高中數(shù)學(xué)選修一專題強(qiáng)化練10　定點(diǎn)、定值及探究性問題的解法

1、1 / 18 專題強(qiáng)化練 10 定點(diǎn)、定值及探究性問題的解法 一、選擇題 1.()已知點(diǎn) a,b 在拋物線 y2=x 上且位于 x 軸的兩側(cè), =2(其中 o 為坐標(biāo)原點(diǎn)),則直線 ab 一定過點(diǎn)( ) a.(2,0) b.(12,0) c.(0,2) d.(0,12) 2.()已知過原點(diǎn) o 的直線 l 與橢圓 c:22+22=1(ab0)相交于點(diǎn) a,b,點(diǎn) p 是橢圓c 上異于點(diǎn) a,b 的動(dòng)點(diǎn),直線 pa,pb 的斜率分別為 k1,k2 ,則 k1k2的值為( ) a.-22 b.-22 c.22 d.與點(diǎn) p 的位置有關(guān) 3.()已知 a,b 是雙曲線 :24-23=1 的左、右頂點(diǎn)

2、,動(dòng)點(diǎn) p 在 上且 p 在第一象限.若 pa、pb 的斜率分別為 k1,k2,則以下總為定值的是( ) a.k1+k2 b.|k1-k2| c.k1k2 d.12+22 4.()若直線 l 與雙曲線24-y2=1 相切于點(diǎn) p,l 與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn) m,n,則 的值為( ) a.3 b.4 c.5 d.與點(diǎn) p 的位置有關(guān) 2 / 18 5.()已知拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)為 f,過點(diǎn) p(2,0)的直線交拋物線于 a,b 兩點(diǎn),直線 af,bf 分別與拋物線交于另一點(diǎn) c,d,設(shè)直線 ab,cd 的斜率分別為 k1,k2,則12=( ) a.-12 b.2 c.1 d.12

3、 6.()已知點(diǎn) p(-1,0),設(shè)不垂直于 x 軸的直線 l 與拋物線 y2=2x 交于不同的兩點(diǎn)a、b,若 x 軸是apb 的平分線,則直線 l 一定過點(diǎn)( ) a.(12,0) b.(1,0) c.(2,0) d.(-2,0) 7.(2020 湖北武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)、武漢一中等六校高二上期末聯(lián)考,)已知拋物線y2=2px(p 是正常數(shù))上有兩點(diǎn) a(x1,y1)、b(x2,y2),焦點(diǎn)為 f.給出下列條件: 甲:x1x2=24;乙:y1y2=-p2;丙: =-34p2;丁:1|+1|=2. 其中是“直線 ab 經(jīng)過焦點(diǎn) f”的充要條件的個(gè)數(shù)為( ) a.0 b.1 c.2 d.3 二、填空題

4、8.()過拋物線 y2=4x 上一點(diǎn) p(4,4)作兩條直線 pa,pb,且它們的斜率之積為定值4,則直線 ab 恒過定點(diǎn) . 9.()橢圓 e:24+23=1 的左頂點(diǎn)為 a,點(diǎn) b,c 是橢圓 e 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),若直線 ab 與ac 的斜率之積為定值-14,則動(dòng)直線 bc 恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)為 . 三、解答題 3 / 18 10.(2020 四川成都高二上期末,)已知橢圓 c:22+22=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為 f1,f2,|f1f2|=23,經(jīng)過點(diǎn) f1的直線(不與 x 軸重合)與橢圓 c 相交于 a,b 兩點(diǎn),abf2的周長(zhǎng)為 8. (1)求橢圓 c 的方程; (2)經(jīng)過橢圓 c

