2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末測(cè)試卷01(理)(測(cè)試范圍：必修2、選修2-1)(教師版)

1、期末測(cè)試卷Ol （理）（本卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘）測(cè)試范圍：必修2、選修2-1 （人教A版）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的1. 如圖，在正方體ABCD-AIBIClDl中，E、F分別為BC、的中點(diǎn)，則下列直線(xiàn)中與直線(xiàn)EF相交的是（）oA、直線(xiàn)AB、直線(xiàn)AlBlC、直線(xiàn)AqD、直線(xiàn)BiG【答案】D【解析】根據(jù)異面直線(xiàn)的概念可看出直線(xiàn)AA、AB】、£9都和直線(xiàn)EF是異而直線(xiàn)，而直線(xiàn)BlCI和直線(xiàn)EF任冋一平而B(niǎo)BIClC內(nèi).且這兩直線(xiàn)不平行，直線(xiàn)EG與直線(xiàn)EF相交，故選DlJ2. 設(shè)a、卩是兩個(gè)不同的

2、平而，則a丄P的充要條件是（）。A、平面a內(nèi)任意一條直線(xiàn)與平面卩垂直B、平面cc、卩都垂直于同一條直線(xiàn)C、平而a、卩都垂直于同一平而D、平而a內(nèi)存在一條直線(xiàn)與平面卩垂直【答案】D【解析】若（X丄卩，則平而a內(nèi)存在直線(xiàn)仃平而卩不垂直，選項(xiàng)A不正確：而a、卩都垂直于同一條直線(xiàn)，則平而a Ij 平行，選項(xiàng)B不正確；Iz I7Ifiia .卩都垂直于同一平而，則平而a、卩町以平行，也可以相交，選項(xiàng)C不匸確: 若平面a內(nèi)存任一條直線(xiàn)打平而卩垂直，則根據(jù)而而垂直的判定定理可知CC丄p, 若a丄p,則由而而垂宜的性質(zhì)泄理知，平而a內(nèi)垂直于兩個(gè)平而的交線(xiàn)的直線(xiàn) 龍垂直于平而p，故選項(xiàng)D正確； 故選D。3. 點(diǎn)

3、P（4,-2）與圓X2 + y2 = 4上任一點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)的軌跡方程是（）。A、(A-2)2+(y + l)2 =1B、(-2)2 + (y + l)2=4C、( + 2)2+(y-l)2 = lD、( + 4)2 +(y-2)2 =4. = 2x-4 = 2y + 2【答案】AJv' + 4 = 【解析】設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為A(x. v),丿F；么圓上一點(diǎn)設(shè)為BC, y')滿(mǎn)疋，一 丿一 2 = 2y根據(jù)條件2 +2 = 4 ,代入后得到(2x - 4)2 + (2y + 2)2 = 4 .化簡(jiǎn)為：(x-2)2+(y + l)2 = l.故選 A。4. 已知點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)C：二-二=

4、l(>O, >0)的左支上一點(diǎn)，F(xiàn)1.幾分別是雙曲線(xiàn)的左.右焦點(diǎn), Cr IrRPFdPF2，円？與兩條漸近線(xiàn)相交于M、N兩點(diǎn)(如圖所示)，點(diǎn)N恰好平分線(xiàn)段PF?,則雙曲線(xiàn)C的 離心率為()。A、2B. 3C、2【答案】【解析】D. 5 在三角形FxF2P中，N為PF?中點(diǎn)，O為人中點(diǎn),II則 ON/ PR , ON 斜率為則 IanZPFlF.=-.a" a設(shè)PF2=bi. IPFII=67/, IPF2I-IPF11= 2 = 7-t/.A ZXlPFJ2+l PF1I2=4c2 ,則(a2 +b2) - = 4c2(b-)-又C2=rt2+/;2, .,.a2=(h

5、-a)2,即b = 2a, e = - = -+- = 5 ,故選 D。 aU5.已知圓 G： U-i)2 + (y÷l)2 = I,圓 C2： (X-4)2+(y-5)2=9,點(diǎn) M. N 分別是圓Cr 圓 C?上的動(dòng) 點(diǎn)，P為X軸上的動(dòng)點(diǎn)，貝IJIPNl-IPMI的最大值是()。A、2>/5 + 2B、2vz5+4C、7D、9【答案】D【解析】圓G： (X-D2+(y +1)2 = 1的圓心E(I,-1),半徑為1, HC2: (x_4)2+(y-5)2=9的圓心F(A5)，半徑是3， 要使IPNI-IPMl最大，需IPNI最大，且IPMI最小，IPNl最大值為IPFl+3

