第二章 解析函數(shù)

1、 第二章第二章 解析函數(shù)解析函數(shù) 解析函數(shù)是復變函數(shù)研究的主要對象解析函數(shù)是復變函數(shù)研究的主要對象1 1 介紹復變函數(shù)導數(shù)概念和求導法則介紹復變函數(shù)導數(shù)概念和求導法則2 2 講解解析函數(shù)的概念及其判別法，闡講解解析函數(shù)的概念及其判別法，闡明解析與可導的關系明解析與可導的關系3 3 介紹一些常用的初等函數(shù)，說明它們介紹一些常用的初等函數(shù)，說明它們的解析性。的解析性。2.1 2.1 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念 一、復變函數(shù)的導數(shù)一、復變函數(shù)的導數(shù) 1導數(shù)的定義導數(shù)的定義 設函數(shù)設函數(shù)( )f z在開區(qū)域在開區(qū)域d內(nèi)有定義內(nèi)有定義0zzz 是是d內(nèi)任一點，令內(nèi)任一點，令 00()()f zzf z

2、 如果如果 0000limlimzzfzzfzzz ( )f z在在0z處可導，處可導，a 為為( )f z在在0z處的導數(shù)處的導數(shù)0fz或0z zddz0,zd定義定義1 1存在，記作存在，記作a稱稱記作：記作：即即(2.1)或?qū)懗晌⒎中问交驅(qū)懗晌⒎中问?(0)fzzozz 0000()()limzf zzf zfzz (2.2)00df zfzz 0f zz為在 處的微分故也稱 0f zz在 處可微。則稱則稱如果如果 f z在區(qū)域在區(qū)域d內(nèi)處處可導（可微），內(nèi)處處可導（可微）， f z在在d內(nèi)可導（可微）內(nèi)可導（可微）。例例1nzzf)(求函數(shù)求函數(shù)n（ 為正整數(shù)）的導數(shù)。為正整數(shù)）的導數(shù)

3、。解解因為因為 0limzf zzf zz 0limnnzzzzz 1201lim2!nnzn nnzzz 1nnz所以所以 1nfznz例例2( )ref zz證明證明在全平面處處不可導。在全平面處處不可導。證明證明0z因為對任意一點因為對任意一點 000000rereref zf zzzzzzzzzzz分別考慮直線分別考慮直線0rerezz及直線及直線0imimzz在前一直線上，上式恒等于在前一直線上，上式恒等于0； 在后一直線在后一直線上，上式恒等于上，上式恒等于1。0zz故當故當時，時，上式?jīng)]上式?jīng)]有極限，有極限，即即( )f z0z在在處沒有導數(shù)。處沒有導數(shù)。由于由于0z的任意性，的

4、任意性，( )f z在全平面處處沒有導數(shù)。在全平面處處沒有導數(shù)。2 可導與連續(xù)可導與連續(xù) 定理定理1證明證明( )f z在在0z處可導處可導,則則( )f z在在0z處連續(xù)。處連續(xù)。若若( )f z在在0z處可導，處可導，對于任意的對于任意的0,存在存在0,0z 使得當使得當時，有時，有 000()f zzf zfzz 000f zzf zzfzz 令令0lim0zz 則則000f zzf zfzzzz 由由000limzf zzf z 有有即即( )f z在在0z處連續(xù)。處連續(xù)。3 求導法則求導法則 1 0c(c為復常數(shù))2 cf zcfz(c為復常數(shù))3 f zg zfzgz4 f zg

5、zfz g zf z gz5 2f zfz g zf z gzg zgz( ( )0)g z 6 fg zfgzfg zgz( )g z7 f zzh當與是兩個互為反函數(shù)的是兩個互為反函數(shù)的單值函數(shù)，單值函數(shù)， 0h且時， 1fzh例例3 (1)(1)利用法則利用法則6 6，得：，得： 12011( )(1)nnnfza nza nza例例4 32(1) 46,f zzz已知 0f 求； zf 求； (2) ,nf zz已知解解 2234624fzzzz利用法則利用法則1,2,31,2,3，得：，得： 20 03 64432zffz 從而(2) ( )znf z ,nzh的反函數(shù)為的反函數(shù)為

