高考數(shù)學(xué) 提煉信息——數(shù)據(jù)分析與模型建構(gòu)

1、1 / 25 提煉信息提煉信息數(shù)據(jù)分析與模型建構(gòu)數(shù)據(jù)分析與模型建構(gòu) 微點聚焦突破 概率統(tǒng)計綜合問題是高考應(yīng)用型問題，解決問題需要經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、得出有用的結(jié)論幾個復(fù)雜過程如果數(shù)據(jù)處理不當則會陷入龐大的數(shù)據(jù)運算中，因此解決這類問題首先需要根據(jù)題目條件提取有用數(shù)據(jù)，然后根據(jù)統(tǒng)計思想對數(shù)據(jù)進行相關(guān)處理、運算，下面就如何從概率統(tǒng)計綜合問題中迅速提取數(shù)據(jù)，并作出正確處理及模型構(gòu)建提供典例展示 類型一 頻率分布直方圖、條形圖數(shù)據(jù)處理及模型建構(gòu) 【例 1】 (2016 全國卷)某公司計劃購買 2 臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零

2、件作為備件，每個 200 元在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個 500 元現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了 100 臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這 100 臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替 1 臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記 x 表示 2 臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n 表示購買 2 臺機器的同時購買的易損零件數(shù) (1)求 x的分布列； (2)若要求 p(xn)0.5，確定 n 的最小值； (3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在 n19 與 n20 之中選其一，應(yīng)選用哪個？ 解 (1)由柱狀圖并以頻率代

3、替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件2 / 25 數(shù)為 8，9，10，11 的概率分別為 0.2，0.4，0.2，0.2.可知 x 的所有可能取值為16、17、18、19、20、21、22， p(x16)0.20.20.04； p(x17)20.20.40.16； p(x18)20.20.20.40.40.24； p(x19)20.20.220.40.20.24； p(x20)20.20.40.20.20.2； p(x21)20.20.20.08； p(x22)0.20.20.04； 所以 x的分布列為 x 16 17 18 19 20 21 22 p 0.04 0.16 0.24 0

4、.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)知 p(x18)0.44，p(x19)0.68，故 n 的最小值為 19. (3)記 y表示 2 臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元) 當 n 19 時 ， e(y) 192000.68 (19200 500)0.2 (19200 2500)0.08(192003500)0.044 040. 當 n20 時， e(y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.04 4 080. 可知當 n19 時所需費用的期望值小于 n20 時所需費用的期望值，故應(yīng)選 n19. 思維升華 頻率分布直方圖、條形圖、柱狀圖等是

5、考查數(shù)據(jù)收集和整理的常用依據(jù)，掌握圖中常見數(shù)據(jù)的提取方法，將頻率看作概率是解決這類問題的關(guān)鍵 【訓(xùn)練 1】 某市某中學(xué)的環(huán)保社團參照國家環(huán)境標準制定了該市空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系，如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會超過 300) 空氣質(zhì)量指數(shù) (0，50 (50，100 (100，150 (150，200 (200，250 (250，300 空氣質(zhì)量等級 1 級優(yōu) 2 級良 3級輕度污染 4級中度污染 5 級重度污染 6 級嚴重污染 3 / 25 該社團將該市在 2020 年 100 天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如圖，把該直方圖所得頻率估計為概率 (1)請估

6、算 2020 年(以 365 天計算)全年該市空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)(未滿一天按一天計算)； (2)該市將于 2020 年 12月 25、26、27日舉辦一場國際會議，若這三天中某天出現(xiàn) 5 級重度污染，則該天需要凈化空氣費用 10 萬元，出現(xiàn) 6 級嚴重污染，則該天需要凈化空氣費用 20 萬元，假設(shè)每天的空氣質(zhì)量等級相互獨立，記這三天凈化空氣總費用為 x萬元，求 x 的分布列及數(shù)學(xué)期望 解 (1)由直方圖可得 2020 年(以 365 天計算)全年該市空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為(0.0020.004)503650.3365109.5110. (2)由題可知，x的所有可能取值為 0，10，20，30，4

