2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)甲卷 (2)

1、絕密 啟用前2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,共24題,共150分,共4頁?？荚嚱Y(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.選擇題必須使用2b鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折疊、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙

2、刀。第卷一、 選擇題:本題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。(1) 已知集合a=1,2,3,b=x|x2<9,則ab=(a)-2,-1,0,1,2,3(b)-2,-1,0,1,2(c)1,2,3(d)1,2(2) 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i=3-i,則z=(a)-1+2i(b)1-2i(c)3+2i(d)3-2i(3) 函數(shù)y=asin(x+)的部分圖像如圖所示,則(a)y=2sin(2x-6)(b)y=2sin(2x-3)(c)y=2sin(x+6)(d)y=2sin(x+3)(4) 體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為(a)12(b

3、)323(c)8(d)4(5) 設(shè)f為拋物線c:y2=4x的焦點(diǎn),曲線y=kx(k>0)與c交于點(diǎn)p,pfx軸,則k=(a)12(b)1(c)32(d)2(6) 圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=(a)-43(b)-34(c)3(d)2(7) 右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為(a)20(b)24(c)28(d)32(8) 某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(a)710(b)58(c)38(d)310(9) 中國古

4、代有計算多項(xiàng)式值的秦九韶算法,右圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖,執(zhí)行該程序框圖,若輸入的x=2,n=2,依次輸入的a為2,2,5,則輸出的s=(a)7(b)12(c)17(d)34(10) 下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lg x的定義域和值域相同的是(a)y=x(b)y=lg x(c)y=2x(d)y=1x(11) 函數(shù)f(x)=cos 2x+6cos(2-x)的最大值為(a)4(b)5(c)6(d)7(12) 已知函數(shù)f(x)(xr)滿足f(x)=f(2-x),若函數(shù)y=|x2-2x-3|與y=f(x)圖像的交點(diǎn)為(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),則i=1mxi=(a)

5、0(b)m(c)2m(d)4m第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第1321題為必考題,每個試題考生都必須作答。第2224題為選考題,考生根據(jù)要求作答。二、填空題:本題共4小題,每小題5分。(13) 已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且ab,則m=. (14) 若x,y滿足約束條件x-y+10,x+y-30,x-30,則z=x-2y的最小值為. (15) abc的內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c,若cosa=45,cosc=513,a=1,則b=. (16) 有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“

6、我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是. 三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(17) (本小題滿分12分)等差數(shù)列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.()求an的通項(xiàng)公式;()設(shè)bn=an,求數(shù)列bn的前10項(xiàng)和,其中x表示不超過x的最大整數(shù),如0.9=0,2.6=2.(18) (本小題滿分12分)某險種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:上年度出險次數(shù)012345保費(fèi)0.85aa

7、1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:出險次數(shù)012345頻數(shù)605030302010()記a為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”,求p(a)的估計值;()記b為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”.求p(b)的估計值;()求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計值.(19) (本小題滿分12分)如圖,菱形abcd的對角線ac與bd交于點(diǎn)o,點(diǎn)e,f分別在ad,cd上,ae=cf,ef交bd于點(diǎn)h.將def沿ef折到d'ef的位置.()證明:achd'()若ab=5,ac=6,ae=54

8、,od'=22,求五棱錐d'-abcfe的體積.(20) (本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).()當(dāng)a=4時,求曲線y=f(x)在(1,f(1)處的切線方程;()若當(dāng)x(1,+)時,f(x)>0,求a的取值范圍.(21) (本小題滿分12分)已知a是橢圓e:x24+y23=1的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線交e于a,m兩點(diǎn),點(diǎn)n在e上,mana.()當(dāng)|am|=|an|時,求amn的面積;()當(dāng)2|am|=|an|時,證明:3<k<2.請考生在第2224題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分。(22) (本小

9、題滿分10分)選修41:幾何證明選講如圖,在正方形abcd中,e,g分別在邊da,dc上(不與端點(diǎn)重合),且de=dg,過d點(diǎn)作dfce,垂足為f.()證明:b,c,g,f四點(diǎn)共圓;()若ab=1,e為da的中點(diǎn),求四邊形bcgf的面積.(23) (本小題滿分10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xoy中,圓c的方程為(x+6)2+y2=25.()以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求c的極坐標(biāo)方程;()直線l的參數(shù)方程是x=tcos,y=tsin,(t為參數(shù)),l與c交于a,b兩點(diǎn),|ab|=10,求l的斜率.(24) (本小題滿分10分)選修45:不等式選講已知函數(shù)f(

