(人教版)二分法求方程的近似解講解

1、9世紀，阿拉伯數(shù)學家花拉子米給出了一次方程和二次方程的一般解法；世紀，阿拉伯數(shù)學家花拉子米給出了一次方程和二次方程的一般解法；1541年，意大利數(shù)學家塔爾塔利亞給出了三次方程的一般解法；年，意大利數(shù)學家塔爾塔利亞給出了三次方程的一般解法； 1545年意大利數(shù)學家卡爾達諾的名著年意大利數(shù)學家卡爾達諾的名著大術大術一書中，把塔爾塔利一書中，把塔爾塔利亞的解法加以發(fā)展，并記載了費拉里的四次方程的一般解法。亞的解法加以發(fā)展，并記載了費拉里的四次方程的一般解法。 1824年，挪威年輕數(shù)學家阿貝爾成功地證明了五次以上一般方程沒有根年，挪威年輕數(shù)學家阿貝爾成功地證明了五次以上一般方程沒有根式解，也就是說沒有

2、求根公式。式解，也就是說沒有求根公式。 雖然指數(shù)方程、對數(shù)方程等超越方程和五次以上的高次代數(shù)方程不能用代數(shù)運算求解，但其雖然指數(shù)方程、對數(shù)方程等超越方程和五次以上的高次代數(shù)方程不能用代數(shù)運算求解，但其數(shù)值解法卻隨著現(xiàn)代計算技術的發(fā)展得到了廣泛的應用，如數(shù)值解法卻隨著現(xiàn)代計算技術的發(fā)展得到了廣泛的應用，如 、牛頓法、弦截法等。、牛頓法、弦截法等。二分法二分法第一頁，編輯于星期一：七點 三十五分。 CCTV2“幸運幸運52”片段片段 ： 主持人李詠說道主持人李詠說道:猜一猜這架家用型數(shù)碼相機的猜一猜這架家用型數(shù)碼相機的價格價格. 觀眾甲觀眾甲:2000!李詠李詠:高了高了! 觀眾乙觀眾乙:1000

3、! 李詠李詠:低了低了! 觀眾丙觀眾丙:1500! 李詠李詠:還是低了還是低了!問題問題2:你知道這件商品的價格在什么范圍內(nèi)嗎你知道這件商品的價格在什么范圍內(nèi)嗎?問題問題3:若接下來讓你猜的話若接下來讓你猜的話,你會猜多少價格比較你會猜多少價格比較合理呢合理呢?答案答案:1500至至2000之間之間問題情境問題情境第二頁，編輯于星期一：七點 三十五分。 2008 2008年初我國南方遭遇了年初我國南方遭遇了5050年不遇的雪災，雪災發(fā)生后停水斷電，年不遇的雪災，雪災發(fā)生后停水斷電，交通受阻。一日，某市交通受阻。一日，某市A A地到地到B B地的電話線路發(fā)生了故障，這是一條地的電話線路發(fā)生了故障

4、，這是一條10km10km長的線路，每隔長的線路，每隔50m50m有一根電線桿，如何迅速查出故障所在？有一根電線桿，如何迅速查出故障所在？段段；段段正正常常，斷斷定定故故障障在在開開始始查查起起，若若發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)如如圖圖，首首先先從從中中點點BCACC段段；段段正正常常，則則故故障障在在檢檢查查，若若段段中中點點再再到到BDCDDBC檢檢查查段段中中點點再再到到EBD在在。，即即可可迅迅速速找找到到故故障障所所ABCDE出出故故障障。之之間間，就就可可以以快快速速地地查查的的范范圍圍減減小小到到過過七七次次以以后后即即可可將將檢檢查查查查的的范范圍圍逐逐漸漸縮縮小小，經(jīng)經(jīng)依依次次下下去去，就就可可

5、以以將將檢檢m10050第三頁，編輯于星期一：七點 三十五分。ab)(bf)(af0 x ,cba的的中中點點取取c)(cf的的零零點點在在區(qū)區(qū)間間所所以以函函數(shù)數(shù))( xf判斷：判斷：)()(cfaf ,0 )()(bfcf , 0 中中；bc , ,dbc的的中中點點同同理理，取取d)(df判斷：判斷：0)()(, 0)()( bfdfdfcf ;,)(中中的的零零點點在在區(qū)區(qū)間間所所以以dcxf依此進行下去，漸漸逼近了函數(shù)的零點依此進行下去，漸漸逼近了函數(shù)的零點第四頁，編輯于星期一：七點 三十五分。 對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且 的函 數(shù) ，通過不斷地把函數(shù) 的零點所在的區(qū)間一分為二，使