5、上的一點(diǎn) q 作斜率為 k1,k2(k10,k20)的兩條直線,分別與橢圓 c相交于異于點(diǎn) q 的 m,n 兩點(diǎn).若 m,n 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,求 k1k2的值. 11.(2020 河南開封高二上期末,)已知點(diǎn)(2,33),(1,63)在橢圓c:22+22=1(ab0)上. (1)求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)過原點(diǎn)的直線與橢圓 c 交于 a,b 兩點(diǎn)(a,b 不是橢圓 c 的頂點(diǎn)),點(diǎn) d 在橢圓 c上,且 adab,直線 bd 與 x 軸、y 軸分別交于 m、n 兩點(diǎn),設(shè)直線 am,an 的斜率分別為 k1,k2,證明:存在常數(shù) ,使得 k1=k2,并求出 的值. 4 / 18 5 /

6、18 12.(2020 山東菏澤高二上期末,)已知橢圓 c:2+2=1(mn0),且橢圓 c 上恰有三點(diǎn)在集合(33,223),(-33,-223),(64,0),(0,1)中. (1)求橢圓 c 的方程; (2)若點(diǎn) o 為坐標(biāo)原點(diǎn),直線 ab 與橢圓交于 a、b 兩點(diǎn),且滿足 oaob,試探究:點(diǎn)o 到直線 ab 的距離是不是定值?如果是,求出定值;如果不是,請(qǐng)說明理由; (3)在(2)的條件下,求aob 面積的最大值. 6 / 18 7 / 18 13.(2020 山東泰安高二上期末,)已知橢圓 c:22+22=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為 f1、f2,b 為短軸的端點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 4,

7、焦距為 2c,且 bc,bf1f2的面積為3. (1)求橢圓 c 的方程; (2)設(shè)動(dòng)直線 l:y=kx+m 與橢圓 c 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) m,且與直線 x=4 相交于點(diǎn) n.試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn) p,使得以 mn 為直徑的圓恒過點(diǎn) p?若存在,求出點(diǎn) p 的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 8 / 18 14.(2020 河南濮陽高二上期末,)已知橢圓 c:22+22=1(ab0)的離心率為32,拋物線 y2=2px(p0)的焦點(diǎn)是(12,0),m(4,b)是拋物線上的點(diǎn),h 為直線 y=-a 上任一點(diǎn),a,b 分別為橢圓 c 的上、下頂點(diǎn),且 a,b,h 三點(diǎn)的連線可以構(gòu)成三角形

8、. (1)求橢圓 c 的方程; (2)直線 ha,hb 與橢圓 c 的另一交點(diǎn)分別為點(diǎn) d,e,求證:直線 de 過定點(diǎn). 9 / 18 10 / 18 答案全解全析答案全解全析 一、選擇題 1.a 當(dāng)直線 ab 的斜率為 0 時(shí),直線 ab 與拋物線只有 1 個(gè)交點(diǎn),不符合題意,所以直線 ab 的斜率不為 0,設(shè)其方程為 x=ky+m. 因?yàn)辄c(diǎn) a,b 在拋物線 y2=x 上,所以設(shè) a(2,ya),b(2,yb),所以 =22+yayb=2,解得 yayb=1 或 yayb=-2.又因?yàn)?a,b 兩點(diǎn)位于 x 軸的兩側(cè),所以 yayb=-2. 聯(lián)立2= x, = + ,得 y2-ky-m=

9、0,所以 yayb=-m=-2,即 m=2.所以直線 ab 的方程為x=ky+2.所以直線 ab 一定過點(diǎn)(2,0).故選 a. 2.a 設(shè)點(diǎn) p(x0,y0),a(x1,y1),則點(diǎn) b(-x1,-y1), k1=0-10-1,k2=0+10+1, k1k2=02-1202-12. 又由題意得022+022=1,122+122=1, 兩式作差,得02-122+02-122=0, 即02-122=-02-122, 02-1202-12=-22,即 k1k2=-22.故選 a. 3.c 由題意得 a(-2,0),b(2,0).設(shè) p(x0,y0)(x00,y00),則024-023=1,即02=

10、34(02-4). 又 k1=00+2,k2=00-2,所以 k1k2=0202-4=34.故選 c. 4.a 設(shè) p(x0,y0),m(x1,y1),n(x2,y2). 11 / 18 因?yàn)?p 是切點(diǎn),所以 mp 的方程為0 x4-y0y=1,且02-402=4. 由雙曲線方程可得兩條漸近線方程分別為 l1:y=12x,l2:y=-12x,不妨設(shè) m 在 l1上,n 在l2上. 由014-01= 1,1=121,解得1=40-20,1=20-20,同理,得2=40+20,2=-20+20, 所以 =x1x2+y1y2=40-2040+20-20-2020+20=1202-402=124=3

