彈性力學章課后習題解答方喻飛

1、彈性力學簡明教程（第四版）1-3章課后習題解答徐芝綸第一章 緒論【1-1】試舉例說明什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體？【分析】均勻的各項異形體就是滿足均勻性假定，但不滿足各向同性假定；非均勻的各向異性體，就是不滿足均勻性假定，但滿足各向同性假定。【解答】均勻的各項異形體如：竹材，木材。 非均勻的各向同性體如：混凝土。【1-2】一般的混凝土構件和鋼筋混凝土構件能否作為理想彈性體？一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？【分析】能否作為理想彈性體，要判定能否滿足四個假定：連續(xù)性，完全彈性，均勻性，各向同性假定。【解答】一般的混凝土構件和土質(zhì)地基可以作為理想彈性體；一般的鋼筋混凝

2、土構件和巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體?！?-3】五個基本假定在建立彈性力學基本方程時有什么作用？【解答】（1）連續(xù)性假定：假定物體是連續(xù)的，也就是假定整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。引用這一假定后，物體的應力、形變和位移等物理量就可以看成是連續(xù)的。因此，建立彈性力學的基本方程時就可以用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。完全彈性假定：假定物體是完全彈性的，即物體在對應形變的外力被去除后，能夠完全恢復原型而無任何形變。這一假定，還包含形變與引起形變的應力成正比的涵義，亦即兩者之間是成線性關系的，即引用這一假定后，應力與形變服從胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程，其

3、彈性常數(shù)不隨應力或形變的大小而變。均勻性假定：假定物體是均勻的，即整個物體是由同一材料組成的，引用這一假定后整個物體的所有各部分才具有相同的彈性，所研究物體的內(nèi)部各質(zhì)點的物理性質(zhì)都是相同的，因而物體的彈性常數(shù)不隨位置坐標而變化。各向同性假定：假定物體是各向同性的，即物體的彈性在所有各個方向都相同，引用此假定后，物體的彈性常數(shù)不隨方向而變。小變形假定：假定位移和變形是微小的。亦即，假定物體受力以后整個物體所有各點的位移都遠遠小于物體原來的尺寸，而且應變和轉角都遠小于1。這樣在建立物體變形以后的平衡方程時，就可以方便的用變形以前的尺寸來代替變形以后的尺寸。在考察物體的位移與形變的關系時，它們的二次

4、冪或乘積相對于其本身都可以略去不計，使得彈性力學中的微分方程都簡化為線性的微分方程?！?-4】應力和面力的符號規(guī)定有什么區(qū)別？試畫出正坐標面和負坐標面上的正的應力和正的面力的方向。【解答】應力的符號規(guī)定是：當作用面的外法線方向指向坐標軸方向時（即正面時），這個面上的應力（不論是正應力還是切應力）以沿坐標軸的正方向為正，沿坐標軸的負方向為負。當作用面的外法線指向坐標軸的負方向時（即負面時），該面上的應力以沿坐標軸的負方向為正，沿坐標軸的正方向為負。面力的符號規(guī)定是：當面力的指向沿坐標軸的正方向時為正，沿坐標軸的負方向為負。由下圖可以看出，正面上應力分量與面力分量同號，負面上應力分量與面力分量符號

5、相反。 正的應力正的面力【1-5】試比較彈性力學和材料力學中關于切應力的符號規(guī)定。【解答】材料力學中規(guī)定切應力符號以使研究對象順時針轉動的切應力為正，反之為負。彈性力學中規(guī)定，作用于正坐標面上的切應力以沿坐標軸的正方向為正，作用于負坐標面上的切應力以沿坐標軸負方向為正，反之為負。【1-6】試舉例說明正的應力對應于正的形變。【解答】正的應力包括正的正應力與正的切應力，正的形變包括正的正應變與正的切應變，本題應從兩方面解答。正的正應力對應于正的正應變：軸向拉伸情況下，產(chǎn)生軸向拉應力為正的應力，引起軸向伸長變形，為正的應變。正的切應力對應于正的切應變：在如圖所示應力狀態(tài)情況下，切應力均為正的切應力，

