最全圓錐曲線知識點總結(jié)

1、直線L: x2y=0上，則此橢圓的離心率為高中數(shù)學(xué)橢圓的知識總結(jié)1.橢圓的定義：平面內(nèi)一個動點 P到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(PF1 +PF2 =2a>|FF2 ),這個動點P的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距22(3)試確定m的取值范圍，使得橢圓 +-y- = 1上有不同的兩點關(guān)于直線 y= 4x+ m對稱;43特別提醒：因為 > 0是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗 A>0!橢圓知識點的應(yīng)用注意：若PF1 + PF2動點P的軌跡無圖形.=F1F2 ,則動點P的軌跡為線段F1F2

2、;若PFi + PF2 <|FF2 ,則(1)橢圓：焦點在x軸上時為參數(shù))，焦點在y軸上時2土 1a2 b22匕L2 b22.橢圓的幾何性質(zhì)：22(1)橢圓(以 x2 +y2 =1a b兩個焦點(土c,0);對稱性:222、=1(a =b +c ) u=1 ( a >b > 0)。(a >b >0 )為例)：范圍:兩條對稱軸x = 0, y = 0,y：bsos；(參數(shù)方程，其中，-a < x < a, -b < y <b ;焦點:一個對稱中心(0,0 ),四個頂點一c(±a,0),(0, 土b),其中長軸長為2a,短軸長為2b；

3、離心率：e =,橢圓u 0<e<1, e a越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。22(2).點與橢圓的位置關(guān)系：點P(x0,y0)在橢圓外u 笠十多>1; a b22點P(x0,y°)在橢圓上u 笠+烏=1；點P(x0,y°)在橢圓內(nèi)u a b22X。y。2 :1 1ab3 .直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：(1)相交：A >0 u直線與橢圓相交；(2)相切：A=0u 直線與橢圓相切;(3)相離：<0u直線與橢圓相離；22如：直線y kx 1=0與橢圓 二十匕=1恒有公共點，則 m的取值范圍是 5 m4 .焦點三角形(橢圓上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形

4、)5.弦長公式：若直線y =kx+b與圓錐曲線相交于兩點 A、B,且x1，x2分別為A、B的橫坐標(biāo),則 AB = M+k2Xi-X2 ,若y1,y2分別為a、B的縱坐標(biāo)，則AB = ,：11k2yi - V2AB所在直線方程設(shè)為Y1 -Y2。6.圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”22L+匕4中a2b2以P(x0,y0)為中點的弦所在直線的斜率k=-或“點差法”b2x0-2，a V。求解。在橢圓如(1)如果橢圓22人+乙=1弦被點A (4, 2)平分，那么這條弦所在的直線方程是36922x V.(2)已知直線y=x+1與橢圓2 + 2 =1(aAb>0)相交于A、B兩點，

5、且線段 AB的中點在 a b1.如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點，對稱軸是 坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時，橢圓焦點在坐標(biāo)軸上。確定一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個條件：兩個定形條件a,b； 一個定位條件焦點坐標(biāo)，由焦點坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。2.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量 a,b,c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a,b,c三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為:_, 2. 2(a > b > 0), (ac>0),且(

6、a =b +c可借助右圖理解記憶:a,b,c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中3 .如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程,2)。a是斜邊，b、c為兩條直角邊。判斷焦點位置的方法是:y2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標(biāo)軸上。4.方程Ax2+By2 = C(A,B,C均不為零)是表示橢圓的條件Ac cAy2 Bv22 B 2方程Ax2 + By2 = C可化為 & +-By- = 1 ,即三十回- = 1 ,所以只有 A B、C同號,C CC CA BC CC C且A*B時，方程表本橢圓。當(dāng)一 >一時，橢圓的焦點在x軸上；當(dāng)一一時，橢圓的焦點

7、在yA BA B軸上。5.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù) a,b,c的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6.共焦點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異22共焦點，則c相同。與橢圓0+4=1(aAbA0)共焦點的橢圓方程可設(shè)為 a2 b222xy2、十？一 =1 (m>-b ),此類問題常用待定系數(shù)法求解。a m b m7 .判斷曲線關(guān)于x軸、y軸、原點對稱的依據(jù)： 若把曲線方程中的x換成-x,方程不變，則曲線關(guān)于y軸對稱； 若把曲線