6、, IPMl的最小值為IPEI-I,故I PNl-IpMl 最大值是(I PFI +3)-(1 PE I-I)=IPFI-IPE I-+41F(4t5)關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F(4,-5),IPFl-IPEl=IPFl lPE0£Tl=J(4 l)2+(_5 + l)2 =5, 故IPFl-IPEI+4的最大值為5 + 4 = 9,故選D。6. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的外接球的表而積為（）o8/NTKA、/3/ B、1" I1 Ifk-H-IT3i圖C、43/D、23【答案】B【解析】還原三棱D-ABC,其中平面ADC丄平面ABC. M

7、DC為等邊三角形,B取AC的中點(diǎn)為£,連接Z）E. BE則有DE丄AC.：.DE丄平 ABC. ：. DE丄EB,由圖中數(shù)據(jù)知AE=EC = £3=1, DE =氐A(chǔ)D = yAE2+ DE2 = 2 = DC = DB ,AB = BC =邁,AC = 2, 設(shè)此三棱錐外接球球心為O,則它落在高線(xiàn)DE上，連接OA，則AO2 =AE2 + OE2 = + OE2. Ao = Bo = DE-OE =爲(wèi)-OE、故球O的半徑為故所求幾何體的外接球的表I前枳S =163故選B。7已知雙曲線(xiàn)才Ps0,網(wǎng)，過(guò)其左焦點(diǎn)F和軸的垂線(xiàn),交雙曲線(xiàn)于A、B兩點(diǎn),若雙曲 線(xiàn)的右頂點(diǎn)在以AB為直徑

8、的圓外，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范國(guó)是（）。B、（12）3c、G,+8）2D、（2,+ oo）【答案】B.>【解析】以M為直徑的圓的丫fI為r = -9 a雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)<7（偽0）到以AB為直徑的圓的圓心Ft-C,0）的H1離為d=a+c,XJ a + c> > 化簡(jiǎn)得/ + Uc > b2 = c2 - a2» 令a = 9=則 1 + C 1,UI!卩幺2 w-2<0, （£-2）2 +1） V0.訂一lvfv2, 乂f>l,則 1vqv2,故選 BU8如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六而體/WCD-A1B1C1D1,其中，以頂點(diǎn)A為

9、端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6,且它們彼此的夾角都是60。，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）。A、ACI = 6>/6B、ACl 丄 BDC、向與兩的夾角是120°D、BD與AC所成角的余弦值為孚【答案】D【解析】A選項(xiàng)，由題總可知AC = AB + AD + AAl ,則 AC =（B + D+AAi）2=（而+而 + 鬲）2= 牯 +麗 +兀亍+2而而+2而臣+ 2命鬲 =62 +62 + 62 ÷2×6×6×cos60° +2×6×6×cos60c +2×6×6×cos600 =6B

10、選項(xiàng), ACl = 66 ,故對(duì),BD = AD-AB . AC =B+ AD+ AAi疋麗=（而+而+硏）（而-廚=而而+而而+兩而-麗而-而而_兩而= 6×6×cos60 +62 +6×6×cos60° 一6' -6×6×s60 一66cos60° =0Z. ACI丄BD ,故對(duì),C 選頂，軋麗+ HH硏.cos<>=IgJgIgl=-I向量恥與石可的川是120°,故對(duì),D選項(xiàng),血=而+ 陌=巫 + 而-而AC = AB +AD .BDl IjAC所成角的平面角為鮎 cos =I

11、cos< BDiJC >1=1 芒？ ACL IIBDiIiAClJ (為+而-阿珂+而)"沖y(AA + AD- AB)2 . y(AB + AD)26故選D。二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給岀的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全 部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9. 關(guān)于空間直角坐標(biāo)系O-QN中的一點(diǎn)P(l,2,3),下列說(shuō)法正確的是()。A、OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為(丄,1丄)2 2B、點(diǎn)P關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,2,3)C、點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-2,-3)D、點(diǎn)P關(guān)于XOy而對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,-3)

12、【答案】ACD1 3【解析】利用中點(diǎn)公式町得OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為G丄三)，A對(duì)，2 2點(diǎn)P關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-2,-3), B錯(cuò)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-2,-3), C對(duì)，點(diǎn)P關(guān)于XOy而對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,-3), D對(duì)，故選ACDO10. 已知SABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,3)、3(-2,-1)、C(6,-l),以原點(diǎn)為圓心的圓與此三角形有 唯一的公共點(diǎn)，則圓的方程為()。A. A-2 + y2 = 1C16B、；r + y-=5C、 + =4D. 2 + y2 = 37【答案】AD【解析】依題意，直線(xiàn)"的方程為芬於，化般式方程：÷

