2022版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第1章集合常用邏輯用語(yǔ)不等式第6節(jié)二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題學(xué)（精編版）

1、二元一次不等式 ( 組) 與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題考試要求 1. 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.2. 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3. 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決91. 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域axby c>0直線 ax by c 0 某一側(cè)的所不包括邊界直線ax byc 0有點(diǎn)組成的平面區(qū)域包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2. 線性規(guī)劃中的相關(guān)概念名稱意義約束條件由變量 x，y 組成的不等式(組)線性約束條件由 x， y 的一次不等式 (或方程 )組成的不等式組目標(biāo)函

2、數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于 x， y 的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x， y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題常用結(jié)論 1. 作二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界、特殊點(diǎn)定域(1) 直線定界：不等式中無(wú)等號(hào)時(shí)直線作成虛線，有等號(hào)時(shí)直線和成實(shí)線(2) 特殊點(diǎn)定域：若直線不過(guò)原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選原點(diǎn)；若直線過(guò)原點(diǎn)，則特殊點(diǎn)常選取(0,1) 或(1,0)來(lái)驗(yàn)證2. 考慮 點(diǎn) p1( x1， y1)和 p2 (x2， y2)：位于直線axby c 0 兩側(cè)的充要條件是(ax 1b

3、y1 c)(ax2 by 2c) 0；位于直線ax by c 0 同側(cè)的充要條件是(ax1 by1 c)(ax2by2 c) 0.一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)不等式 ax by c>0 表示的平面區(qū)域一定在直線axby c 0 的上方 () (2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能不唯一()(3) 線性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界上()(4) 目標(biāo)函數(shù)z axby(b0)中， z 的幾何意義是直線ax by z 0 在 y 軸上的截距 ()答案 (1)×(2) (3) (4) ×二、教材習(xí)題衍生1. 下列各點(diǎn)中，不在x y 1

4、0 表示的平面區(qū)域內(nèi)的是() a (0,0)b (1,1)c ( 1,3)d (2， 3)c1 3 1 0，點(diǎn)( 1,3)不在 x y 1 0 表示的平面區(qū)域內(nèi)，故選c.2. 不等式組x 3y 6 0， x y2 0表示的平面區(qū)域是()abcdc把點(diǎn) (0,0)代入不等式組可知，點(diǎn)(0,0)不在 x 3y6 0 表示的平面區(qū)域內(nèi)，點(diǎn)(0,0) 在 x y 20 表示的平面區(qū)域內(nèi)，故選c.3. 投資生產(chǎn)a 產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100 噸需要資金200 萬(wàn)元， 需場(chǎng)地 200 平方米；投資生產(chǎn) b 產(chǎn)品時(shí)， 每生產(chǎn) 100 噸需要資金300 萬(wàn)元， 需場(chǎng)地 100 平方米 現(xiàn)某單位可使用資金1400 萬(wàn)

5、元，場(chǎng)地900 平方米，則上述要求可用不等式組表示為 (用 x， y 分別表示生產(chǎn) a ，b 產(chǎn)品的噸數(shù)， x 和 y 的單位是百噸 )200x300y 1 400200x100y 900x 0y 0 用表格列出各數(shù)據(jù)：產(chǎn)品ab總數(shù)產(chǎn)品噸數(shù) / 百xy噸資金 /萬(wàn)元200x300y1 400場(chǎng)地 /米 2200x100y900所以不難看出，x 0，y 0,200 x300y 1 400,200x 100y 900. 4. 設(shè) x， y 滿足約束條件x 3y3， x y 1， y 0，則 z x y 的最大值為 3 根據(jù)題意作出可行域，如圖陰影部分所示，由z x y得 y x z.作出直線y x

6、，并平移該直線，當(dāng)直線 y x z 過(guò)點(diǎn) a 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值 由圖知 a(3,0) ，故 zmax 3 03.考點(diǎn)一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域1.求平面區(qū)域面積的方法(1) 首先作出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接作出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問(wèn)題，從而再作出平面區(qū)域(2) 對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形 )，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個(gè)三角形分別求解再求和2 根據(jù)平面區(qū)域確定參數(shù)的方法在含有參數(shù)的二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域問(wèn)題中，首先把不含參數(shù)的平面區(qū)域確定好， 然后用數(shù)形結(jié)合的方法

7、根據(jù)參數(shù)的不同取值情況作圖觀察區(qū)域的形狀，根據(jù)求解要求確定問(wèn)題的答案典例 1(1) 不等式組2x y 6 0， xy 3 0， y2表示的平面區(qū)域的面積為()1a 1b 22c 2d 5(2)已知不等式組y x 2， y kx 1， y 0所表示的平面區(qū)域?yàn)槊娣e等于1的三角形，則實(shí)數(shù)k4的值為 ()1a 1b 21c 2d 1(1)a(2)d(1) 不等式組2x y 6 0，x y 3 0， y 2表示的平面區(qū)域如圖所示 (陰影部分 )，abc 的面積即為所求平面區(qū)域的面積求出點(diǎn) a，b，c 的坐標(biāo)分別為a(1,2) ，b(2,2)，c(3,0)，則abc的面積為s1× (2 1)&