8、方程中的y換成-y,方程不變，則曲線關(guān)于x軸對稱； 若把曲線方程中的x、y同時換成-x、-y ,方程不變，則曲線關(guān)于原點對稱。8 .如何求解與焦點三角形 PF1F2 (P為橢圓上的點)有關(guān)的計算問題？思路分析：與焦點三角形 PFF2有關(guān)的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理(或勾股定理)、三角形面積公式 S&m =1PFi父PF2 Msin/FiPF2相結(jié)合的2方法進行計算解題。將有關(guān)線段|PFl、PF2、FlF2 ,有關(guān)角/F1PF2 ( /F1PF2 W/F1BF2)結(jié)合起來，建立PF1|十|PF2|、|PF卜|PF2 之間的關(guān)系.9 .如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？

9、c長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率e = -(0<e<1),因為 abc2=a2b2, a >c>0 ,用 a、b 表小為 e= J1(一) (0 < e < 1)。a顯然：當(dāng)b越小時，e(0<e<1)越大，橢圓形狀越扁；當(dāng)-越大，e(0<e<1)越小， aa橢圓形狀越趨近于圓。題型1：橢圓定義的運用22x y .例1.已知F1，F(xiàn)為橢圓 + = 1的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A、B兩點若259F2A+EB R2,則 |AB =.例2.如果方程x2 +ky2 =2表示焦點在x軸的橢圓，那么實數(shù) k的取值范圍是 .22

10、x V99例3.已知P為橢圓 十二=1上的一點，M,N分別為圓(x+3)2+ y2=1和圓 2516(x - 3)2 + y2 = 4上的點，則PM +| PN的最小值為題型2:求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1、求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)經(jīng)過兩點 A(J3,-2),B(-273,1);2. 2(2)經(jīng)過點(2, 3)且與橢圓9x +4y =36具有共同的焦點；(3)一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為4/2 - 4.題型3:求橢圓的離心率例1、AABC中，/A=30°, ABnZSVABc： J3，若以A，B為焦點的橢圓經(jīng)過點 C ,則橢圓的離心率為

11、.例2、過橢圓的一個焦點 F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于P,若AEPF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為題型4:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運用(范圍、對稱性等) 22例1.已知實數(shù)x, y滿足人+工=1，則x2+ y2 x的范圍為42x2V2uuu uuu例2.已知點A, B是橢圓 1+42 = 1(m>0,n>0)上兩點，且AO=?BO,則九= m n題型5:焦點三角形問題22例1.已知F1，F(xiàn)2為橢圓 上+工=1的兩個焦點，p為橢圓上的一點，已知 P,F1,F2為一個直角三94角形的三個頂點，且PF1 >1 PF2，求j>PF1的值.PF222例2.已知F1,F2為橢圓C

12、：Z-+工=1的兩個焦點，在C上滿足PF1-L PF2的點的個數(shù)為 841 一一例3.已知橢圓的焦點是 F)(0,-1),F2(0,1)，且離心率e =- 求橢圓的方程； 設(shè)點P在橢圓上，且 PF1 PF2 =1,求 cos/F1PF2.題型6:三角代換的應(yīng)用22x y 例1.橢圓 一十=1上的點到直線l:x + y -9=0的距離的最小值為 169223.橢圓上 +工=1的一條弦被 A 4,2 ）平分，那么這條弦所在的直線方程是 3694.若Fl, F2為橢圓的兩個焦點,P為橢圓上一點，若/ PF1F2 N PF2F1 N FFF2= 1： 2:3 ,則此橢22例2.橢圓十匕=1的內(nèi)接矩形的

13、面積的最大值為169圓的離心率為題型7:直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷225.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓 3+當(dāng)=1（a> bA 0）的焦距為2c,以。為圓心，a為半徑的圓, a b例1.當(dāng)m為何值時，直線 y = x + m與橢圓22x y一 十 =1相父？相切？相離?1692過點（魚,0）作圓的兩切線互相垂直，則離心率e =c2 x 十5雙曲線例2.若直線y = kx +1（k w R）與橢圓2y= 1恒有公共點，求實數(shù) m的取值范圍; m基本知識點題型8:弦長問題,、-八、廠 4x2例1.求直線y=2x4被橢圓空十2y-=1所截得的弦長.2x例2.已知橢圓 一 +y2 =1的左右焦點分別

