高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)3 第3講　基本不等式

1、1 / 19 第 3講 基本不等式 最新考綱 考向預(yù)測 1.探索并了解基本不等式的證明過程. 2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題. 命題 趨勢 本講是高考的熱點，主要考查利用基本不等式求最值、證明不等式、求參數(shù)的取值范圍等，常與函數(shù)結(jié)合命題，難度中等. 核心 素養(yǎng) 數(shù)學(xué)運算、邏輯推理 1基本不等式： abab2 (1)基本不等式成立的條件：a0，b0. (2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng) ab時取等號 (3)其中ab2稱為正數(shù) a，b 的算術(shù)平均數(shù)， ab稱為正數(shù) a，b 的幾何平均數(shù) 2利用基本不等式求最值 已知 x0，y0，則 (1)如果積 xy 是定值 p，那么當(dāng)且僅當(dāng) xy 時，

2、xy 有最小值是 2 p(簡記：積定和最小) (2)如果和 xy 是定值 s，那么當(dāng)且僅當(dāng) xy 時，xy 有最大值是s24(簡記：和定積最大) 常用結(jié)論 幾個重要的不等式 (1)a2b22ab(a，br)，當(dāng)且僅當(dāng) ab時取等號 2 / 19 (2)abab22(a，br)，當(dāng)且僅當(dāng) ab時取等號 (3)a2b22ab22(a，br)，當(dāng)且僅當(dāng) ab時取等號 (4)baab2(a，b 同號)，當(dāng)且僅當(dāng) ab時取等號 常見誤區(qū) 1應(yīng)用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”忽略任何一個條件，就會出錯； 2在利用不等式求最值時，一定要盡量避免多次使用基本不等式若必須多次使用，則一定要保證它

3、們等號成立的條件一致 1判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)函數(shù) yx1x的最小值是 2.( ) (2)abab22成立的條件是 ab0.( ) (3)“x0且 y0”是“xyyx2”的充要條件( ) (4)若 a0，則 a31a2的最小值是 2 a.( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 2(易錯題)若 x0，則 x1x( ) a有最小值，且最小值為 2 b有最大值，且最大值為 2 c有最小值，且最小值為2 d有最大值，且最大值為2 解析：選 d.因為 x0，x1x2 12，當(dāng)且僅當(dāng) x1時，等號成立，所以 x1x2. 3若函數(shù) f(x)x1x2(x2)在 xa處取最小值，則

4、 a ( ) 3 / 19 a1 2 b1 3 c3 d4 解 析 ： 選c. 當(dāng)x2時 ， x 20 ， f(x) (x 2) 1x222（x2）1x224，當(dāng)且僅當(dāng) x21x2(x2)，即 x3 時取等號，即當(dāng) f(x)取得最小值時，x3，即 a3，故選 c. 4設(shè) 0 x1，則函數(shù) y2x(1x)的最大值為_ 解析：y2x(1x)2x1x2212. 當(dāng)且僅當(dāng) x1x，即 x12時，等號成立 答案：12 5若把總長為 20 m 的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_m2. 解析：設(shè)一邊長為 x m，則另一邊長可表示為(10 x)m，由題知 0 x1)，當(dāng) xa時，y取得4 / 1

5、9 最小值 b，則 2a3b( ) a9 b7 c5 d3 (2)已知 0 x1，所以 x10， 所以 yx49x1x19x15 2x19x151， 當(dāng)且僅當(dāng) x19x1， 即 x2時取等號， 所以 y 取得最小值 b1，此時 xa2， 所以 2a3b7. (2)x(43x)13 (3x)(43x)133x（43x）2243， 當(dāng)且僅當(dāng) 3x43x， 即 x23時，取等號 【答案】 (1)b (1)23 通過配湊法利用基本不等式求最值的策略 拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個方面的問題： (1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以

6、及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形； (2)代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標(biāo)； (3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提 技法二 常數(shù)代換法求最值 5 / 19 已知 a0，b0，ab1，則11a 11b的最小值為_ 【解析】 11a 11b1aba1abb2ba2ab52baab549.當(dāng)且僅當(dāng) ab12時，取等號 【答案】 9 【引申探究】 1(變問法)若本例中的條件不變，則1a1b的最小值為_ 解析：因為 a0，b0，ab1， 所以1a1babaabb2baab22 baab4，即1a1b的最小值為 4，當(dāng)且僅當(dāng) ab12時等號成立 答案：4 2(變條件)若本例條件變?yōu)椋阂阎?

