除？【答案】，【解析】試題分析：由于多項式能被整除，可設(shè)商為，再利用逆運算，除式×商式=被除式，利用等式的對應(yīng)相等，可求出.試題解析：解：設(shè)原式= = =對比系數(shù)，得：解

10、得：故，.考點：整式的除法點評：本題考查的是多項式除以多項式，注意多項式除以多項式往往可轉(zhuǎn)化成多項式乘以多項式.【難度】一般6.若多項式能被和整除，那么.該多項式因式分解為：. 【答案】【解析】試題分析：因為多項式能被和整除，則說明和都是多項式的一個因式，故設(shè)，展開即可求解.試題解析：解：設(shè) 對比系數(shù)，得：解得:故,，多項式因式分解為：考點：整式除法與因式分解點評：本題考查的是多項式除以多項式，注意理解整除的含義，比如A被B整除，另外一層意思就是B是A的因式7. 分解因式：【答案】【解析】試題分析：本題是關(guān)于x的四次多項式可考慮用待定系數(shù)法將其分解為兩個二次式之積.試題解析：解：設(shè)由恒等性質(zhì)有

11、：解得：，代入中，成立. 說明：若設(shè)由待定系數(shù)法解題知關(guān)于a與b的方程無解，故考點：因式分解應(yīng)用點評：根據(jù)多項式的特點恰當將多項式設(shè)成含待定系數(shù)的多項式的積的形式是解題的關(guān)鍵.【難度】較難8. 在關(guān)于的二次三項式中，當，其值為0；當時，其值為0；當時，其值為10，求這個二次三項式.【答案】【解析】試題分析：思路1 先設(shè)出關(guān)于的二次三項式的表達式，然后利用已知條件求出各項的系數(shù)?？煽紤]利用恒等式的性質(zhì)。試題解析：解：法1 先設(shè)出關(guān)于的二次三項式，把已知條件分別代入，得，解得故所求的二次三項式為思路2 根據(jù)已知時，其值為0這一條件可設(shè)二次三項式為，然后求出的值.法2 由已知條件時，這個二次三項式的

12、值為0，故可設(shè)這個二次三項式為把代入上式，得，故所求的二次三項式為，即考點：多項式點評：選用待定系數(shù)法,利用已知條件求多項式是解題關(guān)鍵.【難度】一般9.已知多項式的系數(shù)都是整數(shù)，若是奇數(shù)，證明這個多項式不能分解為兩個整系數(shù)多項式的乘積.【答案】見解析【解析】試題分析：先設(shè)這個多項式能分解為兩個整系數(shù)多項式的乘積，然后利用已知條件及其他知識推出這種分解是不可能的.試題解析：證明：比較系數(shù)得：因為是奇數(shù)，則都是奇數(shù)，那么也是奇數(shù)，由奇數(shù)的性質(zhì)得出也都是奇數(shù).在式中令，得由是奇數(shù)，得是奇數(shù)。而為奇數(shù)，故是偶數(shù)，所以是偶數(shù).這樣的左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)。這是不可能的.因此題中多項式不能分解為兩個整系數(shù)

13、多項式的乘積.考點：多項式除法.點評：所要證的命題涉及到“不能”時，常?？紤]用反證法來證明.【難度】容易10.將分式拆分成兩個分式的和的形式.【答案】【解析】試題分析：設(shè)，將等式右邊通分，再利用分子恒等求出a、b的值即可.試題解析：解：設(shè)而即比較分子，得解得. 考點：分式的恒等變形.點評：拆分有理真分式的時候，分母含二次項，則設(shè)分子為形式，分母只含一次項，則設(shè)分子為常數(shù)【難度】一般11.將分式拆分成兩個分式的和的形式.【答案】=【解析】試題分析：設(shè)=，將等式右邊通分，再利用分子恒等求出a、b的值即可.試題解析：方法一 解：設(shè)=而=即=比較分子，得解得. =方法二 分式還可以先變形為：易知=所以