7、0，50，60， 則 p(x0)45364125， p(x10)c1311045224125， p(x20)c231102451c1311045210850027125， p(x30)1103c13110c1211045491 000， p(x40)c231102110c23110245271 000， p(x50)c23110211031 000， p(x60)110311 000， x的分布列為 x 0 10 20 30 40 50 60 4 / 25 p 64125 24125 27125 491 000 271 000 31 000 11 000 e(x)064125102412520

8、2712530491 00040271 0005031 0006011 0009(萬元) 類型二 莖葉圖數(shù)據(jù)分析及模型建構(gòu) 【例 2】 (2018 全國卷)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取 40名工人，將他們隨機分成兩組，每組 20 人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如圖所示的莖葉圖： (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由； (2)求 40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù) m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過 m和不超過 m

9、的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過 m 不超過 m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有 99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：k2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd）， p(k2k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 解 (1)第一種生產(chǎn)方式時間集中在區(qū)間80，90，且平均工作時間x184. 第二種生產(chǎn)方式的時間集中在區(qū)間70，80)，且平均工作時間x274.7. x1x2，所以第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時間大于第二種， 第二種生產(chǎn)方式的效率更高 5 / 25 (2)由莖葉圖數(shù)據(jù)得到 m80.

10、 由此填寫列聯(lián)表如下： 超過 m 不超過 m 總計 第一種生產(chǎn)方式 15 5 20 第二種生產(chǎn)方式 5 15 20 總計 20 20 40 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表計算 k2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd）40（151555）220202020106.635，所以有 99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異 思維升華 莖葉圖提供了具體的數(shù)據(jù)，找準各組數(shù)據(jù)共同的莖及各自的葉是處理此類問題的關(guān)鍵如果所有數(shù)據(jù)過大，在計算平均數(shù)時，可以將所有數(shù)據(jù)同時減去一個數(shù)字再計算，減去一個數(shù)后方差不變，另外除了要掌握各類數(shù)據(jù)的計算方法以外，還要能從提供的數(shù)據(jù)的趨勢分析預(yù)測結(jié)果莖葉圖數(shù)據(jù)很具體，常

11、聯(lián)系古典概型進行考查 【訓(xùn)練 2】 甲、乙兩名運動員參加“選拔測試賽”，在相同條件下，兩人 6 次測試的成績(單位：分)記錄如下： 甲 86 77 92 72 78 84 乙 78 82 88 82 95 90 (1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)，現(xiàn)要從中選派一名運動員參加比賽，你認為選派誰參賽更好？說明理由(不用計算) (2)若將頻率視為概率，對運動員甲在今后 3 次測試中的成績進行預(yù)測，記這 3次測試的成績高于 85 分的次數(shù)為 x，求 x 的分布列和數(shù)學(xué)期望 e(x)及方差d(x) 解 (1)莖葉圖如圖： 6 / 25 由圖可知乙的平均水平比甲高，故選派乙參賽更好 (2)由題意得，甲運動員每次

12、測試的成績高于 85 分的概率是13，3 次測試的成績高于 85 分的次數(shù) x 服從二項分布，即 xb3，13，x 所有可能的取值為 0，1，2，3， 所以 p(x0)c03130233827， p(x1)c1313123249， p(x2)c2313223129， p(x3)c33133230127， x的分布列為 x 0 1 2 3 p 827 49 29 127 e(x)3131，d(x)3132323. 類型三 表格數(shù)據(jù)的提取、處理及模型建構(gòu) 【例 3】 (2020 山東名校聯(lián)考)甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司，底薪 80 元，每單送餐員抽成 4 元；乙公司，無底

13、薪，40 單以內(nèi)(含 40 單)的部分送餐員每單抽成 6 元，超出 40 單的部分送餐員每單抽成 7元假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從這兩家公司各隨機選取一名送餐員，并分別記錄其 50 天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表： 甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 送餐單數(shù) 38 39 40 41 42 天數(shù) 10 15 10 10 5 乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 送餐單數(shù) 38 39 40 41 42 天數(shù) 5 10 10 20 5 7 / 25 (1)現(xiàn)從記錄甲公司的 50 天送餐單數(shù)中隨機抽取 3天的送餐單數(shù)，求這 3天送餐單數(shù)都不小于 40的概率 (2)若將頻率視為概率，回答下列兩個問題： 記

