泛函讀書筆記(下)

1、第一章 預(yù)備知識(shí)第一節(jié) 極限點(diǎn)和閉集一、極限點(diǎn)1、 定義：極限點(diǎn)：假設(shè)：度量空間，中的點(diǎn)集， 如果：對(duì)于的任何一個(gè)環(huán)境 都有： 則稱：的極限點(diǎn)2、 性質(zhì)、性質(zhì)：內(nèi)點(diǎn)是極限點(diǎn)，孤立點(diǎn)不是極限點(diǎn)、證明：的內(nèi)點(diǎn)的一個(gè)環(huán)境 對(duì)于的任何一個(gè)環(huán)境如果：如果：、歸納：點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)邊緣點(diǎn)孤立點(diǎn)，極限點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)邊緣點(diǎn)3、 等價(jià)定理、定理：假設(shè)：度量空間，中的點(diǎn)集，、的極限點(diǎn)、各不相同的、對(duì)于的任何一個(gè)環(huán)境，含有的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)、證明： 的極限點(diǎn)對(duì)于的任何一個(gè)環(huán)境，都有 對(duì)于的任何一個(gè)環(huán)境，都有在度量空間中， 、證明： 反證法：假設(shè)含有有限多個(gè)不同的點(diǎn)的一個(gè)環(huán)境，【剔除有限個(gè)點(diǎn)】但是對(duì)于，當(dāng)時(shí)， 矛盾含有無(wú)窮多個(gè)不同的點(diǎn)各不相

2、同的子點(diǎn)列、證明：各不相同的對(duì)于的任何一個(gè)環(huán)境的內(nèi)點(diǎn)的一個(gè)環(huán)境 對(duì)于，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，含有無(wú)窮多個(gè)含有的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)【】、證明：對(duì)于的任何一個(gè)環(huán)境，含有的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)的任何一個(gè)環(huán)境，含有的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，含有的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)二、閉集1、 基本概念、定義：的導(dǎo)集的所有極限點(diǎn)、定義：的閉包、定義：閉集，如果2、 分析、內(nèi)點(diǎn)邊緣點(diǎn)孤立點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)邊緣點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)邊緣點(diǎn) 邊緣點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)邊緣點(diǎn)孤立點(diǎn)3、 等價(jià)定理、定理：假設(shè)：度量空間，中的點(diǎn)集，、對(duì)于的任何一個(gè)環(huán)境，含有的點(diǎn)、證明： 或者 如果：對(duì)于的任何一個(gè)環(huán)境，含有的點(diǎn) 如果：的極限點(diǎn)對(duì)于的任何一個(gè)環(huán)境，含有的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)、證明：對(duì)于的任何一個(gè)環(huán)境，含有的點(diǎn) 對(duì)于的任何一個(gè)

3、環(huán)境，含有的點(diǎn)對(duì)于的任何一個(gè)環(huán)境，含有的點(diǎn) 、證明： 如果： 如果：的極限點(diǎn)4、 核心定理、定理：閉集、證明：必要性：反證法：假設(shè)的極限點(diǎn)閉集矛盾充分性：反證法：假設(shè)閉集閉集的極限點(diǎn)矛盾5、 性質(zhì)、性質(zhì)：閉集、證明：閉集的極限點(diǎn)對(duì)于的任何一個(gè)環(huán)境，都有的極限點(diǎn)對(duì)于的任何一個(gè)環(huán)境，構(gòu)造的環(huán)境滿足：的極限點(diǎn)閉集、證明：閉集：證明同上6、 性質(zhì)、性質(zhì)：閉集、證明：首先證明：閉集 的極限點(diǎn) 對(duì)于的任何一個(gè)環(huán)境，都有對(duì)于的任何一個(gè)環(huán)境，都有的極限點(diǎn)：閉集、推論：包含的最小閉集、證明：假設(shè)：包含的最小閉集閉集，包含的閉集【最小】 包含的閉集閉集，【定理】 7、 性質(zhì)、性質(zhì)：閉集、證明：必要性：閉集 充分性

4、：閉集8、 基本概念、定義：如果：賦范線性空間，中的點(diǎn)集 則稱：由張成的線性子空間 中向量的所有可能的線性組合、定義：由張成的閉線性子空間第二節(jié) Holder不等式和Minkowski不等式1、 定義：共軛指標(biāo)：如果： 并且： 則稱：一對(duì)共軛指標(biāo)2、 引理、公式：其中：一對(duì)共軛指標(biāo)，、證明：假設(shè)： 3、 Holder不等式、公式：其中：一對(duì)共軛指標(biāo)，【實(shí)數(shù)點(diǎn)列】、證明：如果：或者或者結(jié)論成立：否則：令 4、 Minkowski不等式、公式：其中：，、證明：令的共軛指標(biāo)5、 積分形式的Holder不等式和Minkowski不等式、Holder不等式、Minkowski不等式第三節(jié) 和一、定義1、

