2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學(課標全國Ⅰ卷)理

1、課標全國理科注意事項:1.本試題分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,第卷1至3頁,第卷3至5頁.2.答題前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置.3.全部答案在答題卡上完成,答在本試題上無效.4.考試結束后,將本試題和答題卡一并交回.第卷一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2013課標全國,理1)已知集合a=x|x2-2x>0,b=x|-5<x<5,則(). a.ab=b.ab=rc.bad.ab答案:b解析:x(x-2)>0,x<0或x>2.集合a與b可用圖象表示為:由圖

2、象可以看出ab=r,故選b.2.(2013課標全國,理2)若復數z滿足(3-4i)z=|4+3i|,則z的虛部為().a.-4b.-45c.4d.45答案:d解析:(3-4i)z=|4+3i|,z=53-4i=5(3+4i)(3-4i)(3+4i)=35+45i.故z的虛部為45,選d.3.(2013課標全國,理3)為了解某地區(qū)的中小學生的視力情況,擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調查,事先已了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異,而男女生視力情況差異不大.在下面的抽樣方法中,最合理的抽樣方法是().a.簡單隨機抽樣b.按性別分層抽樣c.按學段分層抽樣d.系統(tǒng)抽樣答

3、案:c解析:因為學段層次差異較大,所以在不同學段中抽取宜用分層抽樣.4.(2013課標全國,理4)已知雙曲線c:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為52,則c的漸近線方程為().a.y=±14xb.y=±13xc.y=±12xd.y=±x答案:c解析:e=ca=52,e2=c2a2=a2+b2a2=54.a2=4b2,ba=±12.漸近線方程為y=±bax=±12x.5.(2013課標全國,理5)執(zhí)行右面的程序框圖,如果輸入的t-1,3,則輸出的s屬于().a.-3,4b.-5,2c.-4,3d.-

4、2,5答案:a解析:若t-1,1),則執(zhí)行s=3t,故s-3,3).若t1,3,則執(zhí)行s=4t-t2,其對稱軸為t=2.故當t=2時,s取得最大值4.當t=1或3時,s取得最小值3,則s3,4.綜上可知,輸出的s-3,4.故選a.6.(2013課標全國,理6)如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8 cm,將一個球放在容器口,再向容器內注水,當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm,如果不計容器的厚度,則球的體積為().a.5003 cm3b.8663 cm3c.1 3723 cm3d.2 0483 cm3答案:a解析:設球半徑為r,由題可知r,r-2,正方體棱長一半可構成直角三角形

5、,即oba為直角三角形,如圖.bc=2,ba=4,ob=r-2,oa=r,由r2=(r-2)2+42,得r=5,所以球的體積為4353=5003(cm3),故選a.7.(2013課標全國,理7)設等差數列an的前n項和為sn,若sm-1=-2,sm=0,sm+1=3,則m=().a.3b.4c.5d.6答案:c解析:sm-1=-2,sm=0,sm+1=3,am=sm-sm-1=0-(-2)=2,am+1=sm+1-sm=3-0=3.d=am+1-am=3-2=1.sm=ma1+m(m-1)2×1=0,a1=-m-12.又am+1=a1+m×1=3,-m-12+m=3.m=5

6、.故選c.8.(2013課標全國,理8)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為().a.16+8b.8+8c.16+16d.8+16答案:a解析:由三視圖可知該幾何體為半圓柱上放一個長方體,由圖中數據可知圓柱底面半徑r=2,長為4,在長方體中,長為4,寬為2,高為2,所以幾何體的體積為r2×4×12+4×2×2=8+16.故選a.9.(2013課標全國,理9)設m為正整數,(x+y)2m展開式的二項式系數的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項式系數的最大值為b.若13a=7b,則m=().a.5b.6c.7d.8答案:b解析:由題意可知,a=

