數(shù)學文化1-2(勾股定理)

1、 在數(shù)學的天地里，重要的在數(shù)學的天地里，重要的不是我們知道了什么，而不是我們知道了什么，而是我們是怎么知道的。是我們是怎么知道的。 畢達哥拉斯畢達哥拉斯 第第24屆屆“國際數(shù)學家大會國際數(shù)學家大會”（ICM）被譽為國際數(shù)學界的被譽為國際數(shù)學界的“奧林匹克奧林匹克”International Congress of Mathematicians 數(shù)學文化第第24屆屆“國際數(shù)學家大會國際數(shù)學家大會”會標會標第二十四屆：2002年8月20日至28日中國北京。來自多個國家和地區(qū)的約名數(shù)學家出席了大會。大會期間，有位數(shù)學家做大會一小時報告，人做分鐘報告。大會主席吳文俊、諾貝爾經濟學獎獲得者納什等做了以數(shù)

2、學史和博弈論為題的公眾報告。為2002北京“國際數(shù)學家大會”發(fā)行的紀念郵資明信片 JP108主講：徐夢博主講：徐夢博復習專題：復習專題：勾股定理勾股定理“勾股定理勾股定理”是我們最熟悉的平面幾何中的是我們最熟悉的平面幾何中的一個最著名、最精彩、最有用的一條定理，一個最著名、最精彩、最有用的一條定理，是數(shù)學大廈的一塊基石，被天文學家開普是數(shù)學大廈的一塊基石，被天文學家開普勒譽為幾何學的一大寶藏。勒譽為幾何學的一大寶藏。專題一：專題一：勾股定理勾股定理引言引言： “勾股定理勾股定理”的探索和證明的探索和證明蘊含豐富的數(shù)學思想和研究方法，是培蘊含豐富的數(shù)學思想和研究方法，是培養(yǎng)學生思維品質的載體。它

3、對數(shù)學的發(fā)養(yǎng)學生思維品質的載體。它對數(shù)學的發(fā)展具有重要的作用。展具有重要的作用。 勾股定理是一壇陳年佳釀，品之芬芳，勾股定理是一壇陳年佳釀，品之芬芳，余味無窮，以簡潔優(yōu)美的形式，豐富深余味無窮，以簡潔優(yōu)美的形式，豐富深刻的內涵刻畫了自然界和諧統(tǒng)一的關系，刻的內涵刻畫了自然界和諧統(tǒng)一的關系，是數(shù)形結合的優(yōu)美典范。是數(shù)形結合的優(yōu)美典范。.通過本章對勾股定理的學習，深入了解勾通過本章對勾股定理的學習，深入了解勾股定理的歷史文化背景。股定理的歷史文化背景。v1從從“探索勾股定理探索勾股定理”中溫故知新中溫故知新v2從從“驗證勾股定理驗證勾股定理”中提高說理能力中提高說理能力v3.從從“應用勾股定理應用

4、勾股定理”中提高解決問題能中提高解決問題能力。力。復習目標復習目標一、周髀算經與“勾股定理”周髀算經周髀算經是中國現(xiàn)存是中國現(xiàn)存最早的一部數(shù)學典籍，成最早的一部數(shù)學典籍，成書時間大約在書時間大約在兩漢兩漢之間之間 。周髀算經周髀算經是一部天文是一部天文著作，為討論天文歷法，著作，為討論天文歷法，而敘述一些有關的數(shù)學知而敘述一些有關的數(shù)學知識，其中重要的題材有識，其中重要的題材有勾勾股定理股定理、比例測量與計算、比例測量與計算天體方位所不能避免的分天體方位所不能避免的分數(shù)四則運算。數(shù)四則運算。 周髀算經周髀算經卷上記載西周開國卷上記載西周開國時期（約公元前時期（約公元前11001100年）周公年