6、由法則由法則7 7，得：，得： 111111nnnnnfzzhnn z1011( )nnnnf za za zaza求的導函數(shù)。解解4 函數(shù)可導的條件函數(shù)可導的條件 定理定理2(cauchyriemann) ,f zu x yiv x y設設zxiyd且且在在在區(qū)域在區(qū)域d內(nèi)有定義，內(nèi)有定義，可導，則可導，則, ( , )( , ),uuvvu x yv x yx yxyxy在在點點存存在在偏偏導導數(shù)數(shù)且滿足方程且滿足方程uvxyuvyx 此時，此時，的導數(shù)可寫成的導數(shù)可寫成( )f zz在在點點 uvvufziixxyyc-r(cauchyriemann)條件條件)(2.3)(2.4)證明：

7、證明：( )f zz由由于于在在點點 可可導導，則依任何方式則依任何方式 0z 都都有有 0limzfzz 其中其中,zxi y f zzf zui v ,uu xx yyu x y ,vv xx yyv x y z沿實軸趨于零，則沿實軸趨于零，則不妨先讓不妨先讓 0limzfzz 0000limlimxxyyuvixx uvixx0limzui vxi y uviyy z沿虛軸趨于零，則又有沿虛軸趨于零，則又有再讓再讓 0limzfzz 0limzui vxi y 0000limlimxxyyui vi yi y 比較上兩式，則得比較上兩式，則得 ,uvxyuvyx z且且在在點點 處處有有

8、 uvvufziixxyy注意注意 ：本定理表明，若函數(shù)本定理表明，若函數(shù)( )f zz在在點點 可可導導，（2.42.4）可求得點的導數(shù)）可求得點的導數(shù)則依據(jù)公式則依據(jù)公式這比由導數(shù)定義求這比由導數(shù)定義求( )fz。導方便得多。導方便得多。 cr cr條件只是導數(shù)存在的一個必要條件條件只是導數(shù)存在的一個必要條件。 例例5 證明：函數(shù)證明：函數(shù)處處不可導。處處不可導。 證明證明 ,f zxiy,1uux vyx 即即從從而而，,uvxy因此，在復因此，在復1;vy 即即c-rc-r條件不成立，條件不成立，平面的任何點處，平面的任何點處， f zz不可導。不可導。 f zz0z 在在點點處的可導

9、性。處的可導性。 f zxy討論討論解解,u x yxy，,0v x y ，0z 在在點點處處有有0,000,00,0lim0 xuxuuxx ，0,00uy，0,00,00vvxy例例6 6即函數(shù)即函數(shù) f zxy0c-rz 在在點點滿滿足足條條件件。但若讓但若讓 00limzfzfz 0zxi yyk x 沿沿射射線線趨趨于于 ，則則有有1kik 0limxy kxxyxi y 所以函數(shù)所以函數(shù) 0z 在在點點處的不可導。處的不可導。 f zxy定理定理3 (函數(shù)可導的充分必要條件函數(shù)可導的充分必要條件) ,f zu x yiv x y函函數(shù)數(shù)dzxiy在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)點點處處可導的充分

10、必要條件是可導的充分必要條件是uvxyuvyx , ( , )( , )u x yv x yx y在在點點處處(c-r條件條件)可微且滿足可微且滿足c-r條件條件證明：證明：“必要性必要性” 可導，可導，( )f zdzxiy設設在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)的的點點處處 則對充分小的則對充分小的22|()() ,zxy 有有 f zzf z 000f zzf zzfzz其中其中0lim0zz fzaib設設ui v 12a xb yi b xa yi fzzzz 且且則則12ua xb yvb xa y 比較上式的實部和虛部，即得比較上式的實部和虛部，即得 是關于是關于| z的高階無窮小。的高階無窮小。