10、x)=|x-12|+|x+12|,m為不等式f(x)<2的解集.()求m;()證明:當(dāng)a,bm時,|a+b|<|1+ab|.試卷全解全析全國甲卷文科(1)d由x2<9,得-3<x<3,所以b=x|-3<x<3.因?yàn)閍=1,2,3,所以ab=1,2.故選d.(2)c由z+i=3-i,得z=3-2i,所以z=3+2i,故選c.(3)a由題圖知,a=2,周期t=23-6=,所以=2=2,y=2sin(2x+).方法一:因?yàn)楹瘮?shù)圖像過點(diǎn)3,2,所以2=2sin2×3+.所以23+=2k+2(kz).令k=0,得=-6,所以y=2sin2x-6,故選a

11、.方法二:因?yàn)楹瘮?shù)圖像過點(diǎn)-6,-2,所以-2=2sin2×-6+,所以2×-6+=2k-2,kz,即=2k-6,kz.令k=0,得=-6,所以y=2sin2x-6.故選a.(4)a設(shè)正方體的棱長為a,由a3=8,得a=2.由題意可知,正方體的體對角線為球的直徑,故2r=3a2,則r=3.所以該球的表面積為4×(3)2=12,故選a.(5)d因?yàn)閒為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),所以f(1,0).又因?yàn)榍€y=kx(k>0)與拋物線交于點(diǎn)p,pfx軸,如圖所示,可知p(1,2),故k1=2,解得k=2,故選d.(6)a由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1

12、)2+(y-4)2=4,所以圓心坐標(biāo)為(1,4).因?yàn)閳Ax2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,所以|a+4-1|a2+12=1,解得a=-43,故選a.(7)c因?yàn)樵瓗缀误w由同底面的一個圓柱和一個圓錐構(gòu)成,所以其表面積為s=×422+4×4+12×4×(23)2+22=28,故選c.(8)b因?yàn)榧t燈持續(xù)時間為40秒,所以這名行人至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為40-1540=58,故選b.(9)c由題意,得x=2,n=2,k=0,s=0,輸入a=2,則s=0×2+2=2,k=1,繼續(xù)循環(huán);輸入a=2,則s=

13、2×2+2=6,k=2,繼續(xù)循環(huán);輸入a=5,s=6×2+5=17,k=3>2,退出循環(huán),輸出17.故選c.(10)dy=10lg x=x,定義域與值域均為(0,+).y=x的定義域和值域均為r;y=lg x的定義域?yàn)?0,+),值域?yàn)閞;y=2x的定義域?yàn)閞,值域?yàn)?0,+);y=1x的定義域與值域均為(0,+).故選d.(11)b因?yàn)閒(x)=1-2sin2x+6sin x=-2sinx-322+112,而sin x-1,1,所以當(dāng)sin x=1時,f(x)取最大值5,故選b.(12)b由題意可知,y=f(x)與y=|x2-2x-3|的圖像都關(guān)于x=1對稱,所以它

14、們的交點(diǎn)也關(guān)于x=1對稱.當(dāng)m為偶數(shù)時,i=1mxi=2×m2=m;當(dāng)m為奇數(shù)時,i=1mxi=2×m-12+1=m,故選b.(13)-6因?yàn)閍b,所以-2m-4×3=0,解得m=-6.(14)-5作出可行域,如圖陰影部分所示.由z=x-2y,得y=12x-12z,故當(dāng)直線y=12x-12z過點(diǎn)a時,-12z最大,z最小.由x-y+1=0,x=3,得a(3,4),所以z的最小值為3-2×4=-5.(15)2113因?yàn)閏os a=45,cos c=513,且a,c為abc的內(nèi)角,所以sin a=35,sin c=1213,sin b=sin-(a+c)=s