5、）周公與大夫商高討論勾股測量的對與大夫商高討論勾股測量的對話，商高答周公問時提到話，商高答周公問時提到“勾勾三，三， 股四，經五股四，經五”，這是勾這是勾股定理的特例。股定理的特例。 卷上另一處敘述周公后人榮方卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前與陳子（約公元前6 6、7 7世紀）世紀）的對話中，則包含了的對話中，則包含了勾股定理勾股定理的普遍形式的普遍形式：“以日下為以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日。并而開方除之，得邪至日?！?中國數(shù)學史上最先完成中國數(shù)學史上最先完成勾股定理證明的是三國時勾股定理證明的是三國時期的趙爽（公元期的趙爽（公

6、元3世紀）。世紀）。 趙爽趙爽在在周髀算經注周髀算經注中，中，采用證明幾何問題的割補采用證明幾何問題的割補原理，利用原理，利用“弦圖弦圖”，證，證明了勾股定理。明了勾股定理。l 方田方田九章算術九章算術l 粟米粟米l 衰分衰分l 少廣少廣l 商功商功l 均輸均輸 l 盈不足盈不足 l 方程方程 l 勾股勾股n九章算術九章算術是一部問題集是一部問題集形式的算書，共形式的算書，共246個問題，個問題，采用采用“問、答、術問、答、術”的形式的形式進行編排，共進行編排，共202術，按不同術，按不同算法的類型，分為九章。算法的類型，分為九章。成書于公元前成書于公元前100年左右，年左右，作者不詳。作者不

7、詳。中國最著名、最優(yōu)秀的數(shù)學經典中國最著名、最優(yōu)秀的數(shù)學經典中國傳統(tǒng)數(shù)學的代表作中國傳統(tǒng)數(shù)學的代表作中國古代數(shù)學文獻的典范中國古代數(shù)學文獻的典范 二、勾股定理在西方畢達哥拉斯定理（尼加拉瓜，1971） v在西方，在西方，“勾股定理勾股定理”被被稱為稱為“畢達哥拉斯定理畢達哥拉斯定理”，于公元前于公元前500500年左右由古希年左右由古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯（學臘數(shù)學家畢達哥拉斯（學派）發(fā)現(xiàn)。相傳因這一發(fā)派）發(fā)現(xiàn)。相傳因這一發(fā)現(xiàn)，曾宰牛百頭慶賀，此現(xiàn)，曾宰牛百頭慶賀，此定理也稱為定理也稱為“百牛定理百牛定理”v該學派最大的特點是宣稱宇宙萬物的主宰者(上帝)用數(shù)來統(tǒng)御宇宙,認為萬物包含數(shù),即:“萬物

8、皆數(shù)”(這里的數(shù)是指整數(shù)與整數(shù)之比)ABC 勾股定理勾股定理A的面積的面積+B的面積的面積=C的面積的面積三、勾股定理的證明 由于勾股定理的重要性，盡管該定理早已被由于勾股定理的重要性，盡管該定理早已被證明，許多人仍然愿意探索該定理的新證明。據(jù)證明，許多人仍然愿意探索該定理的新證明。據(jù)初略統(tǒng)計，世界上已有初略統(tǒng)計，世界上已有400余種余種證明勾股定理的證明勾股定理的方法。方法。 僅我國清末數(shù)學家華蘅芳就提供了二十多種僅我國清末數(shù)學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。精彩的證法。 這一定理證明方法之多是任何其他定理無法這一定理證明方法之多是任何其他定理無法比擬的。比擬的。 重點介紹幾種特殊而優(yōu)美

9、的證法重點介紹幾種特殊而優(yōu)美的證法（一）趙爽證法（一）趙爽證法（二）劉徽證法（二）劉徽證法 （三）畢達哥拉斯證法（三）畢達哥拉斯證法 （四）歐幾里得證法（四）歐幾里得證法（五）總統(tǒng)證法（五）總統(tǒng)證法2cS正2)(214abab，化簡得：化簡得：222cba（一）趙爽證法（一）趙爽證法公元公元3世紀我國漢代數(shù)學家世紀我國漢代數(shù)學家趙爽趙爽在為在為周髀算經周髀算經作注時給出的作注時給出的“弦圖弦圖”： （二）劉徽證法（二）劉徽證法我國數(shù)學家我國數(shù)學家劉徽劉徽在為在為九章算術九章算術注作中，提出以出入相出入相補補的原理來證明勾股定理中給出的中給出的“青朱出入圖青朱出入圖” ：ba(a + b)2=