7、c2mm,b=c2m+1m,又13a=7b,13·(2m)!m!m!=7·(2m+1)!m!(m+1)!,即137=2m+1m+1.解得m=6.故選b.10.(2013課標全國,理10)已知橢圓e:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為f(3,0),過點f的直線交e于a,b兩點.若ab的中點坐標為(1,-1),則e的方程為().a.x245+y236=1b.x236+y227=1c.x227+y218=1d.x218+y29=1答案:d解析:設a(x1,y1),b(x2,y2),a,b在橢圓上,x12a2+y12b2=1, x22a2+y22b2=1,-

8、,得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即b2a2=-(y1+y2)(y1-y2)(x1+x2)(x1-x2),ab的中點為(1,-1),y1+y2=-2,x1+x2=2,而y1-y2x1-x2=kab=0-(-1)3-1=12,b2a2=12.又a2-b2=9,a2=18,b2=9.橢圓e的方程為x218+y29=1.故選d.11.(2013課標全國,理11)已知函數f(x)=-x2+2x,x0,ln(x+1),x>0.若|f(x)|ax,則a的取值范圍是().a.(-,0b.(-,1c.-2,1d.-2,0答案:d解析:由y=|f(x)|的圖象知:

9、當x>0時,y=ax只有a0時,才能滿足|f(x)|ax,可排除b,c.當x0時,y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x.故由|f(x)|ax得x2-2xax.當x=0時,不等式為00成立.當x<0時,不等式等價于x-2a.x-2<-2,a-2.綜上可知:a-2,0.12.(2013課標全國,理12)設anbncn的三邊長分別為an,bn,cn,anbncn的面積為sn,n=1,2,3,.若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=cn+an2,cn+1=bn+an2,則().a.sn為遞減數列b.sn為遞增數列c.s2n-1為遞增數列,s2n為

10、遞減數列d.s2n-1為遞減數列,s2n為遞增數列答案:b第卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題第(21)題為必考題,每個試題考生都必須做答.第(22)題第(24)題為選考題,考生根據要求做答.二、填空題:本大題共4小題,每小題5分.13.(2013課標全國,理13)已知兩個單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,則t=. 答案:2解析:c=ta+(1-t)b,b·c=ta·b+(1-t)|b|2.又|a|=|b|=1,且a與b夾角為60°,bc,0=t|a|b|cos 60°+(1-t)

11、,0=12t+1-t.t=2.14.(2013課標全國,理14)若數列an的前n項和sn=23an+13,則an的通項公式是an=. 答案:(-2)n-1解析:sn=23an+13,當n2時,sn-1=23an-1+13.-,得an=23an-23an-1,即anan-1=-2.a1=s1=23a1+13,a1=1.an是以1為首項,-2為公比的等比數列,an=(-2)n-1.15.(2013課標全國,理15)設當x=時,函數f(x)=sin x-2cos x取得最大值,則cos =. 答案:-255解析:f(x)=sin x-2cos x=515sinx-25cosx,令

12、cos =15,sin =-25,則f(x)=5sin(+x),當x=2k+2-(kz)時,sin(+x)有最大值1,f(x)有最大值5,即=2k+2-(kz),所以cos =cos2k+2-=cos2-=sin =-25=-255.16.(2013課標全國,理16)若函數f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關于直線x=-2對稱,則f(x)的最大值為. 答案:16解析:函數f(x)的圖像關于直線x=-2對稱,f(x)滿足f(0)=f(-4),f(-1)=f(-3),即b=-15(16-4a+b),0=-8(9-3a+b),解得a=8,b=15.f(x)=-x4-8x3-14

13、x2+8x+15.由f'(x)=-4x3-24x2-28x+8=0,得x1=-2-5,x2=-2,x3=-2+5.易知,f(x)在(-,-2-5)上為增函數,在(-2-5,-2)上為減函數,在(-2,-2+5)上為增函數,在(-2+5,+)上為減函數.f(-2-5)=1-(-2-5)2(-2-5)2+8(-2-5)+15=(-8-45)(8-45)=80-64=16.f(-2)=1-(-2)2(-2)2+8×(-2)+15=-3(4-16+15)=-9.f(-2+5)=1-(-2+5)2(-2+5)2+8(-2+5)+15=(-8+45)(8+45)=80-64=16.故f(