6、引起直角減小，故為正的切應變?！?-7】試畫出圖1-4中矩形薄板的正的體力、面力和應力的方向?！窘獯稹?正的體力、面力正的體力、應力【1-8】試畫出圖1-5中三角形薄板的正的面力和體力的方向?！窘獯稹俊?-9】在圖1-3的六面體上，y面上切應力的合力與z面上切應力的合力是否相等？【解答】切應力為單位面上的力，量綱為，單位為。因此，應力的合力應乘以相應的面積，設六面體微元尺寸如dx×dy×dz，則y面上切應力的合力為： (a) z面上切應力的合力為： (b)由式（a）(b)可見，兩個切應力的合力并不相等。【分析】作用在兩個相互垂直面上并垂直于該兩面交線的切應力的合力不相等，但

7、對某點的合力矩相等，才導出切應力互等性。40第二章 平面問題的基本理論【2-1】試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中(圖2-14)其應力狀態(tài)接近于平面應力的情況。【解答】在不受任何面力作用的空間表面附近的薄層中，可以認為在該薄層的上下表面都無面力，且在薄層內(nèi)所有各點都有，只存在平面應力分量，且它們不沿z方向變化，僅為x，y的函數(shù)?？梢哉J為此問題是平面應力問題。【2-2】試分析說明，在板面上處處受法向約束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15），當板邊上只受x，y向的面力或約束，且不沿厚度變化時，其應變狀態(tài)接近于平面應變的情況?！窘獯稹堪迳咸幪幨芊ㄏ蚣s束時，且不受切向面力作

8、用，則(相應)板邊上只受x，y向的面力或約束，所以僅存在，且不沿厚度變化，僅為x，y的函數(shù)，故其應變狀態(tài)接近于平面應變的情況?！?-3】在圖2-3的微分體中，若將對形心的力矩平很條件改為對角點的力矩平衡條件，試問將導出什么形式的方程？【解答】將對形心的力矩平衡條件，改為分別對四個角點A、B、D、E的平衡條件，為計算方便，在z方向的尺寸取為單位1。 (a) (b) (c) (d)略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三階小量（亦即令都趨于0），并將各式都除以后合并同類項，分別得到?！痉治觥坑杀绢}可得出結論：微分體對任一點取力矩平衡得到的結果都是驗證了切應力互等定理?！?-4】在圖2-3和微分體中

9、，若考慮每一面上的應力分量不是均勻分布的，驗證將導出什么形式的平衡微分方程？【解答】微分單元體ABCD的邊長都是微量，因此可以假設在各面上所受的應力如圖a所示，忽略了二階以上的高階微量，而看作是線性分布的，如圖（b）所示。為計算方便，單元體在z方向的尺寸取為一個單位。 (a) (b)各點正應力：； ；各點切應力：；由微分單元體的平衡條件得以上二式分別展開并約簡，再分別除以，就得到平面問題中的平衡微分方程：【分析】由本題可以得出結論：彈性力學中的平衡微分方程適用于任意的應力分布形式。【2-5】在導出平面問題的三套基本方程時，分別應用了哪些基本假定？這些方程的適用條件是什么？【解答】(1)在導出平

10、面問題的平衡微分方程和幾何方程時應用的基本假設是：物體的連續(xù)性和小變形假定，這兩個條件同時也是這兩套方程的適用條件。(2)在導出平面問題的物理方程時應用的基本假定是：連續(xù)性，完全彈性，均勻性和各向同性假定，即理想彈性體假定。同樣，理想彈性體的四個假定也是物理方程的使用條件?！舅伎碱}】平面問題的三套基本方程推導過程中都用到了哪個假定？【2-6】在工地上技術人員發(fā)現(xiàn)，當直徑和厚度相同的情況下，在自重作用下的鋼圓環(huán)（接近平面應力問題）總比鋼圓筒（接近平面應變問題）的變形大。試根據(jù)相應的物理方程來解釋這種現(xiàn)象。【解答】體力相同情況下，兩類平面問題的平衡微分方程完全相同，故所求的應力分量相同。由物理方程

11、可以看出，兩類平面問題的物理方程主要的區(qū)別在于方程中含彈性常數(shù)的系數(shù)。由于E為GPa級別的量，而泊松比取值一般在（0，0.5），故主要控制參數(shù)為含有彈性模量的系數(shù)項，比較兩類平面問題的系數(shù)項，不難看出平面應力問題的系數(shù)要大于平面應變問題的系數(shù)。因此，平面應力問題情況下應變要大，故鋼圓環(huán)變形大。【2-7】在常體力，全部為應力邊界條件和單連體的條件下，對于不同材料的問題和兩類平面問題的應力分量，和均相同。試問其余的應力，應變和位移是否相同？【解答】(1)應力分量：兩類平面問題的應力分量，和均相同，但平面應力問題，而平面應變問題的。（2）應變分量：已知應力分量求應變分量需要應用物理方程，而兩類平面問