10、c2 + 4(ab)a2 + 2ab + b2= c2 + 2aba2 + b2= c2c（三）畢達哥拉斯證法（割補法）（三）畢達哥拉斯證法（割補法）v歐幾里得的幾何原本是古希臘數(shù)學成果、思想、方法和精神的結晶。是整個科學史上發(fā)行最廣使用時間最長的書，成為數(shù)學的“圣經”。v 全書共分13卷，包括5條公理、5個公設、119個定義和465條命題，構成了世界上第一個數(shù)學公理體系。（四）歐幾里得證法（四）歐幾里得證法證法四：證法四：（歐幾里得證法公元前（歐幾里得證法公元前3世紀）世紀）“新娘的轎椅新娘的轎椅”或或“修士的頭巾修士的頭巾” 如圖，Rt ABC中，ACB=90，四邊形ACHK、BCGF、A

11、BED都是正方形，CNDE，連接BK、CD。AK=ACAB=ADKAB=CADKAB CADS 正方形KACH = S 四邊形ADNM同理：S 正方形BCGF = S 四邊形BENM S 正方形KACH + S 正方形BCGF = S 四邊形ADNM + S 四邊形BENM S KAB = S CADAMADACAK2121AMADACAK222cbaS 正方形KACH + S 正方形BCGF = S 四邊形ADEB （五）總統(tǒng)證法五）總統(tǒng)證法：（伽菲爾德證法（伽菲爾德證法1876年）年）ABCDE)(21baba梯形ABCD的面積2212121cabab梯形ABCD的面積2212121)(2

12、1cababbaba222cbav1881 年成為美國第 20 任總統(tǒng)v1876 年提出有關證明四、勾股定理的重要性v勾股定理的證明是論證數(shù)學的發(fā)端，它是歷史上第一個把形與數(shù)聯(lián)系起來的定理，即第一個把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來的定理。v勾股定理導致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了第一次數(shù)學危機，加深了人們對數(shù)的認識，促進了數(shù)學的進步發(fā)展。v勾股定理是歷史上第一個給出不定方程的解答，從而促使費馬大定理的提出。（這是一只下金蛋的鵝，數(shù)學家經過350年的歷程才獲得解決，這期間給整個數(shù)學界帶來了巨大的財富。） 第一次數(shù)學危機第一次數(shù)學危機起因:無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)(希帕蘇斯悖論) 解決: 歐多克斯,創(chuàng)立了比例論,暫時消除了由無理

13、數(shù)引起的第一次數(shù)學危機; 直至1872年，現(xiàn)代實數(shù)理論的奠基人之一的狄德金（德國）提出了狄德金分割，給出了無理數(shù)與連續(xù)性的純算術的定義。意義：直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發(fā)，經過演繹推理，并由此建立幾何學體系。這是數(shù)學思想上的一次革命，是第一次數(shù)學危機的自然產物。 一、分類討論思想一、分類討論思想 1.直角三角形中，已知兩條邊直角三角形中，已知兩條邊,不知道不知道是直角邊還是斜邊時，應分類討論。是直角邊還是斜邊時，應分類討論。 2.當已知條件中沒有給出圖形時，應認真當已知條件中沒有給出圖形時，應認真讀句畫圖，避免遺漏另一種情況。讀句畫圖，避免遺

14、漏另一種情況。 2.三角形三角形ABC中中,AB=10,AC=17,BC邊上邊上的高線的高線AD=8,求求BC的長度。的長度。DABC 1.已知已知:直角三角形的三邊長分別是直角三角形的三邊長分別是3,4,X,則則X2=25 或或717108ABC1017D8BC=BD+CDBC=CD-BC二、方程思想二、方程思想 規(guī)律：規(guī)律：直角三角形中，當無法已知兩邊直角三角形中，當無法已知兩邊求第三邊時，應采用間接求法：靈活地尋求第三邊時，應采用間接求法：靈活地尋找題中的等量關系，利用勾股定理列方程。找題中的等量關系，利用勾股定理列方程。例、小強想知道學校旗桿的高，他發(fā)例、小強想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)