14、x)的最大值為16.三、解答題:解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.(2013課標全國,理17)(本小題滿分12分)如圖,在abc中,abc=90°,ab=3,bc=1,p為abc內一點,bpc=90°.(1)若pb=12,求pa;(2)若apb=150°,求tanpba.解:(1)由已知得pbc=60°,所以pba=30°.在pba中,由余弦定理得pa2=3+14-2×3×12cos 30°=74.故pa=72.(2)設pba=,由已知得pb=sin .在pba中,由正弦定理得3sin150°

15、=sinsin(30°-),化簡得3cos =4sin .所以tan =34,即tanpba=34.18.(2013課標全國,理18)(本小題滿分12分)如圖,三棱柱abc-a1b1c1中,ca=cb,ab=aa1,baa1=60°.(1)證明:aba1c;(2)若平面abc平面aa1b1b,ab=cb,求直線a1c與平面bb1c1c所成角的正弦值.(1)證明:取ab的中點o,連結oc,oa1,a1b.因為ca=cb,所以ocab.由于ab=aa1,baa1=60°,故aa1b為等邊三角形,所以oa1ab.因為ocoa1=o,所以ab平面oa1c.又a1c平面oa

16、1c,故aba1c.(2)解:由(1)知ocab,oa1ab.又平面abc平面aa1b1b,交線為ab,所以oc平面aa1b1b,故oa,oa1,oc兩兩相互垂直.以o為坐標原點,oa的方向為x軸的正方向,|oa|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系o-xyz.由題設知a(1,0,0),a1(0,3,0),c(0,0,3),b(-1,0,0).則bc=(1,0,3),bb1=aa1=(-1,3,0),a1c=(0,-3,3).設n=(x,y,z)是平面bb1c1c的法向量,則n·bc=0,n·bb1=0,即 x+3z=0,-x+3y=0.可取n=(3,1,-1).故cos

17、<n,a1c>=n·a1c|n|a1c|=-105.所以a1c與平面bb1c1c所成角的正弦值為105.19.(2013課標全國,理19)(本小題滿分12分)一批產品需要進行質量檢驗,檢驗方案是:先從這批產品中任取4件作檢驗,這4件產品中優(yōu)質品的件數記為n.如果n=3,再從這批產品中任取4件作檢驗,若都為優(yōu)質品,則這批產品通過檢驗;如果n=4,再從這批產品中任取1件作檢驗,若為優(yōu)質品,則這批產品通過檢驗;其他情況下,這批產品都不能通過檢驗.假設這批產品的優(yōu)質品率為50%,即取出的每件產品是優(yōu)質品的概率都為12,且各件產品是否為優(yōu)質品相互獨立.(1)求這批產品通過檢驗的概率

18、;(2)已知每件產品的檢驗費用為100元,且抽取的每件產品都需要檢驗,對這批產品作質量檢驗所需的費用記為x(單位:元),求x的分布列及數學期望.解:(1)設第一次取出的4件產品中恰有3件優(yōu)質品為事件a1,第一次取出的4件產品全是優(yōu)質品為事件a2,第二次取出的4件產品都是優(yōu)質品為事件b1,第二次取出的1件產品是優(yōu)質品為事件b2,這批產品通過檢驗為事件a,依題意有a=(a1b1)(a2b2),且a1b1與a2b2互斥,所以p(a)=p(a1b1)+p(a2b2)=p(a1)p(b1|a1)+p(a2)p(b2|a2)=416×116+116×12=364.(2)x可能的取值為4