7、a0，b0，4ab4，則11a 11b的最小值為_ 解析：由 4ab4 得 ab41， 11a 11b 1ab4a1ab4b 2b4a 54ab 522ab5b16a14114258114102.當(dāng)且僅當(dāng) 4 2a 5b時取等號 答案：114102 常數(shù)代換法求最值的步驟 (1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))； (2)把確定的定值(常數(shù))變形為 1； (3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積的形式； 6 / 19 (4)利用基本不等式求解最值 技法三 消元法求最值 (2020 高考江蘇卷)已知 5x2y2y41(x，yr)，則 x2y2的最小值是_ 【解析】 方

8、法一：由 5x2y2y41 得 x215y2y25，則 x2y215y24y25215y24y2545，當(dāng)且僅當(dāng)15y24y25，即 y212時取等號，則 x2y2的最小值是45. 方法二：4(5x2y2) 4y2（5x2y2）4y222254(x2y2)2，則 x2y245，當(dāng)且僅當(dāng) 5x2y2 4y22，即 x2310，y212時取等號，則 x2y2的最小值是45， 【答案】 45 消元法求最值的方法 消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解但應(yīng)注意保留元的范圍 1設(shè) x，yr，且 xy0，則x2

9、4y21x2y2的最小值為( ) a9 b9 c10 d0 解析：選 b.x24y21x2y254x2y2x2y2524x2y2x2y29， 當(dāng)且僅當(dāng) xy 2時，上式取得等號，可得最小值為 9. 2(2021 湖北八校第一次聯(lián)考)已知 x0，y0，且1x9y1，則 xy 的最小值為( ) a12 b16 c20 d24 7 / 19 解析：選 b.由題意知 xy1x9y(xy)1yx9xy912yx9xy916，當(dāng)且僅當(dāng)x0y01x9y1yx9xy，即x4y12時取等號，故選 b. 3設(shè)正實數(shù) x，y，z 滿足 x23xy4y2z0，則當(dāng)zxy取得最小值時，x2yz 的最大值為( ) a0

10、b98 c2 d94 解析：選 c.zx24y23xy2(x 2y)3xyxy，當(dāng)且僅當(dāng) x2y 時等號成立，此時zxy取得最小值，于是 x2yz2y2y2y22y(2y)2y2y222，當(dāng)且僅當(dāng) y1 時等號成立，綜上可得，當(dāng) x2，y1，z2 時，x2yz取得最大值 2. 利用基本不等式解決實際問題 經(jīng)測算，某型號汽車在勻速行駛過程中每小時耗油量 y(l)與速度x(km/h)(50 x120)的關(guān)系可近似表示為y175（x2130 x4 900），x50，80），12x60，x80，120. 當(dāng)該型號汽車的速度為_km/h 時，每小時耗油量最少，最少為每小時_l. 【解析】 當(dāng) x50，8

11、0)時，y175(x2130 x4 900)175(x65)2675， 所以當(dāng) x65時，y 取得最小值，最小值為1756759. 8 / 19 當(dāng) x80，120時，函數(shù) y12x60單調(diào)遞減， 故當(dāng) x120時，y 取得最小值，最小值為 121206010. 因為 93，y3， 則 yab33a3， 所以 s(x2)a(x3)b(3x8)a (3x8)y331 8083x83y 1 8083x831 800 x 9 / 19 1 8083x4 800 x1 80823x4 800 x 1 8082401 568，當(dāng)且僅當(dāng) 3x4 800 x，即 x40，y45時等號成立，s 取得最大值，

12、所以當(dāng) x40，y45時，s取得最大值為 1 568. 答案：1 568 思想方法系列 2 應(yīng)用基本不等式的常見技巧 基本不等式的一個主要功能就是求兩個正變量和與積的最值，即所謂“和定積最大，積定和最小”但有的題目需要利用基本不等式的變形式求最值，有的需要對待求式作適當(dāng)變形后才可求最值常見的變形技巧有以下幾種： 技巧一 加上一個數(shù)或減去一個數(shù)使和或積為定值 函數(shù) f(x)4x3x(x3)的最大值是( ) a4 b1 c5 d1 思路點撥 由于已知條件 x3，x30，先將 f(x)轉(zhuǎn)化為 f(x)43x（3x）3，再用基本不等式求最值 【解析】 因為 x0，所以 f(x)43x（3x）3243x

13、 （3x）31.當(dāng)且僅當(dāng)43x3x，即 x1 時等號成立，所以f(x)的最大值是1. 【答案】 d 技巧二 平方后再使用基本不等式 一般地，含有根式的最值問題，首先考慮平方后求最值 若 x0，y0，且 2x2y238，求 x 62y2的最大值 思路點撥 由于已知條件式中有關(guān) x，y 的式子均為平方式，而所求式中 x10 / 19 是一次的，且根號下 y 是二次的，因此考慮平方后求其最值 【解】 (x 62y2)2x2(62y2)3 2x21y2332x21y23223922.當(dāng)且僅當(dāng) 2x21y23，即 x32，y422時，等號成立故 x 62y2的最大值為923. 技巧三 展開后求最值 對于

