高中數(shù)學(xué)必修二第十章 10.2

1、1 / 16 10.2 事件事件的相互獨(dú)立性的相互獨(dú)立性 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.在具體情境中，了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念.2.能利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 知識(shí)點(diǎn)一 相互獨(dú)立事件的概念 對(duì)任意兩個(gè)事件 a 與 b，如果 p(ab)p(a)p(b)成立，則稱(chēng)事件 a 與事件 b 相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立. 知識(shí)點(diǎn)二 相互獨(dú)立事件的性質(zhì) 如果事件 a與 b 相互獨(dú)立，那么 a 與 b ， a 與 b， a 與 b 也都相互獨(dú)立. 1.不可能事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立.( ) 2.必然事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立.( ) 3.“p(ab)p(a) p(b)”是“事件 a，b 相互獨(dú)立

2、”的充要條件.( ) 4.如果兩個(gè)事件相互獨(dú)立，則它們的對(duì)立事件也是相互獨(dú)立的.( ) 一、事件獨(dú)立性的判斷 例 1 判斷下列事件是否為相互獨(dú)立事件. (1)甲組 3 名男生，2名女生；乙組 2 名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組各選 1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出 1名男生”與“從乙組中選出 1名女生”. (2)容器內(nèi)盛有 5 個(gè)白乒乓球和 3 個(gè)黃乒乓球，“從 8 個(gè)球中任意取出 1 個(gè)，取出的是白球”與“從剩下的 7 個(gè)球中任意取出 1個(gè)，取出的還是白球”. 解 (1)“從甲組中選出 1 名男生”這一事件是否發(fā)生，對(duì)“從乙組中選出 1 名女生”這一 2 / 16 事件是否發(fā)生沒(méi)有影響

3、，所以它們是相互獨(dú)立事件. (2)“從 8 個(gè)球中任意取出 1 個(gè)，取出的是白球”的概率為58，若這一事件發(fā)生了，則“從剩下的 7 個(gè)球中任意取出 1 個(gè)，取出的仍是白球”的概率為47；若前一事件沒(méi)有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為57，可見(jiàn)，前一事件是否發(fā)生，對(duì)后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者不是相互獨(dú)立事件. 反思感悟 兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的判斷 (1)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響. (2)公式法：若 p(ab)p(a) p(b)，則事件 a，b 為相互獨(dú)立事件. 跟蹤訓(xùn)練 1 分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件 a 是“第一枚為正面”，事件 b 是“第二枚為正面

4、”，事件 c 是“兩枚結(jié)果相同”，則下列事件具有相互獨(dú)立性的是_.(填序號(hào)) a，b；a，c；b，c. 答案 解析 根據(jù)事件相互獨(dú)立性的定義判斷，只要 p(ab)p(a)p(b)，p(ac)p(a)p(c)，p(bc)p(b)p(c)成立即可. 利用古典概型概率公式計(jì)算可得 p(a)0.5，p(b)0.5，p(c)0.5，p(ab)0.25，p(ac)0.25，p(bc)0.25. 可以驗(yàn)證 p(ab)p(a)p(b)，p(ac)p(a)p(c)，p(bc)p(b)p(c). 所以根據(jù)事件相互獨(dú)立的定義，事件 a與 b 相互獨(dú)立，事件 b 與 c相互獨(dú)立，事件 a與 c相互獨(dú)立. 二、相互獨(dú)立

5、事件概率的計(jì)算 例 2 根據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，某地車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為 0.5，購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)的概率為 0.6，購(gòu)買(mǎi)甲、乙保險(xiǎn)相互獨(dú)立，各車(chē)主間相互獨(dú)立. (1)求一位車(chē)主同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)的概率； 3 / 16 (2)求一位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率. 解 記 a 表示事件“購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)”，b 表示事件“購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)”，則由題意得 a 與b，a 與 b ， a 與 b， b 與 a 都是相互獨(dú)立事件，且 p(a)0.5，p(b)0.6. (1)記 c 表示事件“同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)”， 則 cab，所以 p(c)p(ab)p(a) p(b)0.50.60.3. (2)記 d 表示