14、乙公司送餐員日工資為 x(單位：元)，求 x的分布列和數(shù)學(xué)期望 e(x)； 小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為小王做出選擇，并說明理由 解 (1)設(shè)抽取的 3 天送餐單數(shù)都不小于 40 為事件 m，甲公司記錄的 50 天中，有 1010525天送餐單數(shù)不小于 40， 則 p(m)c325c35023196. (2)設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為 a， 當 a38 時，x386228， 當 a39 時，x396234， 當 a40 時，x406240， 當 a41 時，x40617247， 當 a42 時，x40627254， 所以 x的所

15、有可能取值為 228，234，240，247，254. 故 x的分布列為 x 228 234 240 247 254 p 110 15 15 25 110 所以 e(x)228110234152401524725254110241.8. 依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為 380.2390.3400.2410.2420.139.7， 所以甲公司送餐員的日平均工資為 80439.7238.8元 由得乙公司送餐員的日平均工資為 241.8元 因為 238.8241.8，所以推薦小王去乙公司應(yīng)聘 思維升華 處理表格數(shù)據(jù)的關(guān)鍵是搞清表格中各行、各列數(shù)的意義，解決問題的關(guān)鍵是以頻率視為概率，用樣本估

16、計總體 【訓(xùn)練 3】 (2019 全國卷)某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情8 / 25 況，隨機調(diào)查了 100 個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率 y 的頻數(shù)分布表 y 的分組 0.20，0) 0，0.20) 0.20，0.40) 0.40，0.60) 0.60，0.80) 企業(yè)數(shù) 2 24 53 14 7 (1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于 40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例； (2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)(精確到 0.01)附： 748.602. 解 (1)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得

17、，所調(diào)查的 100 個企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于 40%的企業(yè)頻率為1471000.21. 產(chǎn)值負增長的企業(yè)頻率為21000.02. 用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于 40%的企業(yè)比例為 21%，產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例為 2%. (2)100 個企業(yè)的產(chǎn)值增長率平均數(shù)為 y1100(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30， s211005i1ni(yiy)2 1100(0.40)22(0.20)22402530.202140.40270.029 6， s 0.029 60.02 740.17. 所以，這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值分別為

18、0.30，0.17. 類型四 折線圖中的數(shù)據(jù)分析及模型建構(gòu) 【例 4】 (2020 廣州調(diào)研)某基地蔬菜大棚采用無土栽培的方式種植各類蔬菜根據(jù)過去 50 周的資料顯示，該地周光照量 x(小時)都在 30 小時以上，其中不足 50 小時的有 5 周，不低于 50 小時且不超過 70 小時的有 35 周，超過 70 小時的有 10 周根據(jù)統(tǒng)計，該基地的西紅柿增加量 y(千克)與使用某種液體肥料的質(zhì)量 x(千克)之間的關(guān)系為如圖所示的折線圖 9 / 25 (1)依據(jù)折線圖，是否可用線性回歸模型擬合 y 與 x 的關(guān)系？請計算相關(guān)系數(shù) r并加以說明(精確到 0.01)(若|r|0.75，則線性相關(guān)程度

19、很高，可用線性回歸模型擬合) (2)蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀運行臺數(shù)受周光照量 x限制，并有如下關(guān)系： 周光照量 x (單位：小時) 30x50 50x70 x70 光照控制儀最多可運行臺數(shù) 3 2 1 若某臺光照控制儀運行，則該臺光照控制儀周利潤為 3 000 元；若某臺光照控制儀未運行，則該臺光照控制儀周虧損 1 000 元以頻率作為概率，商家欲使周總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝光照控制儀多少臺？ 附：相關(guān)系數(shù)公式 rni1 （xix）（yiy）ni1 （xix）2ni1 （yiy）2， 參考數(shù)據(jù)： 0.30.55， 0.90.9