14、求多項式積的形式的最值，可以考慮展開后求其最值 已知 a0，b0且 ab2，求1a11b1 的最小值 思路點撥 由于待求式是一個積的形式，因此需將多項式展開后將積的最小值轉(zhuǎn)化為和的最小值 【解】 由題得1a11b1 1ab1a1b11ababab13ab1， 因為 a0，b0，ab2，所以 22 ab，所以 ab1，所以1ab1.所以1a111b4(當(dāng)且僅當(dāng) ab1時取等號)，所以1a11b1 的最小值是 4. 技巧四 形如f（x）g（x）型函數(shù)變形后使用基本不等式 若 yf（x）g（x）中 f(x)的次數(shù)小于 g(x)的次數(shù)，可取倒數(shù)后求其最值 求函數(shù) y（x5）（x2）x1(x1)的值域

15、思路點撥 將(x5)(x2)用(x1)來表示再變形為 f(x)axbxc 的形式，然后運用基本不等式求解 【解】 因為 y（x5）（x2）x1x27x10 x1 （x1）25（x1）4x1x14x15， 11 / 19 當(dāng) x10 時，即 x1 時，y2（x1）4x159(當(dāng)且僅當(dāng) x1 時取等號)； 當(dāng) x10，即 x1 時，y52（x1）4x11(當(dāng)且僅當(dāng) x3 時取等號) 所以函數(shù)的值域為(，19，) 技巧五 用“1”的代換法求最值 若 a，b 為常數(shù)，且 0 x1，求 f(x)a2xb21x的最小值 思路點撥 根據(jù)待求式的特征及 0 x0，1x0.又 1x(1x)，因此可考慮利用“1”

16、的代換法 【解】 因為 0 x0. 所以a2xb21xa2xb21x(x1x)a2xx(1x)b21x x(1x) a2a2（1x）xb2x1xb2a2b22ab(ab)2. 當(dāng)且僅當(dāng)a2（1x）xb2x1x時，等號成立 所以a2xb21x(ab)2. 故函數(shù) f(x)的最小值為(ab)2. 技巧六 代換減元求最值 (2021 天津模擬)已知 a0，b0，c0，若點 p(a，b) 在直線 xyc2 上，則4ababc的最小值為_ 思路點撥 本題由已知條件求出 a，b，c 的關(guān)系，再利用均值不等式求最值 12 / 19 【解析】 因為 p(a，b)在 xyc2 上， 所以 abc2，ab2c0，

17、 4ababc42c2cc42c2c1， 設(shè)2cm，cn，則 mn2， 42c2c4m2nmn24m2n 32nmmn32 2nmmn32 2， 當(dāng)且僅當(dāng) m22n2，即 c2 22 時，等號成立， 所以42c2c132 2122 2， 即4ababc的最小值為 22 2. 【答案】 22 2 a級 基礎(chǔ)練 1函數(shù) f(x)x24|x|的最小值為( ) a3 b4 c6 d8 解析：選 b.f(x)x24|x|x|4|x|2 44， 當(dāng)且僅當(dāng) x 2 時，等號成立，故選 b. 2若 x0，y0，則“x2y2 2xy”的一個充分不必要條件是( ) axy bx2y cx2且 y1 dxy 或 y

18、1 解析：選 c.因為 x0，y0， 13 / 19 所以 x2y2 2xy，當(dāng)且僅當(dāng) x2y 時取等號 故“x2且 y1”是“x2y2 2xy”的一個充分不必要條件故選 c. 3若實數(shù) a，b 滿足1a2b ab，則 ab 的最小值為( ) a. 2 b2 c2 2 d4 解析：選 c.因為1a2b ab，所以 a0，b0， 由 ab1a2b21a2b22ab， 所以 ab2 2(當(dāng)且僅當(dāng) b2a時取等號)， 所以 ab 的最小值為 2 2. 4(多選)(2021 山東臨沂蒙陰實驗中學(xué)期末)給出下面四個推斷，其中正確的為( ) a若 a，b(0，)，則baab2 b若 x，y(0，)，則 l

19、g xlg y2 lg xlg y c若 ar，a0，則4aa4 d若 x，yr，xy0，則xyyx2 解析：選 ad.對于 a 項，因為 a，b(0，)，所以baab2baab2，當(dāng)且僅當(dāng)baab，即 ab 時取等號，故 a 項正確；對于 b 項，當(dāng) x，y(0，1)時，lg x，lg y(，0)，此時 lg xlg y2 lg xlg y顯然不成立，故 b項錯誤；對于 c 項，當(dāng) a0 時，4aa4 顯然不成立，故 c 項錯誤；對于 d 項，若x ， y r ， xy0 ， xy0 ， 所 以xyyx xyyx 2xyyx2，當(dāng)且僅當(dāng)xyyx，即 xy 時取等號，故 d 項正確故選 ad.