8、#215; 2 1，故選 a. 2y x 2，(2) 由題意知k>0 ，且不等式組y kx1， y 0，所表示的平面區(qū)域如圖所示直線y kx1 與 x 軸的交點(diǎn)為1k， 0 ，直線 y kx 1 與直線 y x 2 的交點(diǎn)為3，k12k 1，k 12112k 11三角形的面積為× 2 k ×k 1 4，2解得 k 1 或 k 7，經(jīng)檢驗(yàn)， k2不符合題意，7k 1.點(diǎn)評(píng)： 計(jì)算平面區(qū)域的面積時(shí)，根據(jù)平面區(qū)域的形狀，先求出有關(guān)的交點(diǎn)坐標(biāo)、線段長(zhǎng)度， 最后根據(jù)相關(guān)圖形的面積公式進(jìn)行計(jì)算，如果是不規(guī)則圖形，則可通過(guò)割補(bǔ)法計(jì)算面積跟進(jìn)訓(xùn)練 1. 不等式組3a. 2c.43x

9、0， x 3y4， 3x y4所表示的平面區(qū)域的面積等于()b 23d 34c由題意得不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，4184a 0， b(1,1)， c(0,4)，則abc 的面積為× 1×故選 c.323 3.2. 若不等式組x y 0， 2x y 2， y 0，xy a表示的平面區(qū)域的形狀是三角形，則a 的取值范圍是()4a a 3b 0<a 144c 1 a 3d 0<a 1 或 a 3d作出不等式組x y 0，2x y 2， y 0表示的平面區(qū)域(如圖中陰影部分所示)由圖知，要使原不等式組表示的平面區(qū)域的形狀為三角形，只需動(dòng)直線l：x ya 在

10、 l 1，l2 之間(包含 l 2，不包含l1)或 l 3 上方 (包含 l3) 考點(diǎn)二求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題求線性目標(biāo)函數(shù)的最值求線性目標(biāo)函數(shù)(z ax by) 最值的一般步驟典例 2 1(1)(2019為()北·京高考 )若 x， y 滿足 |x |1 y，且 y 1，則 3x y 的最大值a 7b 1c 5d 7(2)(2020全·國(guó)卷 )若 x， y 滿足約束條件2x y 2 0， x y1 0， y 1 0則 z x 7y 的最大值為 (1)c(2) 1(1) 由題意x y 1 0， x y 1 0， y 1作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè) z 3x y， yz 3x

11、，當(dāng)直線l0 ：y z 3x 經(jīng)過(guò)點(diǎn) c(2， 1)時(shí)， z 取最大值5.故選c.(2)如圖，作出約束條件2x y 2 0 x y1 0 y 10所表示的可行域 易得 a 點(diǎn)的坐標(biāo)為a(1,0) ，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)a 點(diǎn)時(shí)， z 取得最大值，可得 z x 7y 的最大值為1 7× 0 1.點(diǎn)評(píng)： (1) 求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，倘若本例t(2) 目標(biāo)函數(shù)換成 z x 7y，則 zmax37× ( 1)17.22(2)解答本例t (1)時(shí)，首先把約束條件變?yōu)閤 y 1 0， xy 1 0， y 1，其次設(shè)目標(biāo)函數(shù)為z 3xy.求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值常見的兩種

12、非線性目標(biāo)函數(shù)及其意義典例 2 2實(shí)數(shù) x，y 滿足x y1 0， x 0， y 2.x(1) 若 zy，求 z 的最大值和最小值，并求z 的取值范圍；(2) 若 z x2 y2，求 z 的最大值與最小值，并求z 的取值范圍解由x y 1 0， x 0， y 2，作出可行域， 如圖中陰影部分所示y(1) z x表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率y因此x的范圍為直線ob 的斜率到直線oa 的斜率 (直線 oa 的斜率不存在，即zmax 不存在) x y 10，由y 2，得 b(1,2)，2所以 kob 12，即 zmin 2，所以 z 的取值范圍是2 ， )(2) z x2 y2 表示可行域

13、內(nèi)的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間距離的平方 因此 x2 y2 的最小值為oa2，最大值為ob2.x y 10，由x 0，得 a(0,1)，所以 oa2 (02 12)2 1， ob2 (12 22)2 5，所以 z 的取值范圍是1,5母題變遷 保持本例條件不變，(1) 求目標(biāo)函數(shù)zy 1的取值范圍；x 1(2)求目標(biāo)函數(shù)z x2 y22x 2y 3 的最值解(1)zy 1可以看作過(guò)點(diǎn)p(1,1)及(x，y)兩點(diǎn)的直線的斜率，所以z 的取值范圍是x 1( ， 0 (2)z x2 y2 2x2y 3(x1) 2 (y 1)2 1，而(x1) 2 (y 1)2 表示點(diǎn) p(1,1) 與 q(x， y)的距