13、;2y-4=0.點(diǎn)O到直線(xiàn) + 2y - 4 = 0的距離dl-4l-45r=T又IOAI=J(-2尸+32 =T5, IOBI=J(-2)2+(_1)2 =F IOCl=J62+(-I)2 =37 ,則以原點(diǎn)為鬪心的圓與此三角形有唯一的公共點(diǎn),則公共點(diǎn)為(0,-1)或(故圓的半徑為1或37，則圓的方程為x2 + y2 = 或F + b=37,故選AD°r I2211.我們把離心率為的雙曲線(xiàn)二-= l(d>O, >0)稱(chēng)為黃金雙曲線(xiàn)。如圖所示，內(nèi)、生是2Cr Ir雙曲線(xiàn)的實(shí)軸頂點(diǎn)，場(chǎng)是虛軸頂點(diǎn)，耳、竹是焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)尸2且垂直于X軸的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于M .N兩點(diǎn)，則下列命題

14、正確的是()oA、=1是黃金雙曲線(xiàn)B、若b2 = ac .則該雙曲線(xiàn)是黃金雙曲線(xiàn)C、若ZFIBS? =90°,則該雙曲線(xiàn)是黃金雙曲線(xiàn)D.若ZMON= 90°.則該雙曲線(xiàn)是黃金雙曲線(xiàn)y/F2 Xb27【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)，e = l + 5 + l=5+2l,不是黃金雙曲線(xiàn)，B 選項(xiàng)，b2 =ac=c2 -Cr 化成c2 -Cr -tc = O , H I CI -I = O ,又e>.解得,是黃金雙曲線(xiàn)2C 選項(xiàng),V ZfjB12=90, IB1I2+IA2 2=FlA212, b2+c2+b2+a2 =(a + c)2 9化簡(jiǎn)得C2-UC-G2=O.由知是黃

15、金雙曲線(xiàn)，D 選項(xiàng)， MON = 90°, :.MN丄X軸.IMFJ= ,且O化是等腰RtS9 ：. c =,2 =ac.由知是黃金雙曲線(xiàn), 綜上，BCD是黃金雙曲線(xiàn)，故選BCDU12.如圖所示，正方體ABCD-AlCiDl的棱長(zhǎng)為1, E、A、直線(xiàn)9»與直線(xiàn)AF垂直B、直線(xiàn)AlG與平而AEF平行9C、平而AEF截正方體所得的截而而積為68D、點(diǎn)C和點(diǎn)G到平而AEF的距離相等【答案】BC【解析】如圖，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，D. DC、DDl為X , y9 Z軸建系,則 ZXO,0,0)、A(U),0)、3,0)、Aa(U)、D1(0,0,l). E(A0)、F(OXI)>

16、 Wq)則萬(wàn)萬(wàn);=(0,0,1)、AF = (-1,1,1),則 DDAF = 直線(xiàn) DiD ,j 直線(xiàn) AF 不垂宜，A 錯(cuò),.1， 1*I則 AQ(O，r), AE = (-L0), AF = (-1,1,-),設(shè)TIlIlAEF的法向量= (x9 N z)AEn = O ._ =>AF /1 = 0一一x+ y = 0 21 n 一x+ y + -z = O 2令 x = 2,則 y = l, z = 2,貝 IJ /； = (2Jt2) , Afin = Oi直線(xiàn)AlG與平面AEF平行,B對(duì)， 或取Blq的中點(diǎn)M ,連接AlM、GM， 則 AXMlIAE . GMilEF、易證平

17、而AMG 平而AEF，宜線(xiàn)舛G與平IfnAEF平行.B對(duì)， 乩國(guó)，連扌陽(yáng)卩、DXF .如汨;m加以卩為、卜i AE廠(chǎng)餞匸4如律?丿戰(zhàn)九 且 DlF . DC、AE 共點(diǎn)于 H , DiH=AH =9 AD1=2 t1I/?3qq SMDlH =-×T2 ×(5) -()=，則 S四邊形AEFDl=才 SMDiIl = g , C 對(duì),AC = (-LhO),點(diǎn)C到平而AEF的跖 m =ACnTifAG = (OJ),214. 過(guò)雙曲線(xiàn)=1的右支上一點(diǎn)P，分別向圓G ： (x + 5)2+=4和圓G： (x-5)2 + y2=r2(r>0)916作切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M、N