11、1re,zz2imzz其中其中根據(jù)二元實函數(shù)的微分定義，根據(jù)二元實函數(shù)的微分定義，( , )( , )u x yv x y和和在在點點z可微，且有可微，且有=,uvaxy=uvbyx 即即crcr條件成立。條件成立。 “充分性充分性” , ( , )( , )u x yv x yx y由由在在點點處處可可微微，有有1uuuxyxy 2vvvxyxy 其中，其中，2212()()zxy 、是是比比無窮小量。無窮小量。高階的高階的由由crcr條件，可令條件，可令uvaxy，uvbyx 則有則有12aibxi yi f zzf zui v 12a xb yi b xa y f zzf zaibz 即

12、即12iz(0)z 1212izz其中其中且且 0limzf zzf zaibz 所以所以 fzaib即即uvixxuuixyvuiyyvviyx0推論推論,u x yv x y若若函函數(shù)數(shù)的的偏偏導導數(shù)數(shù),uvxy,vuxy在點在點(x,y) 處處連續(xù)連續(xù)，且滿足，且滿足c-r條件，則復條件，則復變函數(shù)變函數(shù)( )( , )( , )f zu x yiv x yzxiy在處可導。處可導。二、二、解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念 1 解析函數(shù)的定義解析函數(shù)的定義定義定義2如果函數(shù)如果函數(shù)( )f zzz在在 及及 的的鄰鄰域域內(nèi)處處可導，內(nèi)處處可導，則稱則稱( )f zz在在點點 處處解析；解析；

13、如果函數(shù)如果函數(shù)( )f zd在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)每一點解析，則稱每一點解析，則稱( )f zd是是區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)的一個解析函數(shù)的一個解析函數(shù)例例1 1：函數(shù)函數(shù)2( )f zz在復平面中每一點都有導數(shù)，在復平面中每一點都有導數(shù)，所以它們在整個復平面內(nèi)處處解析。所以它們在整個復平面內(nèi)處處解析。例例2 2：我們可以驗證：我們可以驗證2( )f zz在復平面內(nèi)處處在復平面內(nèi)處處不解析。不解析。孤立奇點若函數(shù)若函數(shù)( )f zz在在點點處不解析，處不解析，( )zf z則則稱稱點點 為為的的奇點奇點；特別地，特別地，若函數(shù)若函數(shù)( )f zz在在點點處不解析，處不解析，z而而在在 的的某某一去心鄰域內(nèi)處

14、處解析，一去心鄰域內(nèi)處處解析，( )zf z則則稱稱點點 為為的的孤立奇點孤立奇點。例如例如 21,f zz函數(shù)函數(shù)0z 當當時時，有有 22011limzzzzfzz 2202limzzzzzz 32z ( )f z沒有定義，導數(shù)當然也不存在，沒有定義，導數(shù)當然也不存在，所以，在復平面中除去所以，在復平面中除去0z 外外( )f z的導數(shù)處處存在，的導數(shù)處處存在，因而因而0z 的區(qū)域內(nèi)解析；的區(qū)域內(nèi)解析；在除去在除去( )f z但在但在0z 處，處，從而從而( )f z在在0z 處不解析，處不解析，0z 是是( )f z的奇點，的奇點， 也是的孤立奇點。也是的孤立奇點。注意注意函數(shù)的奇點并非

15、都是孤立奇點，以后我們討論函數(shù)的奇點并非都是孤立奇點，以后我們討論的奇點主要是孤立奇點。的奇點主要是孤立奇點。函數(shù)在一點處解析與可導是兩個不等價的概念。函數(shù)在一點處解析與可導是兩個不等價的概念。函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析與可導是等價的。函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析與可導是等價的。2函數(shù)解析的條件函數(shù)解析的條件 定理定理4 ,f zu x yiv x y函函數(shù)數(shù)d在在其其定定義義區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)解析的充分必要條件是解析的充分必要條件是, ( , )du x yv x y 在在 內(nèi)內(nèi)任任一一點點izxy處可微且滿足處可微且滿足c-r條件條件uvxyuvyx (c-r條件條件)運算法則運算法則 1在區(qū)域在區(qū)域d內(nèi)解析的