20、5. 解 (1)由已知數(shù)據(jù)可得x2456855， y3444554. 因為5i1 (xix)(yiy)(3)(1)000316，5i1 （xix）2（3）2（1）20212322 5， 5i1 （yiy）2 （1）202020212 2. 所以相關(guān)系數(shù) r5i1 （xix）（yiy）5i1 （xix）25i1 （yiy）262 5 29100.95. 因為 r0.75，所以可用線性回歸模型擬合 y 與 x 的關(guān)系 10 / 25 (2)記商家周總利潤為 y 元，由條件可知至少需安裝 1 臺，最多安裝 3 臺光照控制儀 安裝 1臺光照控制儀可獲得周總利潤 3 000元 安裝 2臺光照控制儀的情形

21、： 當 x70 時，只有 1臺光照控制儀運行，此時周總利潤 y3 0001 0002 000(元)，p(y2 000)10500.2， 當 30x70 時，2 臺光照控制儀都運行，此時周總利潤 y23 0006 000(元)，p(y6 000)40500.8， 故 y的分布列為 y 2 000 6 000 p 0.2 0.8 所以 e(y)2 0000.26 0000.85 200(元) 安裝 3臺光照控制儀的情形： 當 x70 時，只有 1臺光照控制儀運行，此時周總利潤 y13 00021 0001 000(元)， p(y1 000)10500.2， 當 50x70 時，有 2 臺光照控制儀

22、運行，此時周總利潤 y23 00011 0005 000(元)， p(y5 000)35500.7， 當 30x50時，3臺光照控制儀都運行，周總利潤 y33 0009 000(元)，p(y9 000)5500.1， 故 y的分布列為 y 1 000 5 000 9 000 p 0.2 0.7 0.1 所以 e(y)1 0000.25 0000.79 0000.14 600(元) 綜上可知，為使商家周總利潤的均值達到最大，應(yīng)該安裝 2 臺光照控制儀 思維升華 1.折線圖中拐點處的坐標是我們提取數(shù)據(jù)的關(guān)鍵點，注意橫坐標、11 / 25 縱坐標的意義即可 2“最小二乘法”求回歸方程，計算是這類問題

23、的難點，需要根據(jù)題目中提供的數(shù)據(jù)進行分析，從而求解回歸方程ybxa，其中求b是問題的關(guān)鍵，計算出b后，可以將樣本點的中心(x，y)代入方程求解出a. 【訓(xùn)練 4】 (2018 全國卷)如圖是某地區(qū) 2000 年至 2016 年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額 y(單位：億元)的折線圖 為了預(yù)測該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了 y 與時間變量 t 的兩個線性回歸模型根據(jù) 2000 年至 2016 年的數(shù)據(jù)(時間變量 t 的值依次為 1，2，17)建立模型：y30.413.5t；根據(jù) 2010 年至 2016 年的數(shù)據(jù)(時間變量 t 的值依次為 1，2，7)建立模型：y9917.5t. (1)分

24、別利用這兩個模型，求該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值； (2)你認為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由 解 (1)利用模型，該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y30.413.519226.1(億元) 利用模型，該地區(qū) 2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 y9917.59256.5(億元) (2)利用模型得到的預(yù)測值更可靠 理由如下： ()從折線圖可以看出，2000 年至 2016 年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y30.413.5t 上下，這說明利用 2000 年至 2016 年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的趨勢.2010

25、年相對 2009 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010 年至 2016 年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近，這說明從 2010 年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利12 / 25 用 2010 年至 2016 年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y9917.5t 可以較好地描述 2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠 ()從計算結(jié)果看，相對于 2016 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額 220 億元，由模型得到的預(yù)測值 226.1 億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型得到的預(yù)測值更可靠 以上給出了 2種理由，考生答出其中任意