6、事件“購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)”， 則 d a b，所以 p(d)p( a b)p( a ) p(b)(10.5)0.60.3. 延伸探究 本例中車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的一種的概率是多少？ 解 記 e 表示事件“至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的一種”， 方法一 則事件 e 包括 a b，a b ，ab，且它們彼此為互斥事件. 所以 p(e)p( a ba b ab)p( a b)p(a b )p(ab)0.50.60.50.40.50.60.8. 方法二 事件“至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的一種”與事件“甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)”為對(duì)立事件. 所以 p(e)1p( a b )1(10.5)(10

7、.6)0.8. 反思感悟 (1)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟 首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的. 求出每個(gè)事件的概率，再求積. (2)使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的. 跟蹤訓(xùn)練 2 甲、乙兩人破譯一密碼，他們能破譯的概率分別為13和14，兩人能否破譯密碼相互獨(dú)立，求兩人破譯時(shí)，以下事件發(fā)生的概率： (1)兩人都能破譯的概率； 4 / 16 (2)恰有一人能破譯的概率； (3)至多有一人能破譯的概率. 解 記事件 a 為“甲獨(dú)立地破譯出密碼”，事件 b為“乙獨(dú)立地破譯出密碼”. (1)兩個(gè)人都破譯出密碼的概率為 p(ab)p(a)p(b

8、)1314112. (2)恰有一人破譯出密碼分為兩類(lèi)：甲破譯出乙破譯不出，乙破譯出甲破譯不出，即 a b a b， p(a b a b)p(a b )p( a b) p(a)p( b )p( a )p(b) 1311411314512. (3)至多有一人破譯出密碼的對(duì)立事件是兩人都破譯出密碼， 其概率為 1p(ab)11121112. 三、相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用 例 3 計(jì)算機(jī)考試分理論考試與實(shí)際操作兩部分進(jìn)行，每部分考試成績(jī)只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計(jì)算機(jī)考試“合格”，并頒發(fā)合格證書(shū).甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為45，34，23，在實(shí)際操作考試

9、中“合格”的概率依次為12，23，56，所有考試是否合格相互之間沒(méi)有影響. (1)假設(shè)甲、乙、丙三人同時(shí)進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試，誰(shuí)獲得合格證書(shū)的可能性最大？ (2)這三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后，求恰有兩人獲得合格證書(shū)的概率. 解 (1)記“甲獲得合格證書(shū)”為事件 a，“乙獲得合格證書(shū)”為事件 b，“丙獲得合格證書(shū)”為事件 c，則 5 / 16 p(a)451225， p(b)342312， p(c)235659. 因?yàn)?p(c)p(b)p(a)，所以丙獲得合格證書(shū)的可能性最大. (2)設(shè)“三人考試后恰有兩人獲得合格證書(shū)”為事件 d， 由題易知三人是否獲得合格證書(shū)相互獨(dú)立，則 p(d)

10、p(ab c )p(a b c)p( a bc) 2512492512593512591130. 反思感悟 求較復(fù)雜事件的概率的一般步驟如下 (1)列出題中涉及的各個(gè)事件，并且用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示. (2)理清事件之間的關(guān)系(兩個(gè)事件是互斥還是對(duì)立，或者是相互獨(dú)立的)，列出關(guān)系式. (3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算. (4)當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時(shí)，可先間接地計(jì)算其對(duì)立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率. 跟蹤訓(xùn)練 3 三個(gè)元件 t1，t2，t3正常工作的概率分別為12，34，34，將它們中某兩個(gè)元件并聯(lián)后再和第三個(gè)元件串聯(lián)接入電路，它們是否正常工作相互獨(dú)立.在如

11、圖所示的電路中，電路不發(fā)生故障的概率是多少？ 解 記 t1正常工作為事件 a，t2正常工作為事件 b，t3正常工作為事件 c， 則 p(a)12，p(b)p(c)34， 電路不發(fā)生故障，即 t1正常工作且 t2，t3至少有一個(gè)正常工作，t2，t3至少有一個(gè)正常工6 / 16 作的概率 p111341341516， 所以整個(gè)電路不發(fā)生故障的概率為 pp(a)p11215161532. 方程思想在相互獨(dú)立事件概率中的應(yīng)用 典例 甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為14，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率