12、題的物理方程不相同，故應變分量相同，而不相同。（3）位移分量：由于位移分量要靠應變分量積分來求解，故位移分量對于兩類平面問題也不同。【2-8】在圖2-16中，試導出無面力作用時AB邊界上的之間的關系式【解答】由題可得： 將以上條件代入公式（2-15），得：【2-9】試列出圖2-17，圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件。圖2-17 圖2-18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個積分形式，大邊界上應精確滿足公式（2-15）?！窘獯稹繄D2-17：上（y=0）左(x=0)右（x=b）0-11-1000

13、00代入公式（2-15）得在主要邊界上x=0，x=b上精確滿足應力邊界條件：在小邊界上，能精確滿足下列應力邊界條件：在小邊界上，能精確滿足下列位移邊界條件：這兩個位移邊界條件可以應用圣維南原理，改用三個積分的應力邊界條件來代替，當板厚時，可求得固定端約束反力分別為：由于為正面，故應力分量與面力分量同號，則有：圖2-18上下主要邊界y=-h/2，y=h/2上，應精確滿足公式（2-15）(s)(s)0-1001-0，在=0的小邊界上，應用圣維南原理，列出三個積分的應力邊界條件：負面上應力與面力符號相反，有在x=l的小邊界上，可應用位移邊界條件這兩個位移邊界條件也可改用三個積分的應力邊界條件來代替。

14、首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設畫反力，如圖所示，列平衡方程求反力：由于x=l為正面，應力分量與面力分量同號，故【2-10】試應用圣維南原理，列出圖2-19所示的兩個問題中OA邊上的三個積分的應力邊界條件，并比較兩者的面力是否是是靜力等效？【解答】由于，OA為小邊界，故其上可用圣維南原理，寫出三個積分的應力邊界條件：(a)上端面OA面上面力由于OA面為負面，故應力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號相反，有(對OA中點取矩)()應用圣維南原理，負面上的應力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號相反，面力主矢y向為正，主矩為負，則綜上所述，在小邊界OA上，兩個問題的三個積分的應力邊界條件相同，故這兩個

15、問題是靜力等效的?！?-11】檢驗平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程式（2-18）；（2）在上用位移表示的應力邊界條件式（2-19）；（3）在上的位移邊界條件式（2-14）；對于平面應變問題，需將E、作相應的變換?！痉治觥看藛栴}同時也是按位移求解平面應力問題時，位移分量必須滿足的條件?！?-12】檢驗平面問題中的應力分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域A內(nèi)的平衡微分方程式（2-2）；（2）在區(qū)域A內(nèi)用應力表示的相容方程式（2-21）或（2-22）； （3）在邊界上的應力邊界條件式（2-15），其中假設只求解全部為應力邊

16、界條件的問題；（4）對于多連體，還需滿足位移單值條件?！痉治觥看藛栴}同時也是按應力求解平面問題時，應力分量必須滿足的條件?！狙a題】檢驗平面問題中的應變分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】用應變表示的相容方程式（2-20）【2-13】檢驗平面問題中的應力函數(shù)是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域A內(nèi)用應力函數(shù)表示的相容方程式（2-25）；（2）在邊界S上的應力邊界條件式（2-15），假設全部為應力邊界條件；（3）若為多連體，還需滿足位移單值條件?！痉治觥看藛栴}同時也是求解應力函數(shù)的條件?！?-14】檢驗下列應力分量是否是圖示問題的解答： 圖2-20 圖2-21（a）圖2-20，。【

17、解答】在單連體中檢驗應力分量是否是圖示問題的解答，必須滿足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用應力表示的相容方程（2-21）；（3）應力邊界條件（2-15）。（1）將應力分量代入平衡微分方程式，且 顯然滿足（2）將應力分量代入用應力表示的相容方程式（2-21），有等式左=右應力分量不滿足相容方程。因此，該組應力分量不是圖示問題的解答。（b）圖2-21，由材料力學公式，(取梁的厚度b=1)，得出所示問題的解答:，。又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出：。試導出上述公式，并檢驗解答的正確性?！窘獯稹浚?）推導公式在分布荷載作用下，梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1，高為h的矩形，其對中性軸（Z軸）