5、 定義：2、 定義：二、線性空間1、 性質(zhì)：線性空間、思路：定義加法：函數(shù)相加，定義數(shù)乘：函數(shù)數(shù)乘：兩種運(yùn)算保持封閉：滿足8條規(guī)則、證明：加法封閉： 2、 性質(zhì)：線性空間、思路：定義加法：數(shù)列相加，定義數(shù)乘：數(shù)列數(shù)乘、證明：同上三、賦范線性空間1、 性質(zhì)：賦范線性空間、定義：、證明：滿足范數(shù)的3條性質(zhì) ：齊次性：三角不等式：【Minkowski不等式】：正定性：2、 性質(zhì)：賦范線性空間、定義：、證明：同上四、Banach空間1、性質(zhì)：Banach空間2、證明：詳見(jiàn)夏道行P61五、Hilbert空間1、 性質(zhì)：Hilbert線性空間、定義：、證明：滿足內(nèi)積的3條性質(zhì)：共軛對(duì)稱性：第一變?cè)木€性：

6、正定性： 2、 性質(zhì)：Hilbert線性空間、定義：、證明：同上3、 性質(zhì)：不是Hilbert空間第二章 Hilbert空間第一節(jié) 極限和連續(xù)性1、 度量空間、定義：、性質(zhì)：距離的連續(xù)性：2、 賦范線性空間、定義：、性質(zhì)：范數(shù)的連續(xù)性：3、 內(nèi)積空間、定義：【利用內(nèi)積定義范數(shù)，再利用范數(shù)定義極限】、性質(zhì)：內(nèi)積的連續(xù)性：第二節(jié) 投影定理一、正交和投影1、 基本概念、定義：、定義：對(duì)于、定義：對(duì)于、定義：所有與正交的向量2、 基本性質(zhì)：3、 性質(zhì)、性質(zhì)：、證明：、性質(zhì)：、證明：、性質(zhì)：、證明：對(duì)于對(duì)于、性質(zhì)：、證明：、性質(zhì)：勾股定理：、證明： 4、 正交補(bǔ)定理、定理：內(nèi)積空間的閉線性子空間、證明：

7、線性子空間 兩種運(yùn)算封閉： ：閉集 假設(shè)：對(duì)于 根據(jù)內(nèi)積的連續(xù)性 閉集、推論：內(nèi)積空間、證明： 【線性子空間，線性運(yùn)算封閉】 【閉集，最小閉集】 5、 投影、定義：投影：假設(shè)：內(nèi)積空間的線性子空間如果：對(duì)于，存在： 使得：， 則稱：在上的投影、關(guān)鍵：投影投在線性子空間、性質(zhì)：在上的投影、性質(zhì)：投影不一定存在，如果存在必定唯一、證明：假設(shè)：在上的投影在上的投影 線性子空間 閉線性子空間 6、 最佳逼近、定理：假設(shè)：內(nèi)積空間的線性子空間 如果：，在上的投影 那么：并且：上使等式成立的唯一向量、思想：利用上的變?cè)?，?lái)逼近中的：如果存在投影，則最佳逼近等于投影、證明：在上的投影 【勾股定理】 唯一性：

8、假設(shè)：上使等式成立的向量 二、投影定理1、 變分引理【極值可達(dá)】、定義：到的距離 、性質(zhì)：完備閉集，線性子空間凸集、定理：假設(shè)：內(nèi)積空間的完備凸集如果： 那么：存在唯一的，使得、關(guān)鍵：到的距離：完備凸集則極值可達(dá)、證明：點(diǎn)列存在點(diǎn)列，：基本點(diǎn)列平行四邊形公式： 凸集 基本點(diǎn)列：收斂點(diǎn)列完備收斂點(diǎn)列 ：存在性完備閉集，根據(jù)范數(shù)的連續(xù)性 ：唯一性 假設(shè)存在，使得 構(gòu)造點(diǎn)列： 基本點(diǎn)列【證明同上】 2、 投影引理、定理：假設(shè)：內(nèi)積空間的線性子空間 ， 如果： 那么：、思想：極值可達(dá)點(diǎn)正交、證明：對(duì)于， 令 3、 投影定理、定理：如果：內(nèi)積空間的完備線性子空間 那么：對(duì)于存在：，使得：、思想：任意向量