14、=()=考點：分式的恒等變形.點評：拆分有理真分式的時候，分母含二次項，則設(shè)分子為Ax + B形式，分母只含一次項，則設(shè)分子為常數(shù)【難度】容易12. 計算【答案】【解析】試題分析：本題的4個分式相加，無法通分，而式子的特點是：每個分式的分母都是兩個連續(xù)整數(shù)的積（若a是整數(shù)），利用，進行拆分即可.試題解析：解：原式= = =考點：分式計算點評：利用公式拆分，是解題關(guān)鍵，而原理就是設(shè)，求出,熟練后可直接運用公式.【難度】容易13. 將分式拆分成兩個分式的和的形式.【答案】=【解析】試題分析：設(shè)=，將等式右邊通分，再利用分子恒等求出a、b的值即可.試題解析：解：設(shè)=而=即=比較分子，得解得. =考點

15、：分式的恒等變形.點評：拆分有理真分式的時候，分母含二次項，則設(shè)分子為Ax + B形式，分母只含一次項，則設(shè)分子為常數(shù).【難度】一般14. 將分式拆分成一個整式和一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式.【答案】【解析】試題分析: 由于要將分式拆分成一個整式和一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式，可設(shè)試題解析：解：由于分母為，可設(shè)對于任意x，上述等式均成立， 這樣分式被拆分成了一個整式與一個分式的和.考點：分式的加減法點評：本題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題關(guān)鍵.【難度】一般15.已知的計算結(jié)果中不含x3的項，則m的值為（）A. 3 B. -3 C. D. 0【答案】B【解析】試題分析：將多

16、項式展開、合并，按x的降冪排列，根據(jù)積中不含x3項等價于x3項的系數(shù)為零列方程即可求得m的值.試題解析：方法一解：結(jié)果中不含x3的項，解得.故選B.方法二由于x3項可由x項與x2項相乘或x3與常數(shù)項相乘得到，故展開式中只需計算x項乘以x2項及x3乘以常數(shù)項即可.解：又結(jié)果中不含的項，解得.故選B.考點：多項式乘法.點評：多項式不含某項則某項的系數(shù)為零，根據(jù)這一條件列方程或方程組，從而求出待定系數(shù)的值.【難度】一般16. 如果的乘積中不含項，則a為(     )A. 5 B. C. D. 5【答案】B【解析】試題分析：將多項式展開、合并，按x的降冪排列，根據(jù)積中不含x2項等價

17、于x2項的系數(shù)為零列方程即可求得a的值.試題解析：解：原式.不含項，.解得.故選B.考點：多項式乘多項式點評：多項式不含某項則某項的系數(shù)為零，根據(jù)這一條件列方程或方程組，從而求出待定系數(shù)的值.【難度】一般17.若的乘積中不含y的一次項，則a的值為（）A. 7 B. -7 C. 0 D. 14【答案】A【解析】試題分析：先用多項式乘以多項式的運算法則展開，并且把a看作常數(shù)，合并關(guān)于y的同類項，令y的系數(shù)為0，得出關(guān)于a的方程，求出a的值試題解析：解：.又乘積中不含y的一次項，. 解得a=7故選A.考點：多項式乘法點評：多項式不含某項則某項的系數(shù)為零，根據(jù)這一條件列方程或方程組，從而求出待定系數(shù)的

18、值.【難度】一般18.要使與關(guān)于的二項式的積中不含x的二次項，則【答案】【解析】試題分析：根據(jù)多項式乘以多項式，可得整式，根據(jù)整式不含二次項，可得關(guān)于的二元一次方程，根據(jù)等式性質(zhì)，可得答案.試題解析：解： 兩邊都除以2b得：故答案為：.考點：多項式乘以多項式.點評：本題考查了多項式乘以多項式，利用了多項式乘以多項式法則，整式不含二次項，得出關(guān)于的二元一次方程是解題關(guān)鍵.【難度】一般19. 若的乘積中不含x2和x項，則p，q的值分別是多少？【答案】，【解析】試題分析：將多項式展開、合并，按x降冪排列，根據(jù)不含x2和x項，則x2項和x項的系數(shù)為零，從而列出關(guān)于p，q的方程組，解之即可求得p，q的值.試題解析：解:,由不含x2和x項，得：解得： 考點：1.多項式乘法 2.二元一次方程組.點評：此題考查了多項式的乘法以及解二元一次方程組，利用了多項式乘以多項式的運算法則，整式不含x2和x項，得出關(guān)于的二元一次方程組是解本題的關(guān)鍵.【難度】一般20.已知中不含x的一次項，求p的值.一變：已知，求a，k的值.二變：k是什么數(shù)時，可以寫成的形式？【答案】；一變：；二變：.【解析】試題分析：將多項式展開、合并，