20、 5(多選)(2020 新高考卷)已知 a0，b0，且 ab1，則( ) 14 / 19 aa2b212 b2ab12 clog2alog2b2 d. a b 2 解析：選 abd.對于選項 a，因為 a2b22ab，所以 2(a2b2)a2b22ab(ab)21，所以 a2b212，正確；對于選項 b，易知 0a1，0b1，所以1ab2112，正確；對于選項 c，令 a14，b34，則 log214log2342log2340，b0，2ab4，則3ab的最小值為_ 解析：因為 2ab4，a0，b0，所以3ab62ab62ab226432，當(dāng)且僅當(dāng) 2ab2，即 a1，b2 時取“”，所以3a

21、b的最小值為32. 答案：32 7函數(shù) yx22x1(x1)的最小值為_ 解析：因為 x1，所以 x10， 所以 yx22x1（x22x1）（2x2）3x1 （x1）22（x1）3x1 (x1)3x122 32. 當(dāng)且僅當(dāng) x13x1，即 x 31時，等號成立 答案：2 32 8 若a0 ， b0 ， 且a 2b 4 0 ， 則ab的 最 大 值 為15 / 19 _， 1a2b的最小值為_ 解析：因為 a0，b0，且 a2b40，所以 a2b4，所以 ab12a 2b12a2b222，當(dāng)且僅當(dāng) a2b，即 a2，b1 時等號成立，所以 ab的最大值為 2，因為1a2b1a2ba2b414(5

22、2ba2ab)14522ba2ab94，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時等號成立，所以1a2b的最小值為94. 答案：2 94 9(1)當(dāng) x32時，求函數(shù) yx82x3的最大值； (2)設(shè) 0 x2，求函數(shù) y x（42x）的最大值 解：(1)y12(2x3)82x332 32x2832x32. 當(dāng) x0， 所以32x2832x232x2832x4， 當(dāng)且僅當(dāng)32x2832x， 即 x12時取等號 于是 y43252， 故函數(shù)的最大值為52. (2)因為 0 x0， 所以 y x（42x） 2 x（2x） 2x2x2 2，當(dāng)且僅當(dāng) x2x， 16 / 19 即 x1時取等號， 所以當(dāng) x1時，函數(shù) y x

23、（42x）的最大值為 2. 10已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求 (1)xy 的最小值； (2)xy 的最小值 解：(1)由 2x8yxy0， 得8x2y1， 又 x0，y0， 則 18x2y2 8x2y8xy. 得 xy64， 當(dāng)且僅當(dāng) x16，y4時，等號成立 所以 xy 的最小值為 64. (2)由 2x8yxy0，得8x2y1， 則 xy8x2y (xy) 102xy8yx102 2xy8yx18. 當(dāng)且僅當(dāng) x12，y6時等號成立， 所以 xy 的最小值為 18. b級 綜合練 11若 a0，b0，lg alg blg(ab)，則 ab的最小值為( ) a8 b6 c4 d2

24、 解析：選 c.由 lg alg blg(ab)，得 lg(ab)lg(ab)，即 abab，則有1a1b1，所以 ab1a1b(ab)2baab22baab4，當(dāng)且僅當(dāng) a17 / 19 b2 時等號成立，所以 ab 的最小值為 4，故選 c. 12已知點 a(1，2)在直線 axby10(a0，b0)上，若存在滿足該條件的 a，b，使得不等式1a2bm28m成立，則實數(shù) m的取值范圍是( ) a(，19，) b(，91，) c1，9 d9，1 解析：選 b.點 a(1，2)在直線 axby10(a0，b0)上，可得 a2b1，1a2b(a2b)1a2b52ab2ba522ab2ba9， 當(dāng)且僅當(dāng) ab13時取得等號，即1a2b的最小值為 9，則 9m28m，解得m1 或 m9. 13設(shè) a，b 為正實數(shù)，且1a1b2 2. (1)求 a2b2的最小值； (2)若(ab)24(ab)3，求 ab的值 解：(1)由 2 21a1b21ab得 ab12，當(dāng)且僅當(dāng) ab22時取等號，故a2b22ab1，當(dāng)且僅當(dāng) ab22時取等號，所以 a2b2的最小值是 1. (2)由(ab)24(ab)3得1a1b24ab，得1a1b24ab4ab，從而 ab1ab2，又 ab1ab2，所以 ab1