奧數(shù)講義八、設(shè)數(shù)法、倒推法和代數(shù)法解題

1、1 倒推法解題一、知識要點(diǎn)有些應(yīng)用題如果按照一般方法，順著題目的條件一步一步地列出算式求解，過程比較繁瑣。 所以，解題時，我們可以從最后的結(jié)果出發(fā)，運(yùn)用加與減、乘與除之間的互逆關(guān)系，從后到前一步一步地推算，這種思考問題的方法叫倒推法。二、精講精練【例題 1】一本文藝書，小明第一天看了全書的1/3 ，第二天看了余下的3/5 ，還剩下48 頁，這本書共有多少頁？【思路導(dǎo)航】從“剩下48 頁”入手倒著往前推，它占余下的13/5 2/5 。第一天看后還剩下482/5 120 頁，這 120 頁占全書的11/3 2/3 ，這本書共有1202/3 180 頁。即48（ 13/5 ）（ 11/3 ） 180

2、（頁）答：這本書共有180 頁。練習(xí) 1：某班少先隊(duì)員參加勞動，其中3/7 的人打掃禮堂，剩下隊(duì)員中的5/8 打掃操場，還剩12 人打掃教室，這個班共有多少名少先隊(duì)員？一輛汽車從甲地出發(fā)，第一天走了全程的3/8 ，第二天走了余下的2/3 ，第三天走了250 千米到達(dá)乙地。甲、乙兩地間的路程是多少千米？把一堆蘋果分給四個人，甲拿走了其中的1/6 ，乙拿走了余下的2/5 ，丙拿走這時所剩的3/4 ，丁拿走最后剩下的15 個，這堆蘋果共有多少個？【例題 2】筑路隊(duì)修一段路，第一天修了全長的1/5 又 100 米，第二天修了余下的2/7 ，還剩 500 米，這段公路全長多少米？【思路導(dǎo)航】從“還剩50

3、0 米”入手倒著往前推，它占余下的12/7 5/7 ，第一天修后還剩5005/7 700 米，如果第一天正好修全長的1/5 ，還余下700+100800 米，這 800 米占全長的11/5 4/5 ，這段路全長 8004/5 1000 米。列式為：【500（ 12/7 ）+100】（ 11/5 ） 1000 米答：這段公路全長1000 米。練習(xí) 2：一堆煤，上午運(yùn)走2/7 ，下午運(yùn)的比余下的1/3 還多 6 噸，最后剩下14 噸還沒有運(yùn)走，這堆煤原有多少噸？用拖拉機(jī)耕一塊地，第一天耕了這塊地的1/3 又 2 公頃，第二天耕的比余下的1/2 多 3 公頃，還剩下35 公頃，這塊地共有多少公頃？一

4、批水泥，第一天用去了1/2 多 1 噸，第二天用去了余下1/3 少 2 噸，還剩下16 噸，原來這批水泥有多少噸？2 【例題 3】有甲、乙兩桶油，從甲桶中倒出1/3 給乙桶后，又從乙桶中倒出1/5 給甲桶，這時兩桶油各有24 千克，原來甲、乙兩個桶中各有多少千克油？【思路導(dǎo)航】從最后的結(jié)果出發(fā)倒推，甲、乙兩桶共有（24 2） 48 千克，當(dāng)乙桶沒有倒出1/5 給甲桶時，乙桶內(nèi)有油24（ 11/5 ） 30 千克，這時甲桶內(nèi)只有48 3018 千克，而甲桶已倒出1/3 給了乙桶，可見甲桶原有的油為18（ 11/3 ） 27 千克，乙桶原有的油為4827 21 千克。甲： 【 242 24（ 11

5、/5 ） 】（ 11/3 ） 27（千克）乙： 2422721（千克）答：甲桶原有油27 千克，乙桶原有油21 千克。練習(xí) 3：小華拿出自己的畫片的1/5 給小強(qiáng)，小強(qiáng)再從自己現(xiàn)有的畫片中拿出1/4 給小華，這時兩人各有畫片12 張，原來兩人各有畫片多少張？甲、乙兩人各有人民幣若干元，甲拿出1/5 給乙后，乙又拿出1/4 給甲，這時他們各有90 元，他們原來各有多少元？一瓶酒精， 第一次倒出1/3 ，然后倒回瓶中40 克，第二次再倒出瓶中酒精的5/9 ，第三次倒出180 克，瓶中好剩下60 克，原來瓶中有多少克酒精？【例題 4】甲、乙、丙三人共有人民幣168 元，第一次甲拿出與乙相同的錢數(shù)給乙