26、一種或其他合理理由均可得分 類型五 文字語言及符號語言的轉(zhuǎn)化及模型建構(gòu) 【例 5】 (2019 全國卷)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多 4 只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得 1 分，乙藥得1 分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得 1 分，甲藥得1 分；若

27、都治愈或都未治愈則兩種藥均得 0 分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為 和 ，一輪試驗中甲藥的得分記為 x. (1)求 x的分布列 (2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予 4 分，pi(i0，1，8)表示“甲藥的累計得分為 i 時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則 p00，p81，piapi1bpicpi1(i1，2，7)，其中 ap(x1)，bp(x0)，cp(x1)假設(shè) 0.5，0.8. 證明：pi1pi(i0，1，2，7)為等比數(shù)列； 求 p4，并根據(jù) p4的值解釋這種試驗方案的合理性 (1)解 x的所有可能取值為1，0，1. p(x1)(1)，p(x0)(1)(1)， p(x1)(1) 所

28、以 x的分布列為 13 / 25 x 1 0 1 p (1) (1)(1) (1) (2)證明 由(1)得 a0.4，b0.5，c0.1， 因此 pi0.4pi10.5pi0.1pi1， 故 0.1(pi1pi)0.4(pipi1)， 即 pi1pi4(pipi1) 又因為 p1p0p10，所以pi1pi(i0，1，2，7)是公比為 4，首項為p1的等比數(shù)列 解 由可得 p8p8p7p7p6p1p0p0 (p8p7)(p7p6)(p1p0)p04813p1. 由于 p81，故 p13481， 所以 p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)p0 4413p11257. p4表示最終認

29、為甲藥更有效的概率由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為 0.8時，認為甲藥更有效的概率為 p412570.003 9，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗方案合理 思維升華 文字閱讀與信息提取能提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這是近幾年高考命題的關(guān)注點概率與其他知識融合是高考的熱點，如概率與數(shù)列、概率與函數(shù)、概率與正態(tài)分布等，很好地考查了信息提取與模型建構(gòu)，解決這類問題的關(guān)鍵是培養(yǎng)敢于克服困難完成讀題、建模的能力 【訓(xùn)練 5】 (2020 重慶質(zhì)檢)“工資條里顯紅利，個稅新政入民心”隨著 2019年新年鐘聲的敲響，我國自 1980 年以來，力度最大的一次個人所得稅(簡稱個稅)改革迎來

30、了全面實施的階段.2019 年 1 月 1 日起實施的個稅新政主要內(nèi)容包括：個稅起征點為 5 000 元；每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個稅起征點專項附加扣除；專項附加扣除包括住房貸款利息或者住房租金(以下簡稱住房)、子女教育、贍養(yǎng)老人等新舊個稅政策下每月應(yīng)納稅所得額(含稅)計算方14 / 25 法及其對應(yīng)的稅率表如下： 舊個稅稅率表(個稅起征點 3 500 元) 新個稅稅率表(個稅起征點 5 000元) 繳稅 級數(shù) 每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個稅起征點 稅率(%) 每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個稅起征點專項附加扣除 稅率(%) 1 不超過 1 500元的部分 3 不超過 3 000元的部分

31、3 2 超過 1 500元至 4 500元的部分 10 超過 3 000元至 12 000 元的部分 10 3 超過 4 500元至 9 000元的部分 20 超過 12 000元至 25 000 元的部分 20 4 超過 9 000元至 35 000元的部分 25 超過 25 000元至 35 000 元的部分 25 5 超過 35 000元至 55 000元的部分 30 超過 35 000元至 55 000 元的部分 30 隨機抽取某市 1 000 名同一收入層級的 it 從業(yè)者的相關(guān)資料，經(jīng)統(tǒng)計分析，預(yù)估他們 2019 年的人均月收入為 24 000 元統(tǒng)計資料還表明，他們均符合住房專項