16、兩個函數(shù)內(nèi)解析的兩個函數(shù)( )( )f zg z與與的和、差、的和、差、積、商（除去分母為零的點外）在積、商（除去分母為零的點外）在d內(nèi)解析；內(nèi)解析；2設函數(shù)設函數(shù) hg zz在在平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域d內(nèi)解析，內(nèi)解析， 函數(shù)函數(shù) f hh在在平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域g內(nèi)解析，內(nèi)解析，如果對如果對d內(nèi)內(nèi), z的每一個點的每一個點函數(shù)函數(shù) g z的對應值的對應值h都屬于都屬于g， 那么那么 fg z復合函數(shù)復合函數(shù)在在d內(nèi)解析。內(nèi)解析。注：注：所有關于所有關于z的多項式函數(shù)在復平面內(nèi)是處處解的多項式函數(shù)在復平面內(nèi)是處處解析的；析的； 任何一個關于任何一個關于z的有理分式函數(shù)的有理分式函數(shù) p

17、zq z在不在不含使分母為零的點的區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù)，含使分母為零的點的區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù)， 使分母使分母為零的點是它的孤立奇點。為零的點是它的孤立奇點。( )e (cosisin )xf zyy33( )2i3f zxyc-r四四個個偏偏導導數(shù)數(shù)在在復復平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù)且且滿滿足足條條件件例例7判斷下列函數(shù)是否解析：判斷下列函數(shù)是否解析：(1)(2)解解(1)e cos ,xuye cos ,xuyxe sin ,xvyx,uvuvxyyx ( )e (cosisin )xf zyy在復平面內(nèi)處處解析。在復平面內(nèi)處處解析。 所以所以e sin ,xvye sinxuyy ，e cos

18、xvyy，( )iuvfzxy(cosisin )exyy( )f z(2)332,3ux vy26,uxx0,uy0,vx29;vyy四個偏導數(shù)存在且連續(xù)。但四個偏導數(shù)存在且連續(xù)。但c-r條件只在條件只在2269xy即直線即直線230 xy和和230 xy上滿足。上滿足。 所以，所以，33( )2i3f zxy只在以上兩條只在以上兩條直線上可導，直線上可導， 從而處處不解析。從而處處不解析。例例8常數(shù)常數(shù), ,m n l取何值時，取何值時， 函數(shù)函數(shù)3232( )i()f zmynx yxlxy在復平面內(nèi)處處解析？在復平面內(nèi)處處解析？解解3232,umynx y vxlxy2,unxyx22

19、3umynxy223,vxlyx2vlxyy四個偏導數(shù)都連續(xù)，因此只有當四個偏導數(shù)都連續(xù)，因此只有當222222,33nxylxyxlymynx1,3mnl 即當即當時，時， 函數(shù)函數(shù)在復平面內(nèi)在復平面內(nèi)( )f z處處解析。處處解析。例例9證明：證明：若函數(shù)若函數(shù)( )f z在在e內(nèi)解析，內(nèi)解析，并滿足下列并滿足下列條件之一，條件之一，則則( )f z是常數(shù)。是常數(shù)。( )f z恒取實數(shù)；恒取實數(shù)；( )f z在在e內(nèi)解析；內(nèi)解析；( )f z在在e內(nèi)為非零常數(shù)；內(nèi)為非零常數(shù)；( )0fz 證證： ( )( , )f zu x y恒取實數(shù)；恒取實數(shù)；0,v ( )f z函數(shù)函數(shù)在在e內(nèi)解析，內(nèi)解析，0,uvxy所所以以0uvyx ，故故( , )ux y與與無關，無關，( )( , )cf zu x y所以所以為常數(shù)。為常數(shù)。( )( , )( , )f zu x yiv x y由由與與( )( , )i ( , )f zu x yv x