6、；第二次乙拿出與丙相同的錢數(shù)給丙；第三次丙拿出與這時甲相同的錢數(shù)給甲。這樣，甲、乙、丙三人的錢數(shù)相等，原來甲比乙多多少元錢？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，由最后甲錢數(shù)是168356 元可推出：第一次甲拿出與乙同樣的錢數(shù)給乙后，甲剩下的錢是56228 元，這 28 元就是原來甲比乙多的錢數(shù)。168 3228 元答：原來甲比乙多28 元。練習(xí) 4：甲、乙、丙三個班共有學(xué)生144 人，先從甲班調(diào)出與乙班相同的人數(shù)給乙班，再從乙班調(diào)出與丙班相同的人數(shù)到丙班。再從丙班調(diào)出與這時甲班相同的人數(shù)給甲班，這樣，甲、乙、丙三個班人數(shù)相等。原來甲班比乙班多多少人？甲、乙、丙三個盒子各有若干個小球，從甲盒拿出4 個放入乙盒

7、，再從乙盒拿出8 個放入丙盒后，三個盒子內(nèi)的小球個數(shù)相等。原來乙盒比丙盒多幾個球？甲、乙、丙三個倉庫面粉袋數(shù)的比是6：9：5，如果從乙倉庫拿出400 袋平均分給甲、丙兩倉庫，則甲、乙兩個倉庫的數(shù)量相等。這三個倉庫共存面粉多少袋？【例題 5】甲、乙兩個倉庫各有糧食若干噸，從甲倉庫運(yùn)出1/4 到乙倉庫后，又從乙倉庫運(yùn)出1/4 到甲倉庫，這時甲、乙兩倉庫的糧食儲量相等。原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的幾分之幾？3 【思路導(dǎo)航】解題關(guān)鍵是把兩個倉庫糧食的和看作“1” ，由題意可知，從乙倉庫運(yùn)出1/4 到甲倉庫，乙倉庫最后占兩倉庫和的1/2 。當(dāng)乙倉庫沒有往甲倉庫運(yùn)時，乙倉庫占兩倉庫和的幾分之幾？1/2 （

8、11/4 ） 2/3 甲倉庫占兩倉庫和的幾分之幾？12/3 1/3 甲倉庫原來占兩倉庫和的幾分之幾？1/3 （ 11/4 ） 4/9 原來甲倉庫時乙倉庫的幾分之幾？4（ 94） 4/5 答：原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的4/5 。練習(xí) 5：1甲、乙兩個倉庫各有糧食若干噸，從甲倉庫運(yùn)出1/3 到乙倉庫后，又從乙倉庫運(yùn)出1/3 到甲倉庫，這時甲、乙兩倉庫的糧食儲量相等。原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的幾分之幾？甲、乙兩個倉庫各有糧食若干噸，從甲倉庫運(yùn)出1/5 到乙倉庫后，又從乙倉庫運(yùn)出1/4 到甲倉庫，這時甲、乙兩倉庫的糧食儲量相等。原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的幾分之幾？甲、乙兩個倉庫各有糧食若干噸，從甲倉庫

9、運(yùn)出1/3 到乙倉庫后，又從乙倉庫運(yùn)出2/5 到甲倉庫，這時乙倉庫的糧食是甲倉庫的9/10 。原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的幾分之幾？代數(shù)法一、知識要點(diǎn)有一些數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，用算術(shù)方法解答比較繁、難，甚至無法列式算式，這時我們可根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程解答。二、精講精練【例題 1】某車間生產(chǎn)甲、乙兩種零件，生產(chǎn)的甲種零件比乙種零件多12 個，乙種零件全部合格，甲種零件只有 4/5 合格，兩種零件合格的共有42 個，兩種零件個生產(chǎn)了多少個？【思路導(dǎo)航】本體用算術(shù)方法解有一定難度，可以根據(jù)兩種零件合格的一共有42 個，列方程求解。解：設(shè)生產(chǎn)乙種零件x 個，則生產(chǎn)甲種零件（x+12）個。（