32、附加扣除；同時，他們每人至多只有一個符合子女教育專項附加扣除的孩子，并且他們之中既不符合子女教育專項附加扣除又不符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除、符合子女教育專項附加扣除但不符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除、符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除但不符合子女教育專項附加扣除、既符合子女教育專項附加扣除又符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除的人數(shù)之比是 2111；此外，他們均不符合其他專項附加扣除新個稅政策下該市的專項附加扣除標準為：住房 1 000元/月，子女教育每孩 1 000元/月，贍養(yǎng)老人 2 000元/月等 假設(shè)該市該收入層級的 it 從業(yè)者都獨自享受專項附加扣除，將預(yù)估的該市該收入層級的 it 從業(yè)者的人均月收入視為其個人月

33、收入根據(jù)樣本估計總體的思想，解決如下問題： (1)設(shè)該市該收入層級的 it 從業(yè)者 2019 年月繳個稅為 x 元，求 x 的分布列和期15 / 25 望； (2)根據(jù)新舊個稅政策，估計從 2019年 1月開始，經(jīng)過多少個月，該市該收入層級的 it從業(yè)者各月少繳納的個稅之和就超過其 2019年的人均月收入？ 解 (1)既不符合子女教育專項附加扣除又不符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為 24 0005 0001 00018 000(元)， 月繳個稅 x3 0003%9 00010%6 00020%2 190； 符合子女教育專項附加扣除但不符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除的人群每月應(yīng)

34、納稅所得額(含稅)為 24 0005 0001 0001 00017 000(元)， 月繳個稅 x3 0003%9 00010%5 00020%1 990； 符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除但不符合子女教育專項附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為 24 0005 0001 0002 00016 000(元)， 月繳個稅 x3 0003%9 00010%4 00020%1 790； 既符合子女教育專項附加扣除又符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為 24 0005 0001 0001 0002 00015 000(元)， 月繳個稅 x3 0003%9 00010%3 00020%1

35、 590. 所以 x的可能值為 2 190，1 990，1 790，1 590. 依題意，上述四類人群的人數(shù)之比是 2111， 所以 p(x2 190)25，p(x1 990)15， p(x1 790)15，p(x1 590)15. 所以 x的分布列為 x 2 190 1 990 1 790 1 590 p 25 15 15 15 所以 e(x)2 190251 990151 790151 590151 950. (2)因為在舊個稅政策下該市該收入層級的 it 從業(yè)者 2019 年每月應(yīng)納稅所得額(含稅)為 24 0003 50020 500(元)， 16 / 25 所以其月繳個稅為 1 50

36、03%3 00010%4 50020%11 50025% 4 120(元) 因為在新個稅政策下該市該收入層級的 it從業(yè)者 2019年月繳個稅的均值為 1 950 元， 所以該收入層級的 it從業(yè)者每月少繳納的個稅為 4 1201 9502 170(元) 設(shè)經(jīng)過 x 個月，該市該收入層級的 it從業(yè)者各月少繳納的個稅的總和就超過 24 000 元， 則 2 170 x24 000，因為 xn，所以 x12. 所以經(jīng)過 12 個月，該市該收入層級的 it 從業(yè)者各月少繳納的個稅的總和就超過 2019 年的人均月收入. 鞏固提升訓(xùn)練 1(2019 江西五校協(xié)作體測試)食品安全問題越來越受到人們的重

37、視，某超市在某種蔬菜進貨前，要求食品安檢部門對每箱蔬菜進行三輪各項指標的綜合檢測，只有三輪檢測都合格，蔬菜才能在該超市銷售已知每箱這種蔬菜第一輪檢測不合格的概率為17，第二輪檢測不合格的概率為18，第三輪檢測合格的概率為89，每輪檢測只有合格與不合格兩種情況，且各輪檢測是否合格相互之間沒有影響 (1)求每箱這種蔬菜不能在該超市銷售的概率； (2)如果這種蔬菜能在該超市銷售，則每箱可獲利 400 元，如果不能在該超市銷售，則每箱虧損 200 元，現(xiàn)有 4 箱這種蔬菜，求這 4 箱蔬菜總收益的分布列和數(shù)學(xué)期望 解 (1)記 ai(i1，2，3)分別為事件“第一、二、三輪檢測合格”，a 為事件“每箱