18、的慣性矩，應用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程。所以截面內(nèi)任意點的正應力和切應力分別為：。根據(jù)平衡微分方程第二式（體力不計）。得： 根據(jù)邊界條件得 故 將應力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式： 滿足第二式 自然滿足將應力分量代入相容方程（2-23）應力分量不滿足相容方程。故，該分量組分量不是圖示問題的解答。【2-15】試證明：在發(fā)生最大與最小切應力的面上，正應力的數(shù)值都等于兩個主應力的平均值?！窘獯稹浚?）確定最大最小切應力發(fā)生位置任意斜面上的切應力為，用關系式消去m，得由上式可見當時，即時，為最大或最小，為 。因此，切應力的最大，最小值發(fā)生在與x軸及y軸（即應力主向）成45

19、76;的斜面上。（2）求最大，最小切應力作用面上，正應力的值任一斜面上的正應力為最大、最小切應力作用面上，帶入上式，得證畢。【2-16】設已求得一點處的應力分量，試求【解答】由公式（2-6）及，得(a) (b) (c) (d) 【2-17】設有任意形狀的等候厚度薄板，體力可以不計，在全部邊界上（包括孔口邊界上）受有均勻壓力q。試證及能滿足平衡微分方程、相容方程和應力邊界條件，也能滿足位移單值條件，因而就是正確的解答?！窘獯稹浚?）將應力分量，和體力分量分別帶入平衡微分方程、相容方程 （a） （b）顯然滿足（a）（b）（2）對于微小的三角板A，dx，dy都為正值，斜邊上的方向余弦，將，代入平面問

20、題的應力邊界條件的表達式（2-15），且，則有所以。對于單連體，上述條件就是確定應力的全部條件。（3）對于多連體，應校核位移單值條件是否滿足。該題為平面應力情況，首先，將應力分量代入物理方程（2-12），得形變分量， （d）將（d）式中形變分量代入幾何方程（2-8），得 （e）前兩式積分得到 （f）其中分別任意的待定函數(shù)，可以通過幾何方程的第三式求出，將式（f）代入式（e）的第三式，得等式左邊只是y的函數(shù)，而等式右邊只是x的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一個常數(shù)，于是有積分后得代入式（f）得位移分量 （g）其中為表示剛體位移量的常數(shù)，需由約束條件求得從式（g）可見，位移是坐標的單值連續(xù)函數(shù)，滿

21、足位移單值條件。因而，應力分量是正確的解答?！?-18】設有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F（圖2-22），體力可以不計。試根據(jù)材料力學公式，寫出彎應力，然后證明這些表達式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明這些表達式是否就表示正確的解答。【解答】（1）矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程，橫截面對中性軸的慣性矩為，根據(jù)材料力學公式彎應力；該截面上的剪力為，剪應力為取擠壓應力（2）將應力分量代入平衡微分方程檢驗第一式： 第二式：左=0+0=0=右該應力分量滿足平衡微分方程。（3）將應力分量代入應力表示的相容方程 滿足相容方程（4）考察邊界條件在主要邊界上，應精確滿足應力邊界條件

22、(2-15) 0-1000100代入公式（2-15），得在次要邊界x=0上，列出三個積分的應力邊界條件，代入應力分量主矢主矩滿足應力邊界條件在次要邊界上，首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設，即面力的主矢、主矩，其次，將應力分量代入應力主矢、主矩表達式，判斷是否與面力主矢與主矩等效： 滿足應力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答。【2-19】試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為，其中V是勢函數(shù)，則應力分量亦可用應力函數(shù)表示成為，試導出相應的相容方程。【解答】（1）將帶入平衡微分方程（2-2） （a）將（a）式變換為 （b）為了滿足式（b），可以取即（2）對體

23、力、應力分量求偏導數(shù)，得 （c）將（c）式代入公式（2-21）得平面應力情況下應力函數(shù)表示的相容方程 （2-21）整理得： （d）即平面應力問題中的相容方程為將（c）式代入公式（2-22）或將（d）式中的替換為，的平面應變情況下的相容方程： （e）即 。證畢。第三章 平面問題的直角坐標解答【3-1】為什么在主要邊界（大邊界）上必須滿足精確的應力邊界條件式（2-15），而在小邊界上可以應用圣維南原理，用三個積分的應力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替？如果在主要邊界上用三個積分的應力邊界條件代替式（2-15），將會發(fā)生什么問題？【解答】彈性力學問題屬于數(shù)學物理方程中的邊值問題，而要使邊界條件