10、x+12） 4/5+x 42 4/5x+9+x 42 9/5x 429 又 3/5 x18 18+1230（個）答：甲種零件生產(chǎn)了30 個，乙種零件生產(chǎn)了18 個。練習(xí) 1：1某校參加數(shù)學(xué)競賽的女生比男生多28 人，男生全部得優(yōu)，女生的3/4 得優(yōu)，男、女生得優(yōu)的一共有42人，男、女生參賽的各有多少人？2有兩盒球，第一盒比第二盒多15 個，第二盒中全部是紅球，第一盒中的2/5 是紅球，已知紅球一共有69 個，兩盒球共有多少個？4 3六年級甲班比乙班少4 人，甲班有1/3 的人、乙班有1/4 的人參加課外數(shù)學(xué)組，兩個班參加課外數(shù)學(xué)組的共有29 人，甲、乙兩班共有多少人？【例題 2】閱覽室看書的學(xué)

11、生中，男生比女生多10 人，后來男生減少1/4 ，女生減少1/6 ，剩下的男、女生人數(shù)相等，原來一共有多少名學(xué)生在閱覽室看書？【思路導(dǎo)航】根據(jù)剩下的男、女人數(shù)相等的題意來列方程求解。解：設(shè)女生有x 人，則男生有（x+10）人（1 1/6 ）x（ x+10）（ 11/4 ）x90 90+90+10190 人答：原來一共有190 名學(xué)生在閱覽室看書。練習(xí) 2：1 某小學(xué)去年參加無線電小組的同學(xué)比參加航模小組的同學(xué)多5 人。 今年參加無線電小組的同學(xué)減少1/5 ，參加航模小組的人數(shù)減少1/10 ，這樣，兩個組的同學(xué)一樣多。去年兩個小組各有多少人？2原來甲、乙兩個書架上共有圖書900 本，將甲書架上的

12、書增加5/8 ，乙書架上的書增加3/10 ，這樣，兩個書架上的書就一樣多。原來甲、乙兩個書架各有圖書多少本？3某車間昨天生產(chǎn)的甲種零件比乙種零件多700 個。今天生產(chǎn)的甲種零件比昨天少1/10 ，生產(chǎn)的乙種零件比昨天增加3/20 ，兩種零件共生產(chǎn)了2065 個。昨天兩種零件共生產(chǎn)了多少個？【例題 3】甲、乙兩校共有22 人參加競賽，甲校參加人數(shù)的1/5 比乙校參加人數(shù)的1/4 少 1 人，甲、乙兩校各有多少人參加？【思路導(dǎo)航】這題中的等量關(guān)系是：甲1/5 乙 1/4 1 解：設(shè)甲校有x 人參加，則乙校有（22x）人參加。1/5x （ 22 x） 1/4 1 x10 221012（人）答：甲校有

13、10 人參加，乙校有12 人參加。練習(xí) 3：1學(xué)校圖書館買來文藝書和連環(huán)畫共126 本，文藝書的比連環(huán)畫的少7 本，圖書館買來的文藝書和連環(huán)畫各是多少本？2某小有學(xué)生465 人，其中女生的比男生的少20 人，男、女生各有多少人？3王師傅和李師傅共加工零件62 個，王師傅加工零件個數(shù)的比李師傅的少2 個，兩人各加工了多少個？5 【例題 4】 甲書架上的書是乙書架上的5/6 ， 兩個書架上各借出154 本后，甲書架上的書是乙書架上的4/7 ，甲、乙兩書架上原有書各多少本？【思路導(dǎo)航】這道題的等量關(guān)系是；甲書架上剩下的書等于乙書架上剩下的4/7 。解：設(shè)乙書架上原有x 本，則甲書架上原有5/6x 本

14、。（x 154） 4/7 5/6x 154 x 252 252 5/6 210（本）答：甲書架上原有210 本，乙書架上原有252 本。練習(xí) 4：1兒子今年的年齡是父親的1/6 ，4 年后兒子的年齡是父親的1/4 ，父親今年多少歲？2某校六年級男生是女生人數(shù)的2/3 ，后來轉(zhuǎn)進(jìn)2 名男生，轉(zhuǎn)走3 名女生，這時男生人數(shù)是女生的3/4 。原來男、女生各有多少人？3第一車間人數(shù)的3/5 等于第二車間人數(shù)的9/10 ，第一車間比第二車間多50 人。兩個車間各有多少人？【例題 5】一個班女同學(xué)比男同學(xué)的2/3 多 4 人，如果男生減少3 人，女生增加4 人，男、女生人數(shù)正好相等。這個班男、女生各有多少人

