測(cè)與可測(cè)函數(shù)實(shí)用教案

1、 第一節(jié)第一節(jié) 直線上點(diǎn)集的勒貝格測(cè)度直線上點(diǎn)集的勒貝格測(cè)度(c du)與可測(cè)函數(shù)與可測(cè)函數(shù)勒貝格測(cè)度勒貝格測(cè)度(c du)與勒貝格可測(cè)集與勒貝格可測(cè)集可測(cè)函數(shù)可測(cè)函數(shù)(hnsh)測(cè)度：歐氏空間中長(zhǎng)度、面積和體積概念的推廣可測(cè)函數(shù)列的極限問(wèn)題可測(cè)函數(shù)列的極限問(wèn)題第1頁(yè)/共29頁(yè)第一頁(yè)，共30頁(yè)。 一、點(diǎn)集的勒貝格測(cè)度(c du)與可測(cè)集1. 幾個(gè)特殊(tsh)點(diǎn)集的測(cè)度(1) 設(shè)設(shè)E為直線為直線R上的有限區(qū)間上的有限區(qū)間a,b(或或(a,b)或或a,b)或或(a,b), 則其測(cè)度則其測(cè)度(c du)定義定義為：為：m(E)=m(a,b)=b-a.(2) 設(shè)E為平面上有界閉區(qū)域D, 則其測(cè)度定義

2、為: m(E)=SD(4) 若E = ，則定義m(E)=m( )= 0(3) 設(shè)E為空間上有界閉區(qū)域 , 則其測(cè)度定義為:m(E)=V (6) 若E為一隨機(jī)事件，則定義m(E)=P(E) (古典概率）(5) 若E=x是單點(diǎn)集，則定義m(E)=0第2頁(yè)/共29頁(yè)第二頁(yè)，共30頁(yè)。2.直線(zhxin)上非空有界開(kāi)集與有界閉集的測(cè)度定義(dngy)1 設(shè)E R非空點(diǎn)集，a R.(1) 設(shè) 0, 稱開(kāi)區(qū)間(a , a + )=O(a, )為a 的鄰域(ln y)。直線上包含a的任一開(kāi)區(qū)間( , )均可稱為點(diǎn)a的鄰域(2) 設(shè)a E, 若存在a的一個(gè)鄰域(, ),使得( , ) E，則稱a是E的內(nèi)點(diǎn)；

3、定義2 設(shè)E R非空點(diǎn)集. 如果E中的所有點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E是開(kāi)集；定義3 設(shè)G是直線R上的一個(gè)有界開(kāi)集。如果開(kāi)區(qū)間( , ) 滿足條件: 1) ( , ) G 2) G, G則稱( , )為開(kāi)集G 的一個(gè)構(gòu)成區(qū)間第3頁(yè)/共29頁(yè)第三頁(yè)，共30頁(yè)。定義4 設(shè)G為直線(zhxin)R上的有界開(kāi)集(即(a,b)G), (ai,bi)(iI)為G的構(gòu)成區(qū)間，則定義 m(G)=(biai) (0m(G)0, x0 則稱則稱 為為A的的上確界上確界, 記作：記作：Asup（2）如果存在一個(gè)實(shí)數(shù) ，滿足： 1） x A ，有x ； （2） 0, x0 + ,則稱 為A的下確界, 記作：Ainf如果a為數(shù)集

4、A的上（下）確界，則存在數(shù)列xn A, 使得 axnn lim定理定理(dngl)2(dngl)2（確界存在公理）任何有上（下）界的數(shù)集必有上（下）確界。（確界存在公理）任何有上（下）界的數(shù)集必有上（下）確界。 3.直線上一般(ybn)有界點(diǎn)集的勒貝格（Lebesgue)測(cè)度第5頁(yè)/共29頁(yè)第五頁(yè)，共30頁(yè)。3.直線(zhxin)上一般有界點(diǎn)集的勒貝格（Lebesgue)測(cè)度定義(dngy)7 設(shè)ER為任一有界集.(1) 稱一切稱一切(yqi)包含包含E的有界開(kāi)集的測(cè)度的下確界為的有界開(kāi)集的測(cè)度的下確界為E的的L外測(cè)度，記為外測(cè)度，記為m*(E), 即即m*(E)=inf m(G)| G為有界