14、為Fi,F2,若過點P （0,-2）及Fi的直線交橢圓于2兩點，求ABF2的面積;題型9:中點弦問題2例1.求以橢圓82+匕=1內(nèi)的點A （2,-1）為中點的弦所在的直線方程。 5雙曲線例2.中心在原點,一個焦點為F1（0,J50）的橢圓截直線y = 3x-2所得弦的中點橫坐標(biāo)為求橢圓的方程.例3.橢圓mx2十2ny =1與直線x +y =1相交于 A B兩點，點C是AB的中點.OC的斜率為 （O為原點），求橢圓的方程.2鞏固訓(xùn)練1.如圖橢圓中心在原點,F是左焦點，直線ABi與BF交于D,且/BDBi=90o,A,B若 AB = 242 ,”1AF定義范圍對稱軸標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點在x軸）2x2a2

15、y2 = 1(a Qb 0)b2標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點在 y軸）二1(a 0,b 0)定義：平面內(nèi)與兩個定點 F1 , F2的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于 IF1F2 ）的點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。MF1 -|MF2 =2a> 2a ：: F1F2*yyFi )、F2jT /Xx軸，y軸；實軸長為2a,虛軸長為2b則橢圓的離心率為x222.設(shè)Fi,F2為橢圓一 + y =1的兩焦點，P在橢圓上，當(dāng)AFiPF2面積為1時,4uuuPF1uuuPF2的值為對稱中心原點0(0,0)焦點坐標(biāo)Fi(-G0)F2(c,0)Fi(0,-c)F2(0,c)焦點在實軸上，c

16、 = Ja2 +b2 ；焦距：FiF2 = 2c頂點坐標(biāo)(-a,0) ( a,0)(0,-a,) (0 , a)離心率c bbre二寸 FI)漸近線方程b y =±-x aa y = ± -xb共漸近線的雙曲線系方程220±= k (k¥0) a2 b222k-yk = k ( k # 0 )a2b2直線和雙曲線的位置22雙曲線 1 =i與直線y=kx+b的位置關(guān)系：a2 b22 22區(qū).匕=i利用«a2 b21轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。y =kx +b二次方程一次項系數(shù)為零直線與漸近線平行。相交弦 AB的弦長 AB| = + k2 7（

17、xi +x2）2 -4xix2補充知識點:22A. 二.X=i9 I622 x y 、C. =i(y> 3)I6 9同步練習(xí)一：如果雙曲線的漸近線方程為A.-3例2、已知雙曲線A. -I2 ： k ：iC .一5： k ： 0+ =i的離心率為同步練習(xí)二：雙曲線當(dāng)a2例3、設(shè)P是雙曲線與. ak ： 0等軸雙曲線的主要性質(zhì)有：（I）半實軸長=半虛軸長（一般而言是 a=b,但有些地區(qū)教材版本不同，不一定用的是 a,b這兩 個字母）；(2)其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 y2 =C，其中C #0 ；(3)(4)漸近線：兩條漸近線 y=±x互相垂直;例題分析:例1、動點P與點Fi（0,5）與點F2

18、（0, 5）滿足PFi - PF2I =6 ,則點P的軌跡方程為（22x y /B . - 二 iI6 922x y )D.+L = i(y0-3)I6 93y =± x ,則離心率為(4D. 3e<2 ,則k的范圍為（-12 ： k ： 02.%=i的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為 b2y=i上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x-2y=0, Fi, F2分別是9雙曲線的左、右焦點，若|PFi =3,則PF2的值為同步練習(xí)三：若雙曲線的兩個焦點分別為（0,-2）,（Q2）,且經(jīng)過點（2,、年），則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例4、下列各對曲線中，即有相同的離心率又有相同漸近線的是（