15、？【思路導(dǎo)航】抓住“如果男生減少3 人，女生增加4 人，男、女生人數(shù)正好相等”這個等量關(guān)系列方程。解：設(shè)男生有x 人，則女生有（2/3x+4 ）人。x32/3x+4+4 x33 2/3 33+426（人）答：這個班男生有33 人，女生有26 人。練習(xí) 5：1某學(xué)校的男教師比女教師的3/8 多 8 人。如果女教師減少4 人，男教師增加8 人，男、女教師人數(shù)正好相等。這個學(xué)校男、女教師各有多少人？2某無線電廠有兩個倉庫。第一倉庫儲存的電視機(jī)是第二倉庫的3倍。如果從第一倉庫取出30 臺，存入第二倉庫，則第二倉庫就是第一倉庫的4/9 。兩個倉庫原來各有電視機(jī)多少臺？3某工廠第一車間的人數(shù)比第二車間的人

16、數(shù)的4/5 少 30 人。如果從第二車間調(diào)10 人到第一車間，則第一車間的人數(shù)就是第二車間的3/4 。求原來每個車間的人數(shù)。設(shè)數(shù)法專題簡析：在小學(xué)數(shù)學(xué)競賽中，常常會遇到一些看起來缺少條件的題目，按常規(guī)解法似乎無解，但仔細(xì)分析就會發(fā)現(xiàn)，題目中缺少的條件對于答案并無影響，這時就可以采用“設(shè)數(shù)代入法”，即對題目中“缺少”的條件，隨便假設(shè)一個數(shù)代入（當(dāng)然假設(shè)的這個數(shù)要盡量的方便計(jì)算），然后求出解答。6 例題 1。如果，那么（）個。解： 由第一個等式可以設(shè)3， 2，代入第二式得5，再代入第三式左邊是12，所以右邊括號內(nèi)應(yīng)填 4。說明 ：本題如果不用設(shè)數(shù)代入法，直接用圖形互相代換，顯然要多費(fèi)周折。練習(xí) 1

17、 1.已知，問（）個。2.五個人比較身高，甲比乙高3 厘米，乙比丙矮7 厘米，丙比丁高10 厘米，丁比戊矮5 厘米，甲與戊誰高，高幾厘米？3.甲、乙、丙三個倉庫原有同樣多的貨，從甲倉庫運(yùn)60 噸到乙倉庫，從乙倉庫運(yùn)45 噸到丙倉庫，從丙倉庫運(yùn) 55 噸到甲倉庫，這時三個倉庫的貨哪個最多？哪個最少？最多的比最少的多多少噸、例題 2。足球門票15 元一張，降價后觀眾增加一倍，收入增加15，問一張門票降價多少元？【思路導(dǎo)航】初看似乎缺少觀眾人數(shù)這個條件，實(shí)際上觀眾人數(shù)于答案無關(guān)，我們可以隨便假設(shè)一個觀眾數(shù)。為了方便，假設(shè)原來只有一個觀眾，收入為15 元，那么降價后有兩個觀眾，收入為15（ 1+15）

18、 18 元，則降價后每張票價為18 2 9 元，每張票降價15 9 6 元。即：1515（ 1+15） 26（元）答：每張票降價6 元 。說明 ：如果設(shè)原來有a 名觀眾，則每張票降價：1515a（ 1+15） 2a6（元）練習(xí) 2 1.某班一次考試，平均分為70 分，其中34及格，及格的同學(xué)平均分為80 分，那么不及格的同學(xué)平均分是多少分？2.游泳池里參加游泳的學(xué)生中，小學(xué)生占 30，又來了一批學(xué)生后，學(xué)生總數(shù)增加了20， 小學(xué)生占學(xué)生總數(shù)的40，小學(xué)生增加百分之幾？3.五年級三個班的人數(shù)相等。一班的男生人數(shù)和二班的女生人數(shù)相等，三班的男生是全部男生的25，全部女生人數(shù)占全年級人數(shù)的幾分之幾？