12、為112，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為29，分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率. 解 記事件 a，b，c 分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品. 由題設(shè)知 p(a) 1p(b)14，p(b) 1p(c)112，p(a) p(c)29， 解方程組并舍去不合題意的根，得 p(a)13，p(b)14，p(c)23. 即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率分別是13，14，23. 素養(yǎng)提升 對(duì)于相互獨(dú)立事件中的概率問(wèn)題，可先從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，根據(jù)概率的定義、公式等構(gòu)造方程(組)，通過(guò)解方程(組)解決問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 1.壇子里放有 3 個(gè)

13、白球，2 個(gè)黑球，從中不放回地摸球，用 a1表示第 1 次摸到白球，a2表示第 2 次摸到白球，則 a1與 a2( ) a.是互斥事件 b.是相互獨(dú)立事件 7 / 16 c.是對(duì)立事件 d.不是相互獨(dú)立事件 答案 d 解析 互斥事件和對(duì)立事件是同一次試驗(yàn)的兩個(gè)不同時(shí)發(fā)生的事件，故選項(xiàng) a，c 錯(cuò).而事件 a1的發(fā)生對(duì)事件 a2發(fā)生的概率有影響，故兩者是不相互獨(dú)立事件. 2.一個(gè)電路上裝有甲、乙兩根保險(xiǎn)絲，甲熔斷的概率為 0.85，乙熔斷的概率為 0.74，甲、乙兩根保險(xiǎn)絲熔斷與否相互獨(dú)立，則兩根保險(xiǎn)絲都熔斷的概率為( ) a.1 b.0.629 c.0 d.0.74或 0.85 答案 b 解析

14、 設(shè)“甲保險(xiǎn)絲熔斷”為事件 a，“乙保險(xiǎn)絲熔斷”為事件 b， 則 p(a)0.85，p(b)0.74， 由事件 a 與 b相互獨(dú)立， 得“兩根保險(xiǎn)絲都熔斷”為事件 ab， p(ab)p(a) p(b)0.850.740.629. 3.從應(yīng)屆高中生中選飛行員，已知這批學(xué)生體形合格的概率為13，視力合格的概率為16，其他綜合標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為15，從中任選一學(xué)生，則三項(xiàng)均合格的概率為(假設(shè)三項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)互不影響)( ) a.49 b.190 c.45 d.59 答案 b 解析 由題意知三項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)互不影響， p131615190. 4.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為 0.8 和 0.9，在兩批種子中各取一粒，

15、則恰有一粒種子能發(fā)芽的概率是( ) 8 / 16 a.0.26 b.0.08 c.0.18 d.0.72 答案 a 解析 甲種子發(fā)芽而乙種子不發(fā)芽的概率為 0.80.10.08. 乙種子發(fā)芽而甲種子不發(fā)芽的概率為 0.90.20.18， 故恰有一粒種子能發(fā)芽的概率為 0.080.180.26. 5.加工某一零件需經(jīng)過(guò)三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為170，169，168，且各道工序互不影響，則加工出來(lái)的零件的次品率為_(kāi). 答案 370 解析 加工出來(lái)的零件的正品率是1170116911686770，因此加工出來(lái)的零件的次品率為 16770370. 1.知識(shí)清單： (1)相互獨(dú)立事件

16、的判斷. (2)相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算. 2.方法歸納：構(gòu)造方程(組)、通過(guò)解方程(組)求概率，正難則反思想求概率. 3.常見(jiàn)誤區(qū)：相互獨(dú)立事件與互斥事件易混淆. 9 / 16 1.擲一顆骰子一次，設(shè)事件 a：“擲出偶數(shù)點(diǎn)”，事件 b：“擲出 3 點(diǎn)或 6 點(diǎn)”，則事件a，b 的關(guān)系是( ) a.互斥但不相互獨(dú)立 b.相互獨(dú)立但不互斥 c.互斥且相互獨(dú)立 d.既不相互獨(dú)立也不互斥 答案 b 解析 事件 a2,4,6，事件 b3,6，事件 ab6，樣本空間 1,2,3,4,5,6，所以p(a)3612，p(b)2613，p(ab)161213，即 p(ab)p(a)p(b)，因此事件 a與 b