6、區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做0)()(bfaf)(xfy )(xf第五頁，編輯于星期一：七點 三十五分。1.下列函數(shù)圖像與x軸均有交點,判斷哪些能用二分法求零點，哪些不能？y0 x（2）（1）0 xy0 xy（3）0 xy（4）第六頁，編輯于星期一：七點 三十五分。 對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且 的函 數(shù) ，通過不斷地把函數(shù) 的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做0)()(bfaf)(xfy )(xf 二分法僅對函數(shù)的變號零點（即零點兩側某區(qū)域內(nèi)二分法僅對函數(shù)的變號零點（即零點兩側某區(qū)域內(nèi)函數(shù)值異號）適用，并且要求函數(shù)在

7、零點附近是連續(xù)不函數(shù)值異號）適用，并且要求函數(shù)在零點附近是連續(xù)不斷的。斷的。二分法的適用條件：二分法的適用條件：第七頁，編輯于星期一：七點 三十五分。.1.00(62)ln()(1）精精確確度度的的零零點點、求求函函數(shù)數(shù)例例 xxxf ，計算得，計算得的中點的中點取取084. 0)5 . 2(.52, fba解：由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)在區(qū)間由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)在區(qū)間 有零點，設零點為有零點，設零點為 ，精確度為，精確度為0.01 3,20 x0)3()5 . 2( ff ;3,5.20 x零零點點 ,512.0)75.2(5.72.5,32 f，計計算算得得的的中中點點取取0)75.2()5

8、.2( ff ;75.2,5.20 x零零點點 ,215.0)625.2(25.6275.5,2.2 f，計計算算得得的的中中點點取取0)625.2()5.2( ff ;625.2,5.20 x零零點點 5 . 035 . 2 25. 075. 25 . 2 125. 0625. 25 . 2第八頁，編輯于星期一：七點 三十五分。 ,066.0)5625.2(,5625.2625.2 ,5 .2 f計計算算得得的的中中點點取取 ;5625.2,5.2,0)5.2()5625.2(0 xff零零點點 ,009. 0)53125. 2(3125.525625. 2 , 5 . 2 f，計計算算得得

9、的的中中點點取取 ;5625.2,53125.2,0)5625.2()53125.2(0 xff零零點點 ,029. 0)546875. 2(46875.525625. 2 ,53125. 2 f，計計算算得得的的中中點點取取 ;546875.2,53125.2,0)53125.2()546875.2(0 xff零零點點 10. 0)5390625. 2(390625.5246875,2.53125.52 f，計計算算得得中中點點取取 ;5390625.2,53125.20)5390625.2()53125.2(0 xff零零點點 01.00078125.053125.25390625.2又又

10、.53125. 2)( xxf零零點點的的近近似似值值為為函函數(shù)數(shù) 0625. 05625. 25 . 2 03125. 05625. 253125. 2 015625. 0546875. 253125. 2第九頁，編輯于星期一：七點 三十五分。.1.00(62)ln()(1）精精確確度度的的零零點點、求求函函數(shù)數(shù)例例 xxxf ，計計算算得得，的的中中點點取取084. 0)5 . 2(.52, fba解：由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)在區(qū)間由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)在區(qū)間 有零點，設零點為有零點，設零點為 ，精確度為，精確度為0.01 3,20 x0)3()5 . 2( ff ;3,5.20 x零零點點

11、 ,512.0)75.2(5.72.5,32 f，計計算算得得的的中中點點取取0)75.2()5.2( ff ;75.2,5.20 x零零點點 ,215.0)625.2(25.6275.5,2.2 f，計計算算得得的的中中點點取取0)625.2()5.2( ff ;625.2,5.20 x零零點點2424123 5 . 035 . 24 25. 075. 25 . 2 125. 0625. 25 . 2第十頁，編輯于星期一：七點 三十五分。 ,066.0)5625.2(,5625.2625.2 ,5 .2 f計計算算得得的的中中點點取取 ;5625.2,5.2,0)5.2()5625.2(0