15、旗桿頂端的繩子垂到地面還多現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當米，當他把繩子的下端拉開他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來嗎？好接觸地面，你能幫他算出來嗎？ ABC5米(X+1)米x米三、折疊問題三、折疊問題例例1.1.長方形長方形ABCDABCD如圖折疊，使點如圖折疊，使點D D落在落在BCBC邊邊上的點上的點F F處，已知處，已知AB=8AB=8，BC=10BC=10，求折痕，求折痕AEAE的長。的長。ABCDFE810810106xx8-x4?2224(8)xx22166416xxx5x 解解得得22225105 5AEEFAF四、展開思想四、展

16、開思想例例1.小明家住在小明家住在18層的高樓，一天，他與媽媽去買竹竿。層的高樓，一天，他與媽媽去買竹竿。買最長買最長的吧！的吧！快點回家，快點回家，好用它涼衣好用它涼衣服。服。糟糕，太糟糕，太長了，放長了，放不進去。不進去。如果電梯的長、寬、高分別是如果電梯的長、寬、高分別是1.5米、米、1.5米、米、2.2米，那么，米，那么，能放入電梯內的竹竿的最大長度大約是多少米？你能估計出能放入電梯內的竹竿的最大長度大約是多少米？你能估計出小明買的竹竿至少是多少米嗎？小明買的竹竿至少是多少米嗎？1.5米1.5米2.2米1.5米1.5米xx2.2米ABCX2=1.52+1.52=4.5AB2=2.22+

17、X2=9.34AB3米米例例2.2.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為如圖是一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20dm20dm、3dm3dm、2dm，A和和B是這個臺階兩個相對的端點，是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到著臺階面爬到B點最短路程是多少？點最短路程是多少？20203 32 2AB32323 例例3 3如圖如圖, ,一圓柱高一圓柱高8cm,8cm,底面半徑底面半徑2cm,2cm,一只螞蟻從點一只螞蟻從點A A爬到點爬到點B B處吃食處吃食, ,要爬行的最短路程要爬行的最短

18、路程( ( 取取3 3）是）是( ) ( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.A.20cm B.10cm C.14cm D.無法確定無法確定 BB8OA2蛋糕ACB周長的一半例例1、我國古代數(shù)學著作、我國古代數(shù)學著作九章算術九章算術中的一個問中的一個問題，原文是：題，原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，水深、葭長各幾何？引葭赴岸，適與岸齊，水深、葭長各幾何？請用學過請用學過的數(shù)學知識回答這個問題。的數(shù)學知識回答這個問題。5X+1XCBA作業(yè)作業(yè)思考題：思考題：1.最早記載“勾股定理”內容的我國古代數(shù)學著作是哪一本？2

19、.我國最早證明勾股定理的是哪個朝代的哪位數(shù)學家？他是怎樣證明的？3.在西方國家“勾股定理”一般被稱為什么定理？4.學習勾股定理的文化意義？五、勾股定理的文化意義v人類認識世界、改造世界最初級的重要工具之一。v戰(zhàn)國時期一部古籍路史后記十二注中就有這樣的記載：“禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，使注東海，無漫溺之患，此勾股之所系生也?！眝這段話的意思是說：大禹為了治理洪水，使江河不決流，根據(jù)地勢高低，決定水流走向，因勢利導，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的災害，是應用勾股定理的結果。v 勾股定理產生于生活，并應用于實踐Lets say togetherLets say together在本節(jié)課中在本節(jié)課中, ,我們我們1.本節(jié)主線本節(jié)主線問題情境問題情境分析探究分析探究得出猜想得出猜想總結應用總結應用證明歸納證明歸納2.學習內容及方法學習內容及方法 學習了著名的學習了著名的勾股定理勾股定理，還知道從，還知道從特殊到一般特殊到一般的探索方法的探索方法.3.本節(jié)的數(shù)學思想本節(jié)的數(shù)學思想 借助于圖形的面積來探索、驗證數(shù)學結論借助于圖形的面積來探索、驗證數(shù)學結論的的數(shù)形結合思想數(shù)形結合思想。4.學了本節(jié)課后我們有什么感想？學了本節(jié)課后我們有什么感想？ 很多