17、相互獨(dú)立.當(dāng)“擲出 6點(diǎn)”時(shí)，事件 a，b 同時(shí)發(fā)生，所以 a，b不是互斥事件. 2.某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊命中目標(biāo)的概率都為 0.9，則他連續(xù)射擊兩次都命中的概率是( ) a.0.64 b.0.56 c.0.81 d.0.99 答案 c 解析 ai表示“第 i次擊中目標(biāo)”，i1,2， 則 p(a1a2)p(a1)p(a2)0.90.90.81. 3.甲、乙兩人同時(shí)報(bào)考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為 0.6，乙被錄取的概率為 0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為( ) a.0.12 b.0.42 c.0.46 d.0.88 答案 d 解析 設(shè)“甲被錄取”記為事件 a，“乙

18、被錄取”記為事件 b，則兩人至少有一人被錄取的概率 p1p( a b )1(1p(a)(1p(b)10.40.30.88. 10 / 16 4.從甲袋中摸出 1 個(gè)紅球的概率是13，從乙袋中摸出 1 個(gè)紅球的概率是12，從兩袋中各摸出 1個(gè)球，則23可能是( ) a.2 個(gè)球不都是紅球的概率 b.2個(gè)球都是紅球的概率 c.至少有 1個(gè)紅球的概率 d.2 個(gè)球中恰有 1 個(gè)紅球的概率 答案 c 解析 記 4 個(gè)選項(xiàng)中的事件分別為 a，b，c，d，則 p(a)1131256， p(b)131216， p(c)111211323， p(d)131121131212. 5.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽.現(xiàn)在

19、的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能獲冠軍.若每局兩隊(duì)獲勝的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為( ) a.34 b.35 c.23 d.12 答案 a 解析 根據(jù)已知條件，可知甲隊(duì)要獲得冠軍可分為甲隊(duì)直接勝一局，或乙隊(duì)先勝一局，甲隊(duì)再勝一局，這兩種情況互斥.甲隊(duì)直接勝一局，其概率為 p112；乙隊(duì)先勝一局，甲隊(duì)再勝一局，其概率為 p2121214.由互斥事件的概率加法公式可得甲隊(duì)獲勝的概率為 p12121234. 6.某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為11 / 16 1625，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為_(kāi). 答案 35 解析 設(shè)此隊(duì)員每次

20、罰球的命中率為 p， 則 1p21625，所以 p35. 7.在甲盒內(nèi)的 200 個(gè)螺桿中有 160 個(gè)是 a 型，在乙盒內(nèi)的 240 個(gè)螺母中有 180 個(gè)是 a 型.若從甲、乙兩盒內(nèi)各取一個(gè)，則能配成 a 型螺栓的概率為_(kāi). 答案 35 解析 從甲盒內(nèi)取一個(gè) a 型螺桿記為事件 m，從乙盒內(nèi)取一個(gè) a 型螺母記為事件 n，因?yàn)槭录?m，n 相互獨(dú)立，所以能配成 a 型螺栓(即一個(gè) a 型螺桿與一個(gè) a 型螺母)的概率為p(mn)p(m)p(n)16020018024035. 8.甲、乙、丙三位同學(xué)上課后獨(dú)立完成自我檢測(cè)題，甲及格的概率為45，乙及格的概率為25，丙及格的概率為23，則三人中

21、至少有一人及格的概率為_(kāi). 答案 2425 解析 設(shè)甲及格為事件 a，乙及格為事件 b，丙及格為事件 c，則 p(a)45，p(b)25，p(c)23，p( a )15，p( b )35，p( c )13， 則 p( a b c )p( a )p( b )p( c )153513125， 所求概率 p1p( a b c )2425. 9.設(shè)進(jìn)入某商場(chǎng)的每一位顧客購(gòu)買(mǎi)甲種商品的概率為 0.5，購(gòu)買(mǎi)乙種商品的概率為 0.6，且購(gòu)買(mǎi)甲種商品與購(gòu)買(mǎi)乙種商品相互獨(dú)立，各顧客之間購(gòu)買(mǎi)商品也是相互獨(dú)立的.求： (1)進(jìn)入商場(chǎng)的 1位顧客，甲、乙兩種商品都購(gòu)買(mǎi)的概率； 12 / 16 (2)進(jìn)入商場(chǎng)的 1位顧

