新課標(biāo)下 , 初中數(shù)學(xué)的“證明”教學(xué)

1、新課標(biāo)下 , 初中數(shù)學(xué)的“證明”教學(xué)1 問(wèn)題的提出初中“證明”教學(xué) , 主要是幾何“證明”的教學(xué) , 它既是教學(xué)的重點(diǎn), 也是教學(xué)的難點(diǎn)。我們常說(shuō)的幾何證明 , 一般與歐氏幾何證明等同看待, 它的本質(zhì)主要是: 一是給出了證明的出發(fā)點(diǎn) , 即公理上、 公設(shè)和定義; 二是給出了證明的方法 , 即演繹法或三段論。 學(xué)生學(xué)習(xí)歐氏幾何, 經(jīng)歷幾何這種論證方法的訓(xùn)練 , 能讓學(xué)生的思維得到訓(xùn)練, 不僅表現(xiàn)在言之有理, 持之有據(jù) , 辦事有條理等, 也能提高學(xué)生提出問(wèn)題 , 分析問(wèn)題 , 解決問(wèn)題的能力。 而在實(shí)際的教學(xué)中 , “幾何難 , 教師難教 , 學(xué)生難學(xué)。 ”雖然新課標(biāo)和新教材中 , 對(duì)“證明”

2、的內(nèi)容都作了較大的調(diào)整, 淡化了證明的技巧和形式化的內(nèi)容, 降低了“圓”的要求, 但新課標(biāo)和教材中 , 新增了 :學(xué)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)的基本性質(zhì), 學(xué)習(xí)運(yùn)用坐標(biāo)確定物體位置的方法以及發(fā)展空間觀念、 “合情說(shuō)理”等內(nèi)容。雖然證明中要求推理的過(guò)程不能過(guò)繁 , 一切從簡(jiǎn) , 但證明的過(guò)程仍然要求做到事實(shí)準(zhǔn)確 , 道理嚴(yán)密 , 過(guò)程完整。為了更好地落實(shí)新課標(biāo) , 把握好新教材 , 培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和邏輯推理能力 , 讓學(xué)生在證明中, 做到有理有據(jù), 過(guò)程完整 , 筆者針對(duì)新標(biāo)中證明的要求, 對(duì)證明的教學(xué)策略作了初步探索。2 新課標(biāo)中關(guān)于“證明”的解讀對(duì)“數(shù)學(xué)思考”的要求: “經(jīng)歷觀 , 課標(biāo)的總

3、體目標(biāo)中 (1)察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程, 發(fā)展合情推理能力和初 步的演繹推理能力 , 能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)。 ”(2) 在學(xué)段目標(biāo)的“數(shù)學(xué)思考”中這樣闡述: “在探索圖形的性質(zhì)、圖形的變換以及平面圖形與空間幾何體的相互轉(zhuǎn)換等活動(dòng)過(guò)程中 , 初步建立空間觀念, 發(fā)展幾何直覺(jué)。 ” “ 體會(huì)證明的必要性 ,發(fā)展初步的演繹推理能力。 ”并在學(xué)段目標(biāo)的“情感與態(tài)度”目標(biāo)中表述為 : “感受證明的必要性、證明過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性以及結(jié)論的正確性。 ”(3) 在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中 , 對(duì)推理與證明要求 : “在探索圖形性質(zhì)、與他人合作交流等活動(dòng)過(guò)程中 , 發(fā)展合情推理, 進(jìn)一步學(xué)習(xí)有條理地思考和表

4、達(dá); 在積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與掌握了一定的圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上 , 從幾個(gè)基本的事實(shí)出發(fā) , 證明一些有關(guān)三角形、 四邊形的基本性質(zhì), 從而體會(huì)證明的必要性, 理解證明的基本過(guò)程, 掌握用綜合法證明的格式 , 初步感受公理化思想。 ”規(guī)定 : 教學(xué)中 ,應(yīng)注重學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、推理、想像等探索過(guò)程; 應(yīng)注重對(duì)證明本身的理解 , 而不追求證明的數(shù)量和技巧。證明的要求控制在標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的范圍內(nèi)。(4) 在課程實(shí)施建議中 , 有“證明的必要性、 基本過(guò)程和基本方法”的建議: “證明”的教學(xué)所關(guān)注的是 , 對(duì)證明必要性的理解,對(duì)證明的基本方法和證明過(guò)程的體驗(yàn)。(5) 證明的教學(xué)策略證明的梯度訓(xùn)練教學(xué)策略,