19、00,500,800,并且p(x=400)=1-416-116=1116,p(x=500)=116,p(x=800)=14.所以x的分布列為x400500800p111611614ex=400×1116+500×116+800×14=506.25.20.(2013課標全國,理20)(本小題滿分12分)已知圓m:(x+1)2+y2=1,圓n:(x-1)2+y2=9,動圓p與圓m外切并且與圓n內切,圓心p的軌跡為曲線c.(1)求c的方程;(2)l是與圓p,圓m都相切的一條直線,l與曲線c交于a,b兩點,當圓p的半徑最長時,求|ab|.解:由已知得圓m的圓心為m(-1,

20、0),半徑r1=1;圓n的圓心為n(1,0),半徑r2=3.設圓p的圓心為p(x,y),半徑為r.(1)因為圓p與圓m外切并且與圓n內切,所以|pm|+|pn|=(r+r1)+(r2-r)=r1+r2=4.由橢圓的定義可知,曲線c是以m,n為左、右焦點,長半軸長為2,短半軸長為3的橢圓(左頂點除外),其方程為x24+y23=1(x-2).(2)對于曲線c上任意一點p(x,y),由于|pm|-|pn|=2r-22,所以r2,當且僅當圓p的圓心為(2,0)時,r=2.所以當圓p的半徑最長時,其方程為(x-2)2+y2=4.若l的傾斜角為90°,則l與y軸重合,可得|ab|=23.若l的傾

21、斜角不為90°,由r1r知l不平行于x軸,設l與x軸的交點為q,則|qp|qm|=rr1,可求得q(-4,0),所以可設l:y=k(x+4).由l與圓m相切得|3k|1+k2=1,解得k=±24.當k=24時,將y=24x+2代入x24+y23=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=-4±627.所以|ab|=1+k2|x2-x1|=187.當k=-24時,由圖形的對稱性可知|ab|=187.綜上,|ab|=23或|ab|=187.21.(2013課標全國,理21)(本小題滿分12分)設函數f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲線y=

22、f(x)和曲線y=g(x)都過點p(0,2),且在點p處有相同的切線y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x-2時,f(x)kg(x),求k的取值范圍.解:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f'(0)=4,g'(0)=4.而f'(x)=2x+a,g'(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.從而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).設函數f(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,則f'(x)=2kex(x+2)-2x-

23、4=2(x+2)(kex-1).由題設可得f(0)0,即k1.令f'(x)=0得x1=-ln k,x2=-2.若1k<e2,則-2<x10.從而當x(-2,x1)時,f'(x)<0;當x(x1,+)時,f'(x)>0.即f(x)在(-2,x1)單調遞減,在(x1,+)單調遞增.故f(x)在-2,+)的最小值為f(x1).而f(x1)=2x1+2-x12-4x1-2=-x1(x1+2)0.故當x-2時,f(x)0,即f(x)kg(x)恒成立.若k=e2,則f'(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).從而當x>-2時,f'(x

24、)>0,即f(x)在(-2,+)單調遞增.而f(-2)=0,故當x-2時,f(x)0,即f(x)kg(x)恒成立.若k>e2,則f(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.從而當x-2時,f(x)kg(x)不可能恒成立.綜上,k的取值范圍是1,e2.請考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題做答.注意:只能做所選定的題目.如果多做,則按所做的第一個題目計分,做答時請用2b鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.22.(2013課標全國,理22)(本小題滿分10分)選修41:幾何證明選講如圖,直線ab為圓的切線,切點為b,點c在圓上,abc的角平分線be交圓于點e,db垂直be交圓于點d.(1)證明:db=dc;(2)設圓的半徑為1,bc=3,延長ce交ab于點f,求bcf外接圓的半徑.(1)證明:連結de,交bc于點g.由弦切角定理得,abe=bce.而abe=cbe,故cbe=bce,be=ce.又因為dbbe,所以de為直徑,dce=90°,由勾股定理可得db=dc.(2)解:由(1)知,cde=bde,db=dc,故dg是bc的中垂線,所以bg=32.設de的中點為o,連結bo,則bog=60°.從而abe=bce=cbe=30°,所以cfbf,故rtbcf外接