18、 ,若IPMl2-IPN F的最小值為58,則?！敬鸢浮?【解析】設(shè)斤、場(chǎng)是雙曲線(xiàn)的左、右俶點(diǎn)，也是題中圓的圓心， PM I2-IPZV 卩=I PF1 I2-4-(1 PF22 -r2) = (IPFll-I PF21)(1 PF1 I +1 PFl I) + r2-4= 6(IPF1l + IPF2l) + r2-4,顯然其最小值為6(2×5) + 2-4 = 58, r = 215. 已知直線(xiàn)厶：r-2y = 2-4、II: 2x + a2y = 2a2 +4 ,當(dāng)0 vv2時(shí)，直線(xiàn)厶、厶與兩坐標(biāo)軸I科成一個(gè)四邊形，則四邊形而積的最小值為,此時(shí)實(shí)數(shù)“ =。(本小題第一個(gè)空3分，

19、第二個(gè)空2分)【答案】42【解析】直線(xiàn)ax-2y = 2a-Ar的必過(guò)占為P(2,2),斜率為在y軸上的截趴為2-宀ILoV2-v27直線(xiàn)2+心= 2/+ 4的必過(guò)點(diǎn)也為P(2,2)，斜率為-不, 彳兀軸I:的截距為+2,且a2 + 2>2 四邊形的而枳"卜2x(2"卜2心+ 2)"“ + 4弘$ +寧 四邊形而枳的最小值頭呼，此時(shí)416. 過(guò)點(diǎn)P(-2,1)作兩條斜率互為相反數(shù)的直線(xiàn)，分別與拋物線(xiàn)F= 4y交于A . B兩點(diǎn)，若直線(xiàn)AB與圓C ：x2+(y-l)2 = l交于不同兩點(diǎn)M、N9則IMNl的最大值是【答案】2【解析】設(shè)PA斜率k, A(XAt兒

20、)，則直線(xiàn)PA的方程為y-=k(x+2), 代入拋物線(xiàn)化簡(jiǎn)得F4/&-弘一4 = 0,心一2 = 4R ,則 >=4R + 2貝JA(4R + 2,(2R + 1)2), RS.B(-4 + 2t(-2 + l)2),設(shè)直線(xiàn)A3的方程為y = x + b,代入圓得2” + 2(一1)兀+慶一2 = 0,又由兩個(gè)不同交點(diǎn)，則>0,即1 <bvl + Q,則 IMN l="J(b_l)2_2(b2_2/?)= 上滬+勸 + =払 7-0-l)2+2<2.故IMNI的最大值是2四、解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)岀文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.

21、(本小題滿(mǎn)分10分)如圖所示，正方體ABCD-ACXDX的棱長(zhǎng)為“，過(guò)頂點(diǎn)3、D、內(nèi)截下一個(gè)三棱錐。求剩余部分的體積：求三棱錐A-AiBD的高。【解析】VAi-ABD = YSSABD AA = -2 A AD AA = -cly ,?分故剩余部分的體積U=H正方體-冬校SBTT宀討；4分(2)l(l)vttiM-MD=VZ校斟"=釵，設(shè)三棱錐A-ABD的高為力，6分則 VA-A1fio =h = -×-×-×2aY ×h = -ah »8 分故 LaIh=-ai ,解得 h = -a.10 分663y18. (本小題滿(mǎn)分12分)已知

22、平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為4(-1,4)、3(-2,-1)、C(Z3) O(1) 在SABC中，求邊AC中線(xiàn)所在宜線(xiàn)方程；(2) 求平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)及邊BC的長(zhǎng)度； 求SABC的面積。1 7【解析】設(shè)AC邊中點(diǎn)為M, PIIJM點(diǎn)坐標(biāo)為(-)Z÷* i L 渋 kfiM = y-+ 222 29線(xiàn) BM 的方程為：y (l) = (x + 2),即：9x-5y + 13 = 0 AC邊中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方用為：9x-5y + 13 = 0;4(2)i殳點(diǎn)D的坐標(biāo)為y 由已知得M為線(xiàn)段Br)的中點(diǎn),一 2 + x 1x = 3y = 82-= 2 D(3,8),又

23、B(-2, 1)、C(Z3).貝JI BCI= (-2-2)2+(-1-3)2 =42 :由8(-2,-1). C(2,3)得直線(xiàn)BC的方程為：x-y + l = O, A 到直線(xiàn) BC 的距離 d(AC) = I：+H = 22 SM 肚=i×42×22=8. 12 分 V2219.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖所示，在四棱錐 P-ABCD 中，ABIICD. AABC = - "DC =、, AB = 2BC = 2CD = . PD = 22 ,PA = 4, E為PC的中點(diǎn)。(1)求證：AQ丄平面PBrh(2)求直線(xiàn)AE平而PBD所成角的余弦值。IMwI(I)V