22、客購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品中的一種的概率； (3)進(jìn)入商場(chǎng)的 1位顧客至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品中的一種的概率. 解 記 a 表示事件“進(jìn)入商場(chǎng)的 1位顧客購(gòu)買(mǎi)甲種商品”，則 p(a)0.5； 記 b 表示事件“進(jìn)入商場(chǎng)的 1位顧客購(gòu)買(mǎi)乙種商品”，則 p(b)0.6； 記 c 表示事件“進(jìn)入商場(chǎng)的 1位顧客甲、乙兩種商品都購(gòu)買(mǎi)”； 記 d 表示事件“進(jìn)入商場(chǎng)的 1位顧客購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品中的一種”； 記 e 表示事件“進(jìn)入商場(chǎng)的 1位顧客至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品的一種”. (1)易知 cab，則 p(c)p(ab)p(a)p(b)0.50.60.3. (2)易知 d(a b )( a b)，則 p(d)p

23、(a b )p( a b)p(a)p( b )p( a )p(b)0.50.40.50.60.5. (3)易知 e a b ，則 p( e )p( a b )p( a )p( b )0.50.40.2.故 p(e)1p( e )0.8. 10.為應(yīng)對(duì)金融危機(jī)，刺激消費(fèi)，某市給市民發(fā)放面額為 100 元的旅游消費(fèi)券，由抽樣調(diào)查預(yù)計(jì)老、中、青三類(lèi)市民持有這種消費(fèi)券到某旅游景點(diǎn)的消費(fèi)額及其概率如下表： 200元 300元 400元 500元 老年 0.4 0.3 0.2 0.1 中年 0.3 0.4 0.2 0.1 青年 0.3 0.3 0.2 0.2 某天恰好有持有這種消費(fèi)券的老年人、中年人、青年

24、人各一人到該旅游景點(diǎn). (1)求這三人恰有兩人的消費(fèi)額不少于 300 元的概率； (2)求這三人的消費(fèi)總額大于或等于 1 300 元的概率. 解 (1)設(shè)三人中恰有兩人的消費(fèi)額不少于 300 元的概率為 p1， 13 / 16 則 p1(0.7)20.420.30.70.60.448. (2)消費(fèi)總額為 1 500元的概率是 0.10.10.20.002， 消費(fèi)總額為 1 400元的概率是(0.1)20.22(0.2)20.10.010， 消 費(fèi) 總 額 為 1 300 元 的 概 率 是 (0.1)20.3 0.30.10.2 0.10.40.2 0.2320.220.10.033， 所以消

25、費(fèi)總額大于或等于 1 300 元的概率是 0.045. 11.同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤(pán)，記轉(zhuǎn)盤(pán)甲得到的數(shù)為 x，轉(zhuǎn)盤(pán)乙得到的數(shù)為y(若指針停在邊界上則重新轉(zhuǎn))，x，y 構(gòu)成數(shù)對(duì)(x，y)，則所有數(shù)對(duì)(x，y)中，滿足 xy4 的概率為( ) a.116 b.18 c.316 d.14 答案 c 解析 滿足 xy4的所有可能如下： x1，y4；x2，y2；x4，y1. 所求事件的概率為 pp(x1，y4)p(x2，y2)p(x4，y1) 141414141414316. 12.設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件 a 和 b 都不發(fā)生的概率為19，a 發(fā)生 b 不發(fā)生的概率與 b 發(fā)生 a 不發(fā)生的概率相

26、同，則事件 a 發(fā)生的概率 p(a)等于( ) 14 / 16 a.29 b.118 c.13 d.23 答案 d 解析 由題意知，p( a ) p( b )19， p( a ) p(b)p(a) p( b ). 設(shè) p(a)x，p(b)y， 則 (1x)(1y)19，(1x)yx(1y)，即 1xyxy19，xy. x22x119， x113，或 x113(舍去)， x23. 13.有一道數(shù)學(xué)難題，學(xué)生 a 解出的概率為12，學(xué)生 b解出的概率為13，學(xué)生 c 解出的概率為14.若 a，b，c 三人獨(dú)立去解答此題，則恰有一人解出的概率為_(kāi). 答案 1124 解析 一道數(shù)學(xué)難題恰有一人解出，包括：a 解出，b，c 解不出，概率為12233414；b 解出，a，c 解不出，概率為12133418；c 解出，a，b 解不出，概率為122314112.所以恰有 1 人解出的概率 14.某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的 5 個(gè)問(wèn)題中，選手若能連續(xù)正確回答出 2 個(gè)問(wèn)題，即停止答題，晉級(jí)下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是 0.8，且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了 4 個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)