9、在上的投影，存在并且唯一、證明：存在性：變分引理，使得 投影引理 構(gòu)造唯一性：參見(jiàn)變分引理4、 推論、推論：如果：內(nèi)積空間的完備線性子空間 那么：含有非零元素、證明：投影定理投影存在假設(shè)在上的投影 第三節(jié) 就范正交系一、級(jí)數(shù)1、 基本概念、定義：級(jí)數(shù)：、定義：部分和：【將級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)換為數(shù)列】、定義：收斂級(jí)數(shù)：如果，則稱收斂2、 基本性質(zhì)、性質(zhì)：收斂、性質(zhì)：收斂【】、性質(zhì)：Cauchy收斂原理收斂對(duì)于，當(dāng)時(shí)，二、有限正交系1、 基本概念、定義：正交系：假設(shè)：內(nèi)積空間的一族非零向量 如果：對(duì)于，都有： 則稱：正交系、定義：就范正交系：如果：正交系 并且：對(duì)于，都有： 則稱：就范正交系2、 基本性質(zhì)、性

10、質(zhì)：假設(shè)：內(nèi)積空間中的就范正交系如果：，那么：、證明：3、 定理、定理：假設(shè)：內(nèi)積空間中的就范正交系 如果：， 那么：在上的投影 并且：，、證明： 在上的投影：【勾股定理】 4、 推論、性質(zhì)：如果：就范正交系， 那么：、證明：、性質(zhì)：如果：就范正交系， 那么：對(duì)于，、證明：假設(shè)：，在上的投影假設(shè)： 根據(jù)最佳逼近定理三、無(wú)限正交系1、 Bessel（貝塞爾）不等式、定理：如果：內(nèi)積空間中的就范正交系 那么：對(duì)于，、證明：就范正交系對(duì)于，就范正交系【單調(diào)遞增，必有極限】2、 性質(zhì)、性質(zhì)：如果：內(nèi)積空間中的就范正交系 那么：對(duì)于，、證明：對(duì)于，收斂四、完備正交系1、 定義：完備正交系：假設(shè)：內(nèi)積空間

11、中的就范正交系 如果：對(duì)于，都有： 則稱：完備正交系2、 性質(zhì)、性質(zhì)：收斂、性質(zhì)：基本點(diǎn)列、證明：假設(shè)： 收斂級(jí)數(shù)基本點(diǎn)列 對(duì)于，當(dāng)時(shí)， 對(duì)于，當(dāng)時(shí)， 基本點(diǎn)列3、 定義：傅里葉級(jí)數(shù)：如果：就范正交系， 則稱：傅里葉級(jí)數(shù)4、 定義：由張成的線性子空間的所有可能的有限個(gè)向量的線性組合5、 等價(jià)定理、定理：如果：就范正交系， 那么：；、證明：反證法：假設(shè)： ， 對(duì)于，當(dāng)時(shí)， 對(duì)于，當(dāng)時(shí)， 矛盾 假設(shè)： 閉集，第四節(jié) Banach空間的共軛算子一、和1、 、定義：的全體線性算子，其中：線性空間、性質(zhì)：線性空間、證明：定義加法： 定義數(shù)乘：兩種運(yùn)算封閉： 2、 、定義：的全體有界線性算子，其中：賦范線

12、性空間、性質(zhì)：賦范線性空間、證明：定義算子范數(shù)：算子范數(shù)滿足范數(shù)的3條性質(zhì)【齊次性，三角不等式，正定性】3、 定理、定理：如果：賦范線性空間，Banach空間 那么：Banach空間、證明：假設(shè)：的基本點(diǎn)列 對(duì)于，當(dāng)時(shí)，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，【有界】基本點(diǎn)列【固定】收斂點(diǎn)列【完備】：定義：算子： 的算子：閉集，的線性算子：的有界線性算子： 收斂點(diǎn)列二、共軛空間1、 共軛空間、定義：如果：賦范線性空間，上的全體連續(xù)線性泛函則稱：的共軛空間、性質(zhì)：賦范線性空間【實(shí)數(shù)域賦范線性空間】2、 二次共軛空間、定義：如果：賦范線性空間，上的全體連續(xù)線性泛函則稱：的二次共軛空間、性質(zhì)：賦范線性空間3、 基本概念、定義：