14、離的平方pq2，pq2max(0 1)2(2 1)22，2min|1 1 1|pq12 ，12 1 22132所以 zmax 2 1 3， zmin 2 1 .點(diǎn)評(píng)： 求定點(diǎn)到區(qū)域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值時(shí)，要數(shù)形結(jié)合，可能轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題求參數(shù)的值或取值范圍求解線性規(guī)劃中含參問(wèn)題的兩種基本方法(1) 把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問(wèn)題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過(guò)構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或范圍(2) 先分離含有參數(shù)的式子，通過(guò)觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)典例 2 3(1) 若實(shí)數(shù) x，y 滿足不等式組x 3y3 0， 2x y

15、3 0， x my 1 0，其中 m 0，且 x y 的最大值為 9，則實(shí)數(shù)m .(2)(2020湖·南湘東六校聯(lián)考)若變量 x，y 滿足3x y 1 0，3x y 110， y 2，且 z ax y 的最小值為 1，則實(shí)數(shù)a 的值為 (1) 1(2)2(1) 不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，設(shè) z x y，則 y xz，當(dāng)直線y x z 經(jīng)過(guò)點(diǎn) a 時(shí)， x y 有最大值，此時(shí)x y9，由xy 9，得2x y 3 0a(4,5)，將 a(4,5) 代入 x my 1 0 得 4 5m 10，解得 m 1.(2) 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由圖知，若

16、a3，則直線z ax y 經(jīng)過(guò)點(diǎn) b(1,2)時(shí)， z 取得最小值，由a 2 1，得 a1，與 a 3 矛盾；若 0<a<3，則直線 zax y 經(jīng)過(guò)點(diǎn) a(2,5)時(shí)， z 取得最小值，由2a 5 1，解得 a 2；若 a 0，則直線z axy 經(jīng)過(guò)點(diǎn) a(2,5)或 c(3,2)時(shí)， z 取得最小值，此時(shí)2a 5 1或 3a 2 1，解得 a 2 或 a 1，與 a 0 矛盾，綜上可知實(shí)數(shù)3a 的值為 2.點(diǎn)評(píng)： 當(dāng)參數(shù)在目標(biāo)函數(shù)中時(shí)，應(yīng)把斜率值的大小對(duì)最優(yōu)解的影響作為解題突破口跟進(jìn)訓(xùn)練 1 (2019 ·全國(guó)卷 )若變量 x，y 滿足約束條件2x 3y 6 0，xy

17、3 0， y2 0，則 z 3x y 的最大值是 9 作出已知約束條件對(duì)應(yīng)的可行域(圖中陰影部分 )，由圖易知，當(dāng)直線y 3x z 過(guò)點(diǎn) c 時(shí)， z 最小，即z 最大x y 30，由2x 3y 6 0，x 3，解得y 0，即 c 點(diǎn)坐標(biāo)為 (3,0)，故 zmax 3× 3 0 9.2若實(shí)數(shù)x， y 滿足約束條件2x y 40，x 2y 20， x 1 0，則y 1 x的最小值為 32 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，因?yàn)閥1 x表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)p(0,1)連線的斜率由圖知，點(diǎn)p 與11y 1點(diǎn) a 1， 2 連線的斜率最小，所以xmin kpa 2 1.1

18、023133. 已知 x，y 滿足約束條件x y4 0， x 2， x yk 0，且 z x3y 的最小值為2，則常數(shù)k . 2 作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由 z x 3y 得 y 1x z，結(jié)合圖形可知當(dāng)直線y 1x333z3過(guò)點(diǎn) a 時(shí)， z 最小，此時(shí)x3y 2.x 2由x 3y 2得 a(2,0) ，又點(diǎn) a(2,0) 在直線 x yk 0 上，則 2 k 0，解得 k 2.考點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用解線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟典例 3(2017 ·天津高考 )電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時(shí)，需要播放廣告已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí)，連續(xù)劇

19、播放時(shí)長(zhǎng)、廣告播放時(shí)長(zhǎng)、收視人次如下表所示：連續(xù)連續(xù)劇播放劇時(shí)長(zhǎng) /分廣告播放時(shí)長(zhǎng)/分收視人次 /萬(wàn)人甲70560乙60525已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600 分鐘，廣告的總播放時(shí)間不少于30 分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2 倍 分別用 x，y 表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)(1) 用 x，y 列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2) 問(wèn)電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？ 解(1)由已知， x， y 滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為70x 60y600，7x6y 60，5x 5y 30， x 2y， x0， xn，y0， yn，即x y6， x 2y 0， x 0，xn，y 0，yn，該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分中的整數(shù)點(diǎn)(2)設(shè)總收視人次為z 萬(wàn)人，則目標(biāo)函數(shù)為z 60x25y.12z12考慮 z 60x25y，將它變形為y5 x 25，這是斜率為5 ，隨 z 變化的一組平行直線 .z為直線在y 軸上的截距，當(dāng)z取得最大值時(shí)，z 的值就最大2525又因?yàn)?x， y 滿足約束條件，所以由圖可知，當(dāng)直線z 60