5、開(kāi)集為有界開(kāi)集, E G (2) 稱一切包含于稱一切包含于E的有界集的測(cè)度的上確界為的有界集的測(cè)度的上確界為E的的L內(nèi)測(cè)度內(nèi)測(cè)度，記為，記為m (E), 即即m (E)= supm(F)| F為有界閉集為有界閉集, F E(3) 如果如果m (E)=m (E), 則稱則稱E的內(nèi)測(cè)度與外測(cè)度的共同值為的內(nèi)測(cè)度與外測(cè)度的共同值為E的的L測(cè)度測(cè)度，記為，記為m(E), 即即這時(shí)這時(shí), 也稱也稱E是是勒貝格可測(cè)集勒貝格可測(cè)集(簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱L可測(cè)集可測(cè)集) m(E)=m*(E)=m (E)第6頁(yè)/共29頁(yè)第六頁(yè)，共30頁(yè)。注:1)對(duì)于對(duì)于(duy)有界開(kāi)集有界開(kāi)集G, 有有m(G)=m*(G)2)對(duì)于對(duì)于(

6、duy)有界閉集有界閉集F, 有有m(F)=m(F)3)對(duì)于對(duì)于(duy)任一非空有界集任一非空有界集E, 有有m(E)m*(E) (根根據(jù)定義據(jù)定義)第7頁(yè)/共29頁(yè)第七頁(yè)，共30頁(yè)。定理(dngl)3 設(shè)X=(a,b)是基本集(有界), E, EiX (i=1,2,)均為有界可測(cè)集, 則有EC=X-E、E1E2、E1E2、E1-E2、Ei、Ei均可測(cè)，且1) m(E) 0, 且E= 時(shí), m(E)=0 (非負(fù)性) 3) m(E1 E2) m(E1)+m(E2) (次可加性次可加性) 2)若若E1E2, 則則 m(E1) m(E2) (單調(diào)單調(diào)(dndio)性性) m(E2E1)=m(E2)

7、-m(E1) 4.可測(cè)集的性質(zhì)(xngzh)4) 若若E1 E2= , 則則m(E1 E2)=m(E1)+m(E2) (有限可加性有限可加性) 5) 若若Ei Ej= (i j, i,j=1,2,), 則則m( Ei)= m(Ei)(可列可加性)第8頁(yè)/共29頁(yè)第八頁(yè)，共30頁(yè)。1) 若若E1 E2 Ek , 則則E= Ek可測(cè)可測(cè), m(E)=lim m(Ek)定理(dngl)4 設(shè)X=(a,b)是基本集, Ek是X上的可測(cè)集列。2) 若若E1 E2 Ek , 則則E= Ek可測(cè)可測(cè), m(E)=lim m(Ek)定理(dngl)5 設(shè)ER有界, 則E 可測(cè)存在開(kāi)集G和閉集F,使 FEG,

8、且m(G-F)0, 開(kāi)集G和閉集F,使F E G, 且m(G-F)0, 開(kāi)集G E 和閉集F E,使)()()(FmGmFGm)()()(FGmFmGmm(F) m (E) m (E) m(G) m (E)-m (E)m(G)-m(F)0, 有界集(-x, x)E可測(cè), 則稱E是可測(cè)的. 并記),(lim)(ExxmEmx注:1)無(wú)界點(diǎn)集的測(cè)度可能是有限值, 也可能是無(wú)窮大. 例如, 有理數(shù)集Q是無(wú)界的零測(cè)集, E=(0,+ )是測(cè)度為+ 的可測(cè)集.2)對(duì)于無(wú)界集, 上述定理3的結(jié)論也成立.第11頁(yè)/共29頁(yè)第十一頁(yè)，共30頁(yè)。2）L可測(cè)集類與波賴爾(Borel)集定義5 (1) R中所有L可