24、完全得到滿足，往往比較困難。這時，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應力分布，對遠處的應力影響可以忽略不計。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個積分的應力邊界條件來代替精確的應力邊界條件（公式2-15），就會影響大部分區(qū)域的應力分布，會使問題的解答精度不足。【3-2】如果在某一應力邊界問題中，除了一個小邊界條件，平衡微分方程和其它的應力邊界條件都已滿足，試證：在最后的這個小邊界上，三個積分的應力邊界條件必然是自然滿足的，固而可以不必校核?！窘獯稹繀^(qū)域內(nèi)的每一微小單元均滿足平衡條件

25、，應力邊界條件實質(zhì)上是邊界上微分體的平衡條件，即外力（面力）與內(nèi)力（應力）的平衡條件。研究對象整體的外力是滿足平衡條件的，其它應力邊界條件也都滿足，那么在最后的這個次要邊界上，三個積分的應力邊界條件是自然滿足的,因而可以不必校核。【3-3】如果某一應力邊界問題中有m個主要邊界和n個小邊界，試問在主要邊界和小邊界上各應滿足什么類型的應力邊界條件，各有幾個條件？【解答】在m個主要邊界上，每個邊界應有2個精確的應力邊界條件，公式（2-15），共2m個；在n個次要邊界上，如果能滿足精確應力邊界條件，則有2n個；如果不能滿足公式（2-15）的精確應力邊界條件，則可以用三個靜力等效的積分邊界條件來代替2個

26、精確應力邊界條件，共3n個?！?-4】試考察應力函數(shù)在圖3-8所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題(體力不計)? 【解答】相容條件:不論系數(shù)a取何值，應力函數(shù)總能滿足應力函數(shù)表示的相容方程，式(2-25).求應力分量當體力不計時，將應力函數(shù)代入公式(2-24)，得考察邊界條件上下邊界上應力分量均為零，故上下邊界上無面力.左右邊界上；當a>0時，考察分布情況，注意到，故y向無面力左端: 右端: 應力分布如圖所示，當時應用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩A主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。偏心距e：因為在A點的應力為零。設板寬為b，集中荷載p的偏心距

27、e：同理可知，當<0時，可以解決偏心壓縮問題。【3-5】取滿足相容方程的應力函數(shù)為：試求出應力分量（不計體力），畫出圖3-9所示彈性體邊界上的面力分布，并在小邊界上表示出面力的主矢量和主矩?！窘獯稹浚?）由應力函數(shù)，得應力分量表達式考察邊界條件，由公式（2-15）主要邊界，上邊界上，面力為 主要邊界，下邊界，面力為 次要邊界，左邊界x=0上，面力的主矢，主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：次要邊界，右邊界x=l上，面力的主矢，主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，主矩如圖所示將應力函數(shù)代入公式（2-24），得應力分量表達式，考察應力邊界條件，主要邊界,

28、由公式（2-15）得在主要邊界，上邊界上，面力為在，下邊界上，面力為在次要邊界上，分布面力可按(2-15)計算，面里的主矢、主矩可通過三個積分邊界條件求得：在左邊界x=0，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢：y向主矢：主矩；在右邊界x=l上，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：彈性體邊界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如圖所示（3）將應力函數(shù)代入公式（2-24），得應力分量表達式考察應力邊界條件，在主要邊界上應精確滿足式（2-15）次要邊界上，分布面力可按（2-15）計算，面力的主矢、主矩可通過三個積分邊界求得：左邊界x=0上，面力分布為右邊界上，面力分布為面力的主矢

29、、主矩為x向主矢y向主矢：主矩：彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主矢和主矩，如圖所示【3-6】試考察應力函數(shù)，能滿足相容方程，并求出應力分量（不計體力），畫出圖3-9所示矩形體邊界上的面力分布（在小邊界上畫出面力的主矢量和主矩），指出該應力函數(shù)能解決的問題。【解答】（1）將應力函數(shù)代入相容方程（2-25），顯然滿足（2）將代入式（2-24），得應力分量表達式（3）由邊界形狀及應力分量反推邊界上的面力：在主要邊界上（上下邊界）上，應精確滿足應力邊界條件式（2-15），應力因此，在主要邊界上，無任何面力，即在x=0，x=l的次要邊界上，面力分別為：因此，各邊界上的面力分布如圖所示：在x=