24、CD- ZAc = =4,A AD = BD = 2y2 9 ：. AB2 =AD1+ BD2, ：. AD丄BD在 ADP 中，PD = 22 , P = 4> /. AP2 = AD2 + PDI,又 PD. Mu 平而 PBD，PDCDB = D, AD 丄平面 Mr>：由得加丄 AD. PD 丄 CD, ADnCD = D.又 Ar)丄 3L> PD ±T® ABCD,以D為坐標(biāo)口.L DA> DB、DP >J I y，Z軸如圖建立空門(mén)伯坐標(biāo) D(OAO)、A(2I,O)、B(0,22,0) , C(-2,2,0), P(OA22),又

25、乜為PC的中點(diǎn),則餌拿拿逅)，亦(一學(xué)¥“),山圖可知平而P8D的法向量為n = (IAO).<設(shè)直線(xiàn)AE與平而PBQ所成角的平面角為，52貝IJ Sin =I cos < AE.n >1=1L 't-J(-)2÷2÷(2)2'=f10分則COS = 71-sin2 = o612分I)20. (本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)拋物線(xiàn)C： y2 = 4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k(k>O)的直線(xiàn)/與C交于3兩點(diǎn)，且IABl=8。求/方程；(2)求過(guò)A、3且與C準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程。【解析】(1)根帥可知任心為F(LO),準(zhǔn)線(xiàn)為x = -l

26、1 r則可設(shè)直線(xiàn)的方程y = k(x-)(k>0),2 _ 4聯(lián)立直線(xiàn)與地物線(xiàn)v'=Z X 得：疋F 一(2/ +4)x + r2 =0 ,3分y = k(x-)2R2 + 4 = 16Z:2 + 16> 0恒成立，設(shè) A(j, yi) > B(x29 y2),故Xl +x2=-_S，IABI=x1+x2 + 2 = p + 2 = 8,解得 R2 = i,5 分又R>0, U 直線(xiàn)的方程為>, = 1：6分由可得FZ=6 害=3, 害=2IJi+ y2 =422線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)方程為y = 5-八7分 圓心必在AB垂直平分線(xiàn)上，設(shè)圓心為T(mén)(b5-r),

27、則r=lf+lh 又丁到直線(xiàn)細(xì)的距離心詈=如,10分+ 宀(16 + 2(/- 3)2 , J16 + 2( - 3)2 川 + 11,八一+ 33 = 0,解得r = 3或11,11分則可知圓為Cv-3)2+0-2)2 = 16 或(X H)?+(y + 6)2 =144。12 分21. (本小題滿(mǎn)分12分)如圖所示，在三棱錐A-BCD中，ABC和AfiCD所在平面互相垂直，且BC = BD = 4，AC = 42 ,XFCD = 43 t ZAC3=45。，E、F 分別為AC. DC的中點(diǎn)。(1) 求證：平而ABf)丄平而B(niǎo)CD；(2) 求二而角E-BF-C的正弦值。 【解析】(1)證明：

28、由 BC=4. AC = 42 , ZACB=45°,貝 Ih AB = y42 + (42 )2 - 2 4 - 42 cos45° = 4 ,A AC2 =BC2+ AB29 則 ZABC = 90°, AB 丄 BC，乂平而 ABC 丄 TilIlBCD,Jl ABC ATlfllBCD=BC. AB TilII ABC. AB丄平而B(niǎo)CD ,又ABU平而ABD,故丫而ABD丄平而B(niǎo)CD:(2)解：由BC = BD9點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)丸IBF丄C£>,VCD = 43 CF = 2y3,則SinZFBC =2 ZFBC = 60°,則

29、 ZDBC = 120°, 如圖所示以點(diǎn)B為能標(biāo)桌點(diǎn)，以THnDBC內(nèi)I JBC垂直的直線(xiàn)為X軸,以Be為y ii ',BA為Z軸建立' 則 B(OAO). A(WA). C(OAO) . E(022)、D(23,-2,0). F(3,L0),A BE = (0,2,2) t BF = (3,L0) t 平而 CBF -個(gè)法向量為兀= (0,0,1),y3x + y = 0Iy + 2Z = On . BF = 0 設(shè)平Ifil BEF的法向量為石=g y, z)，由二一一得,n2 BE = O設(shè)x = l,得一個(gè)法向=3t3),10分設(shè)二而角E-BF-C的平而角為-JJICOS I=I COS < 石