9、測(cè)集構(gòu)成(guchng)的集合稱為L(zhǎng)可測(cè)集類.(2) 對(duì)R中的開(kāi)集和并集進(jìn)行至多可列次的交、并、差運(yùn)算所得到的集合(jh)稱為波賴爾(Borel)集. 所有波賴爾(Borel)集都是L可測(cè)集.注：大多數(shù)集合都是L可測(cè)集，但L不可測(cè)集確實(shí)(qush)存在.第12頁(yè)/共29頁(yè)第十二頁(yè)，共30頁(yè)。 二、點(diǎn)集上的勒貝格可測(cè)函數(shù)(hnsh)1.可測(cè)函數(shù)(hnsh)的定義定義6 設(shè)ER為任一可測(cè)集（有界或無(wú)界）, f(x)為定義在E上的實(shí)值函數(shù).若R, E的子集(z j) E(f )=x|f(x), xE都是L有限可測(cè)集, 則稱f (x)是E上的L可測(cè)函數(shù) E(f )=x1,x2 x3,bE(f )=x4

10、,x5xof (x)abx1x2x3x4x5第13頁(yè)/共29頁(yè)第十三頁(yè)，共30頁(yè)。2. 函數(shù)可測(cè)的充分(chngfn)必要條件定理(dngl)4 f(x)在可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)，即E(f )可測(cè), R, E(f )=x|f(x) , x E可測(cè) R, E(f= )=x|f(x)= , x E可測(cè)R, E(f )=x|f(x) )=x|f(x) , x E可測(cè) 證:(1) E(f )=E(f)-E(f)可測(cè) E(f)= E(f )(4) E(f )= f )= E(f+1/n), E(f)= E(f 1/n)第14頁(yè)/共29頁(yè)第十四頁(yè)，共30頁(yè)。例5 定義(dngy)在R上連續(xù)函數(shù)都是L可測(cè)函數(shù)

11、. f(x)連續(xù)(linx)x0E(f)R, f(x)f(x0) (xx0)O(x0, ), 使 x O(x0, ), 有f(x) ，即x E(f ) (極限(jxin)保號(hào)性）證： x0 E(f )f(x0) (只要證明R, 集E(f )是開(kāi)集, 則它一定是可測(cè)集)f(x)是可測(cè)函數(shù)O(x0, ) E(f )x0 是E(f )的內(nèi)點(diǎn)， E(f )是開(kāi)集E(f )是可測(cè)集第15頁(yè)/共29頁(yè)第十五頁(yè)，共30頁(yè)。例6 區(qū)間(q jin)0,1上的狄里克來(lái)函數(shù)D(x)是L可測(cè)函數(shù).證:D(x)=1, x為0,1中的有理數(shù)0, x為0,1中的無(wú)理數(shù)當(dāng) 1時(shí), E(D )= 是可測(cè)集, 當(dāng)0時(shí), E(D

12、 )=0,1是可測(cè)集. 因此(ync), D(x)是L可測(cè)函數(shù)當(dāng)0 )=x| x為0,1中的有理數(shù)是可測(cè)集, 第16頁(yè)/共29頁(yè)第十六頁(yè)，共30頁(yè)。例7 定義在零測(cè)集E上的任何(rnh)函數(shù)f(x)都是L可測(cè)函數(shù).證: R, E(f )=x|f(x) , x E E f(x)是可測(cè)函數(shù)(hnsh)m(E(f )=0m(E(f ) m(E)=0E(f )也是零測(cè)集第17頁(yè)/共29頁(yè)第十七頁(yè)，共30頁(yè)。例8 集E的特征函數(shù)(hnsh)E(x)是R上的可測(cè)函數(shù)(hnsh).證: E(x)=1, x E0, x E定理(dngl)6 f(x)、g(x)是E上的可測(cè)函數(shù) kf(x)、f(x)g(x)、f