38、這種蔬菜不能在該超市銷售” 由題設(shè)知 p(a1)11767，p(a2)11878，p(a3)89，且 a1，a2，a3相互獨立， 所以 p(a)1p(a1)p(a2)p(a3)167788913. (2)設(shè)這 4 箱蔬菜的總收益為隨機變量 x，則 x 的所有可能取值為 1 600，1 17 / 25 000，400，200，800， 且 p(x1 600)c442341301681， p(x1 000)c34233133281， p(x400)c242321322481， p(x200) p(x800)c04230134181. 故 x的分布列為 x 1 600 1

39、000 400 200 800 p 1681 3281 2481 881 181 x的數(shù)學(xué)期望 e(x)1 60016811 00032814002481200881800181800. 2(2020 福州模擬)某學(xué)校八年級共有學(xué)生 400 人，現(xiàn)對該校八年級學(xué)生隨機抽取 50 名進行實踐操作能力測試，實踐操作能力測試結(jié)果分為四個等級水平，一、二等級水平的學(xué)生實踐操作能力較弱，三、四等級水平的學(xué)生實踐操作能力較強，測試結(jié)果統(tǒng)計如下表： 等級 水平一 水平二 水平三 水平四 男生/名 4 8 12 6 女生/名 6 8 4 2 (1)根據(jù)表中統(tǒng)計的數(shù)據(jù)填寫下面 22 列聯(lián)表，并判斷是否有 95%

40、的把握認為學(xué)生實踐操作能力強弱與性別有關(guān)？ 實踐操作能力較弱 實踐操作能力較強 合計 男生/名 女生/名 合計 (2)現(xiàn)從測試結(jié)果為水平一的學(xué)生中隨機抽取 4 名進行學(xué)習(xí)力測試，記抽到水平一的男生的人數(shù)為 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望 18 / 25 下面的臨界值表供參考： p(k2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 參考公式：k2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd），其中 nabcd. 解 (1) 實踐操作能力較弱 實踐操作能力較強 合計 男生

41、/名 12 18 30 女生/名 14 6 20 合計 26 24 50 所以 k250（6121418）230202624225524.3273.841. 所以有 95%的把握認為學(xué)生實踐操作能力強弱與性別有關(guān) (2) 的取值為 0，1，2，3，4. p(0)c46c410114，p(1)c14c36c410821， p(2)c24c26c41037，p(3)c34c16c410435， p(4)c44c4101210. 所以 的分布列為 0 1 2 3 4 p 114 821 37 435 1210 所以 e()01141821237343541210851.6. 3(2020 臨沂質(zhì)檢)

42、在某市高中某學(xué)科競賽中，某一個區(qū) 4 000 名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示 19 / 25 (1)求這 4 000 名學(xué)生的競賽平均成績x (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表) (2)由直方圖可認為考生競賽成績 z 服從正態(tài)分布 n(，2)，其中 ，2分別取考生的平均成績x和考生成績的方差 s2，那么該區(qū) 4 000 名考生的成績超過84.81 分(含 84.81分)的人數(shù)估計有多少？ (3)如果用該區(qū)參賽考生成績的情況來估計全市的參賽考生的成績情況，現(xiàn)從全市參賽考生中隨機抽取 4 名，記成績不超過 84.81 分的考生人數(shù)為 ，求p(3)(精確到 0.001) 附：s2204.75，

43、204.7514.31；0.841 340.501；zn(，2)，則 p(z)0.682 7，p(2z2)0.954 5. 解 (1)由題意知 中點值 45 55 65 75 85 95 頻率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1 x450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5， 這 4 000 名學(xué)生的競賽平均成績x為 70.5分 (2)依題意 z服從正態(tài)分布 n(，2)，其中 x70.5， 2s2204.75，14.31， z 服從正態(tài)分布 n(，2)n(70.5，14.312)， 而 p(z)p(56.19z84.81)0.682 7， p(z8