19、例題 3。小王在一個小山坡來回運(yùn)動。先從山下跑上山，每分鐘跑200 米，再從原路下山，每分鐘跑240 米，又從原路上山，每分鐘跑150 米，再從原路下山，每分鐘跑200 米，求小王的平均速度?！舅悸穼?dǎo)航】題中四個速度的最小公倍數(shù)是1200，設(shè)一個單程是1200 米。則（1）四個單程的和：120044800（米）（2）四個單程的時間分別是；12002006（分）12002405（分）12001508（分）12002006（分）（3）小王的平均速度為：4800（ 6+5+8+6 ） 192（米）7 答：小王的平均速度是每分鐘192 米。練習(xí) 3 1.小華上山的速度是每小時3 千米，下山的速度是每小

20、時6 千米，求上山后又沿原路下山的平均速度。2.張師傅騎自行車往返a、b 兩地。去時每小時行15 千米，返回時因逆風(fēng)，每小時只行10 千米，張師傅往返途中的平均速度是每小時多少千米？3.小王騎摩托車往返a、b 兩地。平均速度為每小時48 千米，如果他去時每小時行42 千米，那么他返回時的平均速度是每小時行多少千米？例題 4 某幼兒園中班的小朋友平均身高115 厘米，其中男孩比女孩多15，女孩平均身高比男孩高10，這個班男孩平均身高是多少？【思路導(dǎo)航】題中沒有男、女孩的人數(shù)，我們可以假設(shè)女孩有5 人，則男孩有6 人。（1）總身高： 115【 5+5（ 1+15） 】 1265（厘米）（2）由于女

21、孩平均身高是男孩的（1+10） ，所以 5 個女孩的身高相當(dāng)于5（ 1+10）5.5 個男孩的身高，因此男孩的平均身高為：1265【 （1+10） 5+6】 110（厘米）答：這個班男孩平均身高是110 厘米。練習(xí) 4 1.某班男生人數(shù)是女生的23，男生平均身高為138 厘米，全班平均身高為132 厘米。問：女生平均身高是多少厘米？2.某班男生人數(shù)是女生的45，女生的平均身高比男生高15，全班的平均身高是130 厘米，求男、女生的平均身高各是多少？3.一個長方形每邊增加10，那么它的周長增加百分之幾？它的面積增加百分之幾？例題 5 狗跑 5 步的時間馬跑3 步，馬跑4 步的距離狗跑7 步，現(xiàn)在

22、狗已跑出30 米，馬開始追它。問狗再跑多遠(yuǎn)，馬可以追到它？【思路導(dǎo)航】馬跑一步的距離不知道，跑3步的時間也不知道，可取具體數(shù)值，并不影響解題結(jié)果。設(shè)馬跑一步為7，則狗跑一步為4，再設(shè)馬跑3 步的時間為1，則狗跑5 步的時間為1，推知狗的速度為 20，馬的速度為21。那么，20【 30（ 2120） 】 600（米）答：狗再跑600 米，馬可以追到它。練習(xí) 5 1.獵狗前面26 步遠(yuǎn)的地方有一野兔，獵狗追之。 兔跑 8 步的時間狗只跑5 步，但兔跑 9 步的距離僅等于狗跑 4 步的距離。問兔跑幾步后，被狗抓獲？2.獵人帶獵狗去捕獵，發(fā)現(xiàn)兔子剛跑出40 米，獵狗去追兔子。已知獵狗跑2 步的時間兔子跑3 步，獵狗跑 4 步的距離與兔子跑7步的距離相等，求兔再跑多遠(yuǎn)，獵狗可以追到它？3.狗和兔同時從a 地跑向 b 地，狗跑 3步的距離等于兔跑5 步的距離， 而狗跑 2 步的時間等于兔跑3 步的時間，狗跑600 步到達(dá) b 地，這時兔還要跑多少步才能到達(dá)b 地？答案：練18 1、 8 2 、設(shè)戊是100 厘米高，可推出甲是101 厘米高。3、乙倉最多，丙倉最少，設(shè)甲、乙、丙三個倉庫原來各有100 噸，可推出這時乙