11、. 故選 a. 5.d 由題意知,f(1,0). 設(shè) a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),d(x4,y4),直線 af 的方程是 y=11-1(x-1), 設(shè) k0=11-1,則直線 af 的方程為 y=k0(x-1), 與拋物線方程 y2=4x 聯(lián)立,可得02x2-(202+4)x+02=0, x3x1=1,x3=11, y3=k0(x3-1)=-11,即 c(11,-11), 同理,d(12,-22),k2=-11+2211-12=2k1,12=12.故選 d. 6.b 設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+b(k0),a(x1,y1),b(x2,y2). 由 = + ,2=

12、2x,得 k2x2+(2kb-2)x+b2=0, 所以 =4(kb-1)2-4k2b20,即 kbn,符合題意. 當(dāng)橢圓過點(diǎn)(64,0)時(shí),m=38,n=8,此時(shí) mn,不符合題意. 16 / 18 橢圓 c 的方程為23+y2=1. (2)當(dāng)直線 ab 的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為 y=kx+m,a(x1,y1),b(x2,y2). 由 = + ,23+ 2= 1,得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0, x1+x2=-61+32,x1x2=32-31+32. oaob, x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0, 4

13、m2=3k2+3. 原點(diǎn)到直線 ab 的距離為|1+2=32. 當(dāng)直線 ab 的斜率不存在時(shí),設(shè)其方程為 x=t,則不妨令 a(,9-323),b(,-9-323). oaob,t2=34,|t|=32, 原點(diǎn)到直線 ab 的距離為32. (3)由(2)知,當(dāng)直線 ab 的斜率存在時(shí),|ab|2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)(-61+32)2-4 32-31+32, 又 4m2=3k2+3, |ab|2=3(94+102+1)94+62+1=3+12294+62+1=3+1292+6+12. 因?yàn)?292+6+12126+6=1, 當(dāng)且僅當(dāng) 9k2=12,即 k=33時(shí),等號(hào)成立

14、,所以|ab|2. 當(dāng)直線 ab 的斜率不存在時(shí),|ab|=32, 17 / 18 所以(soab)max=12232=32. 13.解析 (1)由題意知2 = 4,12 2c b = 3,2= 2+ 2,解得 = 2, = 3, = 1或 = 2, = 1, = 3(舍去). 橢圓 c 的方程是24+23=1. (2)由 = + ,24+23= 1, 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. 直線 l 與橢圓 c 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) m, m0 且 =0. =64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化簡(jiǎn)得 4k2-m2+3=0. 設(shè) m(x0,y0),則 x0=-442

15、+3=-4,y0=kx0+m=3, m(-4,3). 由 = 4, = + ,得 n(4,4k+m). 假設(shè)存在定點(diǎn) p 滿足題意,由圖形的對(duì)稱性可知,點(diǎn) p 必在 x 軸上. 設(shè) p(x1,0),則 =0 對(duì)滿足 4k2-m2+3=0 的任意 m,k 恒成立. 又 =(-4-1,3), =(4-x1,4k+m), =(4+ 1)(x1-4)+3(4k+m)=0, 整理得(4x1-4)+12-4x1+3=0. 41-4 = 0,12-41+ 3 = 0,解得 x1=1. 18 / 18 p(1,0),存在定點(diǎn) p(1,0),使得以 mn 為直徑的圓恒過點(diǎn) p. 14.解析 (1)由拋物線焦點(diǎn)為(12,0),得拋物線方程為 y2=2x. 由題意知,=32,2= 2 4,2= 2+ 2,解得 = 2, = 1, = 3, 橢圓 c 的方程為24+y2=1. (2)證明:設(shè)點(diǎn) h(m,-2)(m0),d(xd,yd),e