5、 華師版幾何教材中 3.1華師版的初中數(shù)學(xué)教材中 , 七年級(jí)的幾何以說(shuō)理為主, 并在此基礎(chǔ)上 , 初步學(xué)習(xí)幾何的規(guī)范證明 , 所以證明多以填某個(gè)推理的步驟或填寫(xiě)理由的形式出現(xiàn), 讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)證明的方式和推理的過(guò)程 , 然后逐步過(guò)渡到嚴(yán)格的證明。 所以 , 在七年級(jí)的幾何證明教學(xué)中 , 讓學(xué)生學(xué)會(huì)用所學(xué)的公理、定理、性質(zhì)和判定等作為依據(jù),能大膽地說(shuō)出結(jié)論和理由 , 盡可能在教學(xué)中 , 讓學(xué)生探究、 合作交流 , 能從已知大膽地進(jìn)行合情推理或演繹推理敘述, 最后推出結(jié)論 , 教師僅作必要的補(bǔ)充。 這個(gè)過(guò)程中 , 是以 “結(jié)論為什么 ?”的程序進(jìn)行。 并在掌握了一定的幾何語(yǔ)言以及進(jìn)行了一定的填某步推理

6、和填寫(xiě)理由的幾何證明訓(xùn)練后 , 指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)敘述的推理過(guò)程 , 用幾何語(yǔ)言寫(xiě)出推理的過(guò)程, 這就是要寫(xiě)的證明過(guò)程。 在八、九年級(jí)的幾何證明中 , 不再出現(xiàn)以填寫(xiě)某步推理和填寫(xiě)理由的形式的證明題, 但在證明的教學(xué)過(guò)程中, 應(yīng)堅(jiān)持先說(shuō)過(guò)程, 再寫(xiě)推理的證明過(guò)程, 對(duì)解決幾何證明的書(shū)寫(xiě)難問(wèn)題十分重要。另外 , 華師版的七年級(jí)幾何教材中 , 安插了不少的“想一想” 、“讀一讀”、 “做一做”、 “量一量” 、 “擺一擺” 、 “畫(huà)一畫(huà)” 、 “折一折” 、 “填一填” 等內(nèi)容 , 這些內(nèi)容 , 不僅可以培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手和動(dòng)腦的習(xí)慣 , 也有利于擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面, 讓學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦的基礎(chǔ)上進(jìn)行交流探究, 既可

7、增加學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)興趣, 又可以幫助師生解決幾何難教學(xué)問(wèn)題。這種“幾何體驗(yàn)教學(xué)”內(nèi) 對(duì)培養(yǎng)幾何推理和證明也有較大的幫助。 , 容在證明的教學(xué)中 , 課標(biāo)在最后一部分中 , 有證明的過(guò)程和方法的教學(xué)建議, 教師務(wù)必廣泛采納。 首先 , 應(yīng)通過(guò)生活中的例子使學(xué)生認(rèn)識(shí)到 , 有些命題可以通過(guò)觀察和實(shí)驗(yàn)得到并獲得大家的認(rèn)可如線(xiàn)段 , 射線(xiàn)和直線(xiàn)的教學(xué)學(xué) , 平行線(xiàn)的定義教學(xué)學(xué)等。 但有些命題僅僅通過(guò)觀察和實(shí)驗(yàn)是不夠的 , 從而使學(xué)生體會(huì)證明的必要性其次 , 應(yīng)該使學(xué)生理解證明的基本要求 , 有條理地闡述自己的想法 , 知道推理必須有依據(jù), 證明過(guò)程的表述必須條理清楚 , 并在證明過(guò)程中 , 逐步達(dá)到這

8、個(gè)要求。 這個(gè)教學(xué)過(guò)程中 , 要堅(jiān)持按學(xué)生的思維特點(diǎn) , “以學(xué)定教” , 而不是“以教定學(xué)” 。在九年級(jí)證明教學(xué)中 , 教材還介紹了反證法。反證法也是一種重要的證明方法,教學(xué)中可以通過(guò)生活實(shí)例和簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)例子, 使學(xué)生體會(huì)反證法的思想。但不必給出反證法的證明格式。證明教學(xué)中 , 盡可能引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題出發(fā) , 根據(jù)觀察、 實(shí)驗(yàn)的結(jié)果, 運(yùn)用歸納、 類(lèi)比的方法首先得出猜想, 然后再進(jìn)行證明 , 這十分有利于學(xué)生對(duì)證明的全面理解 ; 使用較規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述論證的過(guò)程, 利于學(xué)有生清晰而有條理地表達(dá)自己的觀點(diǎn)和理解他人的思想 ; 組織學(xué)生探索證明的不同思路, 并進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋容^和討論, 這有利于開(kāi)闊