19、(A) - y 2=i3(C)y 2-=i32x 彳=i3(B)-y 2=i 和 y2-32x 彳=i3y2=i3(D)2-y 2=i 和-2匕=i3同步練習(xí)四：已知雙曲線的中心在原點,上且 PFi _L PF2 ,例5、與雙曲線漸近線的距離是(A) 8兩個焦點Fi, F2分別為65,0）和（A 5,0），點P在雙曲線且 PFi F2的面積為1,則雙曲線的方程為（22x y /B . 一 = i322x 2/c. 一 y = i422 y .D . x 一 二 i42yI6(B)=i有共同的漸近線，且經(jīng)過點A（-3,2<13的雙曲線的一個焦點到一條(C) 2(D) I同步練習(xí)五：以y =

20、±J3x為漸近線，一個焦點是 f （0, 2）的雙曲線方程為例6、下列方程中，以x±2y=0為漸近線的雙曲線方程是22(A)巳-匕=116422(哈-32x 22(C)- -y =1 (D)x22匕=12同步練習(xí)六：雙曲線8kx2-ky 2=8的一個焦點是（0 , 3）,那么k的值是224. （20XX年高考湖南卷文科 6）設(shè)雙曲線 與-y- = 1（a A 0）的漸近線方程為3x± 2y = 0,則a的 a 9值為（）A. 4 B . 3 C . 2 D . 1 225.12012高考江蘇8】（5分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，若雙曲線 ' T一=1的離

21、心率為J5 ,m m 4則m的值為 .2例7、經(jīng)過雙曲線x2-匕=1的右焦點F2作傾斜角為330 °的弦AB,拋物線(1)求 |AB|.（2） F1是雙曲線的左焦點，求 F1AB的周長.2同步練習(xí)七過點（0, 3）的直線l與雙曲線x42y =1只有一個公共點，求直線 l的方程。3高考真題分析1.12012高考新課標(biāo)文10】等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2 =16x的準(zhǔn)線交于A, B兩點,（A）、上2.12012高考山東文AB =4。；則C的實軸長為（(B) 2.2(D)'211】已知雙曲線C1 :吃a2*=1(a >0,b >0)的離心率為2

22、.b2若拋物線2C2 :x =2py（ p>0）的焦點到雙曲線 C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為(A)x2小金33_2y (C) x =8y_2(D) x =16y3.12012高考全國文10】已知后、2F2為雙曲線C : x2-y2 =2的左、右焦點，點P在C上,|PF1 | = 2| PF2 |,則 cos/F1PF2 =（C）44(D)一5y2 = 2px(p 0)y2 二-2px(p 0)x2 = 2 py(p 0)x2 = _ 2py(p 0)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫 做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。m|mf尸點

23、M到直線l的距離范圍x>0,y= Rx<0,產(chǎn) Rx= R,y > 0x R, y< 0對稱性關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱隹百 八、八、吟。）(吟0)。宇(0T)焦點在對稱軸上頂點0(0,0)離心率e=1準(zhǔn)線 方程x= p尸2準(zhǔn)線與焦點位于頂點兩側(cè)且到頂點的跑離相等。頂點到準(zhǔn) 線的距離_p 2焦點到準(zhǔn) 線的距離p焦半徑A(x1, y1)AF =x1 + B2AF = -x1 + 2AF =71+ 2AF = -y1 +2焦點弦長AB(x +x2) + pYx +x?) + p(y1 +y?)+ p一(必 + 丫2) + p焦點弦 ab|的幾 條性質(zhì)A(x1，y1)B(x2,

24、 y2)yx, % )-x,y2)x以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切若AB的傾斜角為口，則AB =-2口 sin a若AB的傾斜角為口，則|AB =母一 cos a2p2為溝=y1y2=-p41 t 1 AF -BFAB2AF BF AF BF AF BF p切線 方程y°y =p(x +&)y°y =-p(x +%)x°x = p(y +y0)%x = -p(y+y°)聯(lián)立方程法:'y = kx + b2-=y = 2px設(shè)交點坐標(biāo)為k2x2 2(kb- p)x b2 = 0A(xyi), B(X2,y2),則有 &#0,以及 Xi+x2,x1X2 ,還可進一步求出y1y2 = kx1 b kx2 b = k(x1 x2) 2b22y1y2 = (kx1 b)(kx2 b) = k x1x2 kb(x1 x2) b在涉及弦長，中點，對