30、0，x=l的次要邊界上，面力可寫成主矢、主矩形式：x=0上 x=l上 因此，可以畫出主要邊界上的面力，和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖：(a) (b)因此，該應力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F作用的問題?！?-7】試證能滿足相容方程，并考察它在圖3-9所示矩形板和坐標系中能解決什么問題（設矩形板的長度為l，深度為h，體力不計）。【解答】(1)將應力函數(shù)代入式（2-25），代入（2-25），可知應力函數(shù)滿足相容方程。（2）將代入公式（2-24），求應力分量表達式:(3)考察邊界條件，由應力分量及邊界形狀反推面力：在主要邊界（上面），應精確滿足應力邊界條件（2-15）應用圣維南原理，可寫成三

31、個積分的應力邊界條件:在次要邊界上，分布面力為應用圣維南原理，可寫成三個積分的應力邊界條件:綜上，可畫出主要邊界上的面力分布和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖 (a) (b)因此，此應力函數(shù)能解決懸臂梁在上邊界受向下均布荷載q的問題。【3-8】設有矩形截面的長豎柱，密度為，在一邊側面上受均布剪力q（圖3-10），試求應力分量?！窘獯稹坎捎冒肽娣ㄇ蠼狻Ｓ刹牧狭W解答假設應力分量的函數(shù)形式。(1)假定應力分量的函數(shù)形式。根據(jù)材料力學，彎曲應力主要與截面的彎矩有關，剪應力主要與截面的剪力有關，而擠壓應力主要與橫向荷載有關，本題橫向荷載為零，則(2)推求應力函數(shù)的形式將，體力，代入公式（2-24）有對

32、y積分，得 （a） （b）其中都是x的待定函數(shù)。（3）由相容方程求解應力函數(shù)。將（b）式代入相容方程（2-25），得 （c）在區(qū)域內(nèi)應力函數(shù)必須滿足相容方程，（c）式為y的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多個根（全豎柱內(nèi)的y值都應滿足它），可見其系數(shù)與自由項都必須為零，即兩個方程要求 （d）中的常數(shù)項，中的常數(shù)項和一次項已被略去，因為這三項在的表達式中成為y的一次項及常數(shù)項，不影響應力分量。將（d）式代入（b）式，得應力函數(shù) （e）（4）由應力函數(shù)求應力分量 （f） (g) (h)(5)考察邊界條件利用邊界條件確定待定系數(shù)A、B、C、D、E。主要邊界上（左）：將（f），（h）代入，自然滿足 （i

33、）主要邊界上，自然滿足，將（h）式代入，得 （j）在次要邊界上，應用圣維南原理，寫出三個積分的應力邊界條件： （k） （l） （m）由式（i），(j)，（k），（l），（m）聯(lián)立求得代入公式（g），(h)得應力分量【3-9】圖3-11所示的墻，高度為h，寬度為b，在兩側面上受到均布剪力q的作用，試應用應力函數(shù)求解應力分量?！窘獯稹堪窗肽娼夥ㄇ蠼?。將應力函數(shù)代入相容方程（2-25）顯然滿足。由公式（2-24）求應力分量表達式，體力為零，有，考察邊界條件：在主要邊界上，精確滿足公式（2-15）第一式自然滿足，第二式為 (a)在主要邊界x=b/2上，精確滿足式(2-15)第一式自然滿足，第二式為 (

34、b)在次要邊界y=0上，可用圣維南原理，寫出三個積分的應力邊界條件: 滿足 滿足 （c）聯(lián)立（a）（c）得系數(shù)代入應力分量表達式，得【3-10】設單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體力可以不計，（圖3-12），試用應力函數(shù)求解應力分量?！窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼猓?）將應力函數(shù)代入相容方程（2-25），顯然滿足（2）由應力函數(shù)求應力分量，代入公式(2-24) (a)(3)考察邊界條件主要邊界上，應精確滿足應力邊界條件， 滿足 得 （b）在次要邊界x=0上，應用圣維南原理，寫出三個積分的應力邊界條件 （c）聯(lián)立方程（b）（c）得最后一個次要邊界上，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條