12、xff零零點點 ,009. 0)53125. 2(3125.525625. 2 , 5 . 2 f，計計算算得得的的中中點點取取 ;5625.2,53125.2,0)5625.2()53125.2(0 xff零零點點 ,029. 0)546875. 2(46875.525625. 2 ,53125. 2 f，計計算算得得的的中中點點取取 ;546875.2,53125.2,0)53125.2()546875.2(0 xff零零點點 10. 0)5390625. 2(390625.5246875,2.53125.52 f，計計算算得得中中點點取取 ;5390625.2,53125.20)5390

13、625.2()53125.2(0 xff零零點點 01.00078125.053125.25390625.2又又.53125. 2)( xxf零零點點的的近近似似值值為為函函數(shù)數(shù)24242424 0625. 05625. 25 . 2 03125. 05625. 253125. 2 015625. 0546875. 253125. 2第十一頁，編輯于星期一：七點 三十五分。計算 ：)(cf若 ，則 就是函數(shù)的零點； 0)( cfc求區(qū)間 的中點 ；c),(ba確定區(qū)間 ,驗證 ，給定精確度 ；0)()(bfaf ba,若 ，則令 （此時零點 ）； 0)()(cfafcb ),(0cax 若 ，

14、則令 （此時零點 ）. 0)()(bfcfca ),(0bcx判斷是否達到精確度 ：即若 ，則得到零點近似值 ；否則重復步驟24 。 ba)(ba 或已知精確度 ，用二分法求解函數(shù)零點近似值的步驟： 第十二頁，編輯于星期一：七點 三十五分。 baxxbax00,，都都有有對對于于任任意意的的 的的近近似似值值的的滿滿足足精精確確度度中中任任意意一一個個值值都都是是零零點點區(qū)區(qū)間間 0,xba作作為為零零點點近近似似值值?；蚧螯c點為為方方便便，統(tǒng)統(tǒng)一一取取區(qū)區(qū)間間端端)(ba ？為什么？為什么？作為函數(shù)零點的近似值作為函數(shù)零點的近似值中的任意一個中的任意一個、能不能取、能不能取xba,20)()

15、(,)()(,3bfafbfafba且易于計算、量的小，并且使，應使區(qū)間的長度盡、在選取區(qū)間的的基基本本原原理理：、用用二二分分法法求求函函數(shù)數(shù)零零點點1逼逼近近的的思思想想。方方法法函函數(shù)數(shù)零零點點存存在在性性的的判判定定,第十三頁，編輯于星期一：七點 三十五分。二分法求函數(shù)零點步驟的記憶口訣二分法求函數(shù)零點步驟的記憶口訣定區(qū)間，找中點；中值計算兩邊看定區(qū)間，找中點；中值計算兩邊看. .同號丟，異號算，零點落在異號間同號丟，異號算，零點落在異號間. .重復做，何時止，精確度來把關口重復做，何時止，精確度來把關口. .第十四頁，編輯于星期一：七點 三十五分。則則下下列列命命題題正正確確的的是是

16、且且的的圖圖像像是是連連續(xù)續(xù)不不斷斷的的，、若若函函數(shù)數(shù)例例, 0)4()2()1(, 0)0()(2 ffffxf( ) 內(nèi)內(nèi)有有零零點點在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)有有零零點點在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)有有零零點點在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)有有零零點點在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù),40)(D.,20)(.,21)(B.,10)(.xfxfCxfxfAD第十五頁，編輯于星期一：七點 三十五分。據(jù)據(jù)如如下下：的的一一個個零零點點，其其參參考考數(shù)數(shù)、用用二二分分法法求求函函數(shù)數(shù)例例43)(4 xxfx003. 0)5625. 1(200. 0)6000. 1( ff029. 0)55625. 1(1333. 0

17、)5875. 1( ff060. 0)5500. 1(067. 0)5750. 1( ff）精精確確度度的的一一個個零零點點近近似似值值為為由由函函數(shù)數(shù)1.00_(043)( xxfx0029. 0003. 0)55625. 1()5625. 1( ff解解：01.000625.055625.15625.1 。的的一一個個零零點點近近似似值值為為625.5143)( xxfx1.5625第十六頁，編輯于星期一：七點 三十五分。二分法的優(yōu)劣：優(yōu)點：二分法是求實根的近似計算中行之有效的最簡單的方法，思想方法非常簡明，它只要求函數(shù)是連續(xù)的，因此它的適用范圍很廣，且便于在計算機上實現(xiàn)；缺點：為了提高近似解的