13、(x)g(x)、f(x)/g(x)(g(x) 0)、及f(x)都E上的可測(cè)函數(shù)(hnsh)當(dāng) 1時(shí), E( E)= 是可測(cè)集, 當(dāng)0時(shí), E( E)=R是可測(cè)集當(dāng)00, x E, N=N( ), 當(dāng)nN時(shí), 有fn(x)-f(x)0, x E, N=N(x, ),當(dāng)nN時(shí), 有fn(x)-f(x) N時(shí), 曲線列fn(x)的圖形(txng)都在曲線 f(x)的帶形鄰域內(nèi).f(x)fn(x)oxyab fn(x) f(x) (n)第20頁(yè)/共29頁(yè)第二十頁(yè)，共30頁(yè)。fn(x)=xnoxyx11x2n=1n=2n=10n=20 x (0,1)時(shí), fn(x)=xn0 (n)fn(x)=xn 0

14、(n)xNnxnlnln0N既與 有關(guān),又與x有關(guān),要使曲線fn(x)=xn上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落到極限(jxin)函數(shù)f(x)=0的 帶形鄰域內(nèi),在x1處,只要 n 2即可,而在x2處,則要n 10才行3) fn(x)一致收斂于一致收斂于f(x)fn(x)一處處斂于一處處斂于f(x), 反之反之(fnzh)不然。例如不然。例如第21頁(yè)/共29頁(yè)第二十一頁(yè)，共30頁(yè)。在點(diǎn)集E上, 函數(shù)(hnsh)列fn(x)一致收斂于f(x)例 證明函數(shù)列在E=0.1上一致收斂于0.,.2 , 1,1)(22 nxnxxfn證: 2121210)(022Nnnnxxxnxxfn定理(dngl)6 (柯西定理(dngl)

15、 x E, fn(x)是基本(jbn)列 。0, x E, N=N( ), 當(dāng)m, nN時(shí), 有fm(x)-fn(x)0, lim m(Ex fn(x)-f(x)=0fn(x)在集E上依測(cè)度(c du)收斂于f(x)0, 0, N, 當(dāng)當(dāng)nN時(shí)時(shí), 有有m(E(fn(x)-f(x)0, 可測(cè)子集E E, 使m(E-E), 且fn(x)在E 上一致收斂于f(x), 則稱fn(x)在E上近一致收斂于f(x) .m記作 fn(x)f(x) 第26頁(yè)/共29頁(yè)第二十六頁(yè)，共30頁(yè)。定理定理10 設(shè)設(shè)fn(x)是可測(cè)集是可測(cè)集E上的幾乎上的幾乎(jh)處處有限的可測(cè)函數(shù)列處處有限的可測(cè)函數(shù)列, f(x)

16、是定義在是定義在E上的幾上的幾乎乎(jh)處處有限的可測(cè)函數(shù)處處有限的可測(cè)函數(shù), 且且lim fn(x)=f(x) (a.e.), 則則定理11 (Riesz定理) 設(shè)m(E), 則 fn(x)在E上依測(cè)度(c du)收斂于f(x) 子列fnk(x)fn(x), 使fnk(x)f(x) (a.e.) (k)(2) fn(x)在E上依測(cè)度收斂(shulin)于f(x). (勒貝格定理) (1) fn(x)在E上近一致收斂于f(x). (葉果洛夫定理) 第27頁(yè)/共29頁(yè)第二十七頁(yè)，共30頁(yè)。fn(x)幾乎(jh)處處收斂于f(x)fn(x)近一致(yzh)收斂于f(x)fn(x)依測(cè)度(c du)收斂于f(x)fn(x)中存在幾乎處處收斂于f(x)的子列fnk(x)fn(x)處處收