9、學(xué)生的視野 ; 提供一些具有實(shí)際背地景的命題, 增加論證的趣味性 ,有助于激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)證明的興趣和掌握綜合證法的信心。3.2 幾何證明的教學(xué)策略: 課標(biāo)建議 , 在命題教學(xué)中命題的證明的步驟和教學(xué)方法。 (1)應(yīng)通過(guò)生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例來(lái)說(shuō)明什么是命題 ; 能夠區(qū)分一個(gè)簡(jiǎn)單的命題的真?zhèn)?, 能夠用反例來(lái)判定一個(gè)命題是假命題; 對(duì)幾何中的一些基本命題 , 應(yīng)該要求學(xué)生能夠畫(huà)出相應(yīng)的圖形, 并逐步學(xué)會(huì)用符號(hào)來(lái)表示命題。分清命題的“題設(shè)”和“結(jié)論”:首先要培養(yǎng)學(xué)生會(huì)正確劃分命題的“題設(shè)”和“結(jié)論” 。每一個(gè)命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成的 , 要求學(xué)生從命題的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行劃分, 掌握重要的相關(guān)聯(lián)詞句

10、。例：“如果，那么?！叭?，則”等等。 用“如果” 或“若” 開(kāi)始的部分就是題設(shè)。 用“那么” 或“則”開(kāi)始的部分就是結(jié)論。 有不少的命題的題設(shè)和結(jié)論是比較明顯的。對(duì)題設(shè)和結(jié)論不十分明顯的命題 , 則可要求學(xué)生將它改寫(xiě)成“如果,那么”的形式,再找題設(shè)和結(jié)論就容易多了。另外,讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)命題的本質(zhì)特征, 在一個(gè)命題中被判斷的“對(duì)象”是命題的“題設(shè)” , 也就是“已知” 。判斷出來(lái)的“結(jié)果”就是命題的“結(jié)論” , 也就是“求證” ?？傊?, 正確劃分命題的“題設(shè)”和“結(jié)論” , 就是要分清什么是命題中被判斷的“對(duì)象” , 什么是命題中被判斷出來(lái)的“結(jié)果” 。畫(huà)圖 , 寫(xiě)“已知” 和“證明” : 首先根

11、據(jù)命題題意畫(huà)幾何圖形 ,并標(biāo)上字母。再結(jié)合圖形, 用幾何語(yǔ)言 , 把命題中的“題設(shè)”寫(xiě)成“已知” , “結(jié)論”寫(xiě)成“求證” 。寫(xiě)證明過(guò)程: 通過(guò)分析 , 理清推理思路和過(guò)程后 , 寫(xiě)出規(guī)范的證明過(guò)程。 (2) 證明的分析方法, 及證明過(guò)程的書(shū)寫(xiě)教學(xué)。順推法及其證明的書(shū)寫(xiě) : 順推法是由條件到結(jié)論, 也就是從“已知”推出“結(jié)論”的定向思維方法。在探究推理的過(guò)程中 ,從已知條件, 逐步推到求證結(jié)論的思維過(guò)程。這種過(guò)程直接寫(xiě)出來(lái)就是證明過(guò)程。這種方法在較多的簡(jiǎn)單題目中比較適用, 多采用三段式的演繹推理。其分析過(guò)程和推理過(guò)程的思維一致, 用幾何語(yǔ)言寫(xiě)出的推理過(guò)程就是規(guī)范的證明過(guò)程。倒推法及其證明的書(shū)寫(xiě)

12、 : 倒推法也叫逆推法。是從結(jié)論到條件的思維方法。也就是從求證的目標(biāo)著手進(jìn)行分析推理, 并推究由什么條件可獲得這樣的結(jié)果, 然后再把這些條件作結(jié)果, 繼續(xù)推究由什么條件, 可以獲得這樣的結(jié)果, 直至推究到要的條件與已知相符為止。 這種方法中 , 我采用的教學(xué)模式為 : “得結(jié)論有什么還缺什么先找什么” , 以此類(lèi)推 , 直至推到全部為已知為止。這種方法, 從八年級(jí)的“全等三角形”的教學(xué)開(kāi)始 , 特別是兩次全等的證明 , 更加適用。書(shū)寫(xiě)證明時(shí), 則要反過(guò)來(lái), “缺少的 ,也就是先找的”要先證, 以此類(lèi)推。倒推順推法及其證明的書(shū)寫(xiě) : 倒推順推法是先從倒推入手 , 把目標(biāo)探究到一定程度后 , 再回到已知條件順推, 當(dāng)兩個(gè)方向匯合了 , 已知和求證的聯(lián)系就清楚了 , 這種方法是前兩種方法的綜合。在證明的書(shū)寫(xiě)上 , 也是兩種的綜合。仍然堅(jiān)持“缺少的 , 也就是先找的”要先證、先寫(xiě)。要注意培養(yǎng)學(xué)生添輔助 , 在幾何證明的教學(xué)過(guò)程中 , 此外 (3)線(xiàn)的能力 , 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和解決幾何問(wèn)題的機(jī)智能力。要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到 : 在幾何證明題中 , 適當(dāng)?shù)?/p>