35、件下是必然滿足的，故不必在校核。將系數(shù)A、B、C、D代入公式（a），得應力分量【3-11】設圖3-13中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)问降膽瘮?shù)求解?！窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼?1) 檢驗應力函數(shù)是否滿足相容方程（2-25）設應力函數(shù)，不論上式中的系數(shù)如何取值，純?nèi)问降膽瘮?shù)總能滿足相容方程（2-25）(2) 由式（2-24）求應力分量由體力分量，將應力函數(shù)代入公式（2-24）得應力分量： （a） （b） （c）（3）考察邊界條件：由應力邊界條件確定待定系數(shù)。對于主要邊界，其應力邊界條件為：， （d）將式（d）代入式（b），（c），可得 （e）對于主要邊界（斜面上），

36、應力邊界條件：在斜面上沒有面力作用，即，該斜面外法線方向余弦為，.由公式（2-15），得應力邊界條件 （f）將式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得 （g）將式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得應力分量表達式：【分析】本題題目已經(jīng)給定應力函數(shù)的函數(shù)形式，事實上，也可通過量綱分析法確定應力函數(shù)的形式。按量綱分析法確定應力函數(shù)的形式：三角形懸臂梁內(nèi)任何一點的應力與有關。由于應力分量的量綱是，而的量綱是，的量綱是，又是量綱的數(shù)量，因此，應力分量的表達式只可能是的純一項式，即應力分量的表達式只可能是這兩種項的結合，其中A，B是量綱一的量，只與有關。應力函數(shù)又比應力分量的長度

37、量綱高二次，即為和的純?nèi)问?，故可假設應力函數(shù)的形式為?！?-12】設圖3-5中簡支梁只受重力作用，而梁的密度為，試用§3-4中的應力函數(shù)（e）求解應力分量，并畫出截面上的應力分布圖。【分析】與§3-4節(jié)例題相比，本題多了體力分量。去除了上邊界的面力。依據(jù)§3-4，應力分量的函數(shù)形式是由材料力學解答假設的。【解答】按半逆解法求解。（1）由§3-4可知應力函數(shù)的函數(shù)形式為 ，由§3-4可知，必然滿足相容方程（2-25）。（2）應力分量的表達式： （a） （b） （c） 【注】項多了-這些應力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。因此，如果能夠適當選

38、擇常數(shù)，使所有的邊界條件都被滿足，則應力分量式（a）、（b）、（c）就是正確的解答。（3）考慮對稱性因為面是梁和荷載的對稱面，所以應力分布應當對稱于面。這樣是的偶函數(shù)，而是的奇函數(shù)，于是由式（a）和式（c）可見 （d）（4）考察邊界條件：在主要邊界上，應精確滿足應力邊界條件（2-15），將應力分量式（b）、（c）代入，并注意到，可得：聯(lián)立此四個方程，得： （e）將式（d）、（e）代入式（a）、（b）、（c） （f） （g） （h）考察次要邊界條件由于問題的對稱性，只需考慮其中的一邊，如右邊。右邊界上，不論取任何值，都有。由（f）式可見，這是不可能的，除非均為零。因此，只能用應力的主矢、主矩為零

39、，即 （i） （j）將（f）式代入式（i）得積分后得 K=0 （k）將式（f）代入式（i），得積分后得 （l）將（k）、（l）代入式（f），得 （m）考察右邊界上切應力分量的邊界條件：右邊界上，則的主矢為可知滿足應力邊界條件。將式（g），（h），（m）略加整理，得應力分量的最后解答： (n)（5）應力分量及應力分布圖梁截面的寬度取為1個單位，則慣性矩，靜矩是。根據(jù)材料力學截面法可求得截面的內(nèi)力，可知梁橫截面上的彎矩方程和剪力方程分別為則式（n）可寫成： 【分析】比較彈性力學解答與材料力學解答，可知，只有切應力完全相同，正應力中的第一項與材料力學結果相同，第二項為彈性力學提出的修正項；表示縱向纖維間的擠壓應力，而材料力學假設為零。對于l>>h的淺梁，修正項很小，可忽略不計?！?-13】圖3-14所示的懸臂梁，長度為，高度為，在上邊界受均布荷載，試檢驗應力函數(shù)能否成為此問題的解