15、in(a+c)=sin acos c+cos asin c=6365.又因?yàn)閍sina=bsinb,所以b=asinbsina=2113.(16)1和3由丙說的話可知,丙的卡片上的數(shù)字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的數(shù)字是“1和2”,則由乙說的話可知,乙的卡片上的數(shù)字是“2和3”,甲的卡片上的數(shù)字是“1和3”,此時與甲說的話一致;若丙的卡片上的數(shù)字是“1和3”,則由乙說的話可知,乙的卡片上的數(shù)字是“2和3”,甲的卡片上的數(shù)字是“1和2”,此時與甲說的話矛盾.綜上可知,甲的卡片上的數(shù)字是“1和3”.(17)解 ()設(shè)數(shù)列an的公差為d,由題意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a

16、1=1,d=25.所以an的通項(xiàng)公式為an=2n+35.()由()知,bn=2n+35.當(dāng)n=1,2,3時,12n+35<2,bn=1;當(dāng)n=4,5時,22n+35<3,bn=2;當(dāng)n=6,7,8時,32n+35<4,bn=3;當(dāng)n=9,10時,42n+35<5,bn=4.所以數(shù)列bn的前10項(xiàng)和為1×3+2×2+3×3+4×2=24.(18)解 ()事件a發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為60+50200=0.55,故p(a)的估計值為0.55.()事件b發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1

17、且小于4.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為30+30200=0.3,故p(b)的估計值為0.3.()由所給數(shù)據(jù)得保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.因此,續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計值為1.192 5a.(19)解 ()由已知得acbd,ad=cd.又由ae=cf得aead=cfcd,故ace

18、f.由此得efhd,efhd',所以achd'.()由efac得ohdo=aead=14.由ab=5,ac=6得do=bo=ab2-ao2=4.所以oh=1,d'h=dh=3.于是od'2+oh2=(22)2+12=9=d'h2,故od'oh.由()知achd',又acbd,bdhd'=h,所以ac平面bhd',于是acod'.又由od'oh,acoh=o,所以,od'平面abc.又由efac=dhdo得ef=92.五邊形abcfe的面積s=12×6×8-12×92&#

19、215;3=694.所以五棱錐d'-abcfe的體積v=13×694×22=2322.(20)解 ()f(x)的定義域?yàn)?0,+).當(dāng)a=4時,f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f'(x)=ln x+1x-3,f'(1)=-2,f(1)=0.曲線y=f(x)在(1,f(1)處的切線方程為2x+y-2=0.()當(dāng)x(1,+)時,f(x)>0等價于ln x-a(x-1)x+1>0.設(shè)g(x)=ln x-a(x-1)x+1,則g'(x)=1x-2a(x+1)2=x2+2(1-a)x+1x(x+1)2,g(1)=0.()當(dāng)a2,

20、x(1,+)時,x2+2(1-a)x+1x2-2x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在(1,+)單調(diào)遞增,因此g(x)>0;()當(dāng)a>2時,令g'(x)=0得x1=a-1-(a-1)2-1,x2=a-1+(a-1)2-1.由x2>1和x1x2=1得x1<1,故當(dāng)x(1,x2)時,g'(x)<0,g(x)在(1,x2)單調(diào)遞減,因此g(x)<0.綜上,a的取值范圍是(-,2.(21)解 ()設(shè)m(x1,y1),則由題意知y1>0.由已知及橢圓的對稱性知,直線am的傾斜角為4.又a(-2,0),因此直線am的方程為y=

21、x+2.將x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=127,所以y1=127.因此amn的面積samn=2×12×127×127=14449.()將直線am的方程y=k(x+2)(k>0)代入x24+y23=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1·(-2)=16k2-123+4k2得x1=2(3-4k2)3+4k2,故|am|=|x1+2|1+k2=121+k23+4k2.由題設(shè),直線an的方程為y=-1k(x+2),故同理可得|an|=12k1+k23k2+4.由2|am|=|an|得23+4k2=k3k2+4,即4k3-6k2+3k-8=0.設(shè)f(t)=4t3-6t2+3t-8,則k是f(t)的零點(diǎn).f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)單調(diào)遞增.又f(3)=153-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+)有唯一的零點(diǎn),且零點(diǎn)k在(3,2)內(nèi).所以3<k<2.(22)解 ()因?yàn)閐fec,所以defcdf,則有g(shù)df