44、4.81)10.682 720.158 7. 又 0.158 74 000634.8635. 競賽成績超過 84.81分的人數(shù)估計為 635. (3)全市競賽考生的成績不超過 84.81分的概率 p10.158 70.841 3. 而 b(4，0.841 3)，p(3)1p(4)1c440.841 3410.5010.499. 4(2020 廣東名校聯(lián)考)現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情況如下表： 投資股市： 20 / 25 投資結(jié)果 獲利 40% 不賠不賺 虧損 20% 概率 12 18 38 購買基金： 投資結(jié)果 獲利 20% 不賠不賺 虧損 10% 概率 p 13 q (1)當 p1

45、4時，求 q的值 (2)已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進行投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于45，求 p的取值范圍 (3)丙要將家中閑置的 10 萬元錢進行投資，決定在“投資股市”和“購買基金”這兩種方案中選擇一種，已知 p12，q16，那么丙選擇哪種投資方案，才能使得一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大？請說明理由 解 (1)“購買基金”后，投資結(jié)果只有“獲利”、“不賠不賺”、“虧損”三種， 且三種投資結(jié)果相互獨立，p13q1. 又 p14，q512. (2)記事件 a為“甲投資股市且獲利”，事件 b為“乙購買基金且獲利”， 事件 c為“一年后甲、乙兩人中至少有一人投

46、資獲利”， 則 cababab，且 a，b獨立 由題意可知，p(a)12，p(b)p， p(c)p(ab)p(ab)p(ab) 12(1p)12p12p1212p. p(c)1212p45，p35. 又 p13q1，q0，p23. 21 / 25 p 的取值范圍為35，23. (3)假設(shè)丙選擇“投資股市”的方案進行投資，記 x為丙投資股市的獲利金額(單位：萬元)， 隨機變量 x的分布列為 x 4 0 2 p 12 18 38 則 e(x)412018(2)3854. 假設(shè)丙選擇“購買基金”的方案進行投資，記 y 為丙購買基金的獲利金額(單位：萬元)， 隨機變量 y的分布列為 y 2 0 1 p

47、 12 13 16 則 e(y)212013(1)1656. e(x)e(y)，丙選擇“投資股市”，才能使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望較大 5隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應(yīng)運而生某市場研究人員為了了解共享單車運營公司 m 的經(jīng)營狀況，對該公司 6 個月內(nèi)的市場占有率進行了統(tǒng)計，并繪制了相應(yīng)的折線圖 (1)由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月度市場占有率 y 與月份代碼 x之間的關(guān)系求 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程，并預(yù)測 m公司 2017年 4月份(即 x7 時)的市場占有率 22 / 25 (2)為進一步擴大市場，公司擬再采購一批單車現(xiàn)有采購成本分別為 1 000 元/

48、輛和 1 200 元/輛的 a，b兩款車型可供選擇，按規(guī)定每輛單車最多使用 4年，但由于多種原因(如騎行頻率等)會導(dǎo)致車輛使用年限各不相同考慮到公司運營的經(jīng)濟效益，該公司決定先對兩款車型的單車各 100 輛進行科學(xué)模擬測試，得到兩款單車使用年限頻數(shù)表如下： 使用年限 車型 1年 2年 3年 4年 總計 a 20 35 35 10 100 b 10 30 40 20 100 經(jīng)測算，平均每輛單車每年可以帶來收入 500 元不考慮除采購成本之外的其他成本，假設(shè)每輛單車的使用年限都是整數(shù)，且以頻率作為每輛單車使用年限的概率如果你是 m 公司的負責(zé)人，以每輛單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù)，你會選擇采購哪款車型？ 參考公式：回歸直線方程為ybxa，其中bni1xiyinx yni1x2inx2，aybx. 解 (1)由數(shù)據(jù)計算可得x12345663.5， y111316152021616， 由公式計算可得，b2，a1623.59. 所以月度市場占有率 y 與月份代碼 x 之間的線性回歸方程為y2x9. 當 x7時，y27923. 故 m 公司 2017年 4 月份的市場占有率預(yù)計為 23%. (2)由頻率作為概率，每輛 a 款車可使用 1 年，2 年，3 年和