13、其中：上的泛函，、定義：保范算子：假設(shè)：賦范線性空間，的算子 如果：對(duì)于，都有： 則稱：的保范算子4、 基本性質(zhì)、性質(zhì)：上的線性泛函、證明：、性質(zhì)：上的有界泛函、證明：、性質(zhì)：、證明：、性質(zhì)：上的保范線性算子、證明：未能證明三、共軛算子1、 定義：共軛算子：假設(shè)：賦范線性空間， 如果：存在 使得：對(duì)于，都有： 則稱：的共軛算子2、 共軛定理、定理：如果：賦范線性空間 那么：對(duì)于，共軛算子存在并且唯一、證明：定義：對(duì)于定義上的泛函線性：有界：存在：有界線性泛函定義的算子唯一：假設(shè)： 【】第五節(jié) Hilbert空間的共軛算子一、連續(xù)線性泛函的表示1、 定理、定理：如果：賦范線性空間，上的線性泛函

14、那么：連續(xù)的零空間閉線性子空間、證明：必要性：假設(shè)：連續(xù)閉集充分性：反證法：有界 存在點(diǎn)列， 構(gòu)造點(diǎn)列， 閉集， 但是矛盾2、 性質(zhì)、性質(zhì)：如果：【固定】 那么：由導(dǎo)出的有界線性泛函 并且：、證明：線性：有界：【固定】公式： 3、 Riesz定理、定理：如果：Hilbert空間，上的連續(xù)線性泛函 那么：存在唯一的 使得：對(duì)于，都有： 并且：、證明：存在性：假設(shè)： 含有非零元素對(duì)于唯一性：假設(shè)：，對(duì)于，都有，對(duì)于，都有 對(duì)于， 否則矛盾二、共軛算子1、 定理、定理：如果：Hilbert空間，內(nèi)積空間， 那么：存在唯一的 使得：對(duì)于，都有：、證明：定義：【固定】 線性： 有界： 上的有界線性泛函根

15、據(jù)Riesz定理：存在唯一的，使得，并且定義：的算子【給定一個(gè)，得到一個(gè)】 線性：對(duì)于， 有界： 唯一：假設(shè)： 【】2、 共軛算子、定義：假設(shè)：內(nèi)積空間， 如果：對(duì)于，都有： 則稱：的共軛算子（伴隨算子）、定理：如果：Hilbert空間，內(nèi)積空間 那么：對(duì)于，存在唯一的3、 Banach空間與Hilbert空間中的共軛算子、性質(zhì)：在Banach空間中，、證明：、性質(zhì)：在Hilbert空間中，、證明：4、 性質(zhì)：假設(shè)：Hilbert空間，內(nèi)積空間 、性質(zhì)：、證明：、性質(zhì)：、證明：、性質(zhì)：、證明：、性質(zhì)：、證明：根據(jù)共軛定理： 對(duì)于 復(fù)習(xí)和重點(diǎn)歸納第一章 預(yù)備知識(shí)第一節(jié) 極限點(diǎn)和閉集1、 極限點(diǎn)、

16、定義：的極限點(diǎn)、定理：的極限點(diǎn)2、 閉集、定義：導(dǎo)集、閉包、閉集、定理：閉集、性質(zhì)：閉集 ：包含的最小閉集 ：閉集3、 定義：，第二節(jié) Holder不等式和Minkowski不等式1、 Holder不等式：2、 Minkowski不等式：第三節(jié) 和1、 賦范線性空間、定義范數(shù)：、定義范數(shù)：2、 Hilbert空間、定義內(nèi)積：、定義內(nèi)積：第二章 Hilbert空間一、投影定理1、 歸納：極限和連續(xù)度量空間賦范線性空間內(nèi)積空間2、 正交：定義：性質(zhì)：勾股定理：正交補(bǔ)定理閉線性子空間3、投影：投影的定義和性質(zhì)：最佳逼近：如果：線性子空間，在上的投影 那么：變分引理：如果：完備凸集， 那么：存在唯一的

17、，使得：投影引理：如果：線性子空間， 那么：投影定理：如果：完備線性子空間， 那么：，使得，分解式唯一：推論：含有非零元素二、就范正交系1、 基本概念：正交系就范正交系完備正交系2、 有限正交系：定理：假設(shè)：內(nèi)積空間中的就范正交系 如果：， 那么：在上的投影 并且：，3、 無(wú)限正交系：Bessel不等式：等價(jià)定理：三、Banach空間的共軛算子1、 和、性質(zhì)：如果：的全體線性算子，其中線性空間那么：線性空間、性質(zhì)：如果：的全體有界線性算子，其中賦范線性空間那么：賦范線性空間、性質(zhì)：如果：賦范線性空間，Banach空間 那么：Banach空間2、 二次共軛空間、概念：共軛空間二次共軛空間保范算子、性質(zhì)：上的連續(xù)有界泛函上保范線性算子3、 共軛算子、概念：共軛算子、定理：對(duì)于，