軸對(duì)稱證明題要點(diǎn)

1、軸對(duì)稱專題 軸對(duì)稱圖形如果一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合， ?這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸有的軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不止一條，如圓就有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸 軸對(duì)稱 有一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，? 那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸， 折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn) 兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也叫做軸對(duì)稱 圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，?那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線 軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別 軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形之間的形狀與位置關(guān)系，?成軸

2、對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；軸對(duì)稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形， 把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形， 這兩個(gè)圖形是全等形，并且成軸對(duì)稱 線段的垂直平分線（ 1） 經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線， ? 叫做這條線段的垂直平分線 （或線段的中垂線） （ 2） 線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等； 反過(guò)來(lái)，?與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上 因此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合軸對(duì)稱變換 軸對(duì)稱變換由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換 ?成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看著由另一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換后得到 軸對(duì)稱變

3、換的性質(zhì)（ 1）經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣（ 3） ?經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換得到的圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)（ 3）連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分 作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱圖形（ 1）作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（ 2）按原圖形的連接方式連接所得到的對(duì)稱點(diǎn)，即得到原圖形的軸對(duì)稱圖形用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱 關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)P （x, y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x, -y）點(diǎn) P（ x ， y ）關(guān)于 y 軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ -x ， y ） 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P （x, y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x, -y） 關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對(duì)

4、稱點(diǎn)P （x, y）關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分線y=x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（y, x）點(diǎn) P（ x ， y ）關(guān)于第二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線y= - x 對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ - y， - x ） 關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對(duì)稱點(diǎn) P（ x ， y ）關(guān)于直線x=m 對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 2m-x ， y ） ；點(diǎn)P （x, y）關(guān)于直線y=n對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x, 2n-y）;等腰三角形 等腰三角形有兩條邊相等的三角形是等腰三角形 相等的兩條邊叫做腰， 另一條邊叫做底邊 兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角 等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”）性質(zhì)2：等

5、腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合特別的： （ 1）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.（ 2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對(duì)應(yīng)相等. 等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等， 那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等 （簡(jiǎn)寫(xiě)成 “等角對(duì)等邊” ） 特別的：（ 1 ）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形（ 2 ）有兩邊上的角平分線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（ 3 ）有兩邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（ 4 ）有兩邊上的高線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形 利用“三角形奠基法”作圖 然后再以這個(gè)圖形為基礎(chǔ)， 作出所根據(jù)已知條件先作出一個(gè)與所求圖形相關(guān)的三角

6、形， 求的三角形等邊三角形等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形.等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，？并且每一個(gè)內(nèi)角都等于 60。等邊三角形的判定方法(1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形；(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形.角平分線的性質(zhì)角平分線的作法見(jiàn)課本角平分線的性質(zhì)在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等 O葉分/AOB PML OAT M PNI± OB于 NI, PM=PN 角平分線的判定到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上 PM/L OA于 M, PN OB于 N, PM=PN.O葉分/ A

7、OB三角形的角平分線的性質(zhì) 三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.添加輔助線口訣幾何證明難不難，關(guān)鍵常在輔助線；知中點(diǎn)、作中線，倍長(zhǎng)中線把線連線段垂直平分線，常向兩端來(lái)連線；線段和差及倍分，延長(zhǎng)截取全等現(xiàn)；公共角、公共邊，隱含條件要挖掘；平移對(duì)稱加旋轉(zhuǎn)，全等圖形多變換角平分線取一點(diǎn)，可向兩邊作垂線；也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱之后關(guān)系現(xiàn)；角平分線加平行，等腰三角形來(lái)添；角平分線伴垂直，三線合一試試看。角平分線十平行線-等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形。如圖1 (1)中，若AD平分N胡C , AD/EC,則是等腰三角形；如圖1(2)中，若慶

8、口平分/員1(72£小。，則山42?宮是等腰三角形；如圖1 (3)中，若AD平分/員4c , CE/AB,則LACE是等腰三角形；如圖1中，若AD平分/a4c , EF/AD,則是等腰三角形。(2)(3)(4)圖1例1.如圖，在中，ab= ac,在ac上取點(diǎn)p,過(guò)點(diǎn)p作EE1SC ,交ba的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e,垂足為點(diǎn)F。求證：AE= APD F1 .已知，如圖1 11,在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A在y軸上，BC，x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)A關(guān)于直線 OB的對(duì)稱點(diǎn) D恰好在BC上，點(diǎn)E與點(diǎn)。關(guān)于直線 BC對(duì)稱，/ OBC=35° ,求/ OED 的度數(shù).2 .已知：如圖 23,線段 AB.求作：線

9、段AB的垂直平分線MN.作法：3 .已知：如圖 2 4, / ABC及兩點(diǎn) M、N.求作：點(diǎn)P,使得PM = PN,且P點(diǎn)到/ ABC兩邊的距離相等. 作法：B圖244 .已知點(diǎn)A在直線l外，點(diǎn)P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究是否存在一個(gè)定點(diǎn)B,當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)的距離總相等.如果存在，請(qǐng)作出定點(diǎn)B;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.月，圖255.如圖26, AD為/ BAC的平分線，DE，AB于E, DF，AC于F ,那么點(diǎn)E、F是否 關(guān)于AD對(duì)稱？若對(duì)稱，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖 3-11圖26綜合、運(yùn)用、診斷6.已知：如圖37, A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，點(diǎn)A'與A關(guān)于直線l對(duì)稱，連

10、接A'B交l于P點(diǎn)，若A'B=a.(1)求 AP+PB;(2)若點(diǎn)M是直線l上異于P點(diǎn)的任意一點(diǎn)，求證:AM + MB>AP+PB.7 .已知：A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，試分別畫(huà)出符合條件的點(diǎn)M.(1)如圖38,在l上求作一點(diǎn) M,使得| AM-BM |最小;(3)如圖3-10,在l上求作一點(diǎn) M,使得 AM + BM最小.圖 3-108 . (1)如圖311,點(diǎn)A、B、C在直線l的同側(cè)，在直線l上，求作一點(diǎn)P,使得四邊形 APBC的周長(zhǎng)最??；(2)如圖312,已知線段a,點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上，求作兩點(diǎn) P在點(diǎn)Q的左側(cè))且PQ=a,四邊形APQB的周長(zhǎng)最小.

11、P、Q (點(diǎn)圖 3 129. (1)已知：如圖 上求作一點(diǎn)313,點(diǎn)M在銳角/ AOB的內(nèi)部，在 OA邊上求彳一點(diǎn) P, Q,使得APMQ的周長(zhǎng)最?。辉贠B邊圖6-5使得點(diǎn)P(2)已知：如圖3- 14,點(diǎn)M在銳角/ AOB的內(nèi)部，在 OB邊上求彳一點(diǎn) P,到點(diǎn)M的距離與點(diǎn)P到OA邊的距離之和最小.圖 3- 1410 .已知：如圖 6 5, A ABC 中，BC 邊上有 D、E 兩點(diǎn)，/ 1 = /2, /3=/4.求證： ABC是等腰三角形.11 .已知：如圖 5 2,求證：BD = CE.A ABC 中，AB=AC, D、E 在 BC 邊上，且 AD = AE.12 .已知:如圖5 3,D、

12、E 分別為 AB、AC 上的點(diǎn)，AC=BC=BD, AD=AE,DE=CE,求/ B的度數(shù).圖6-813 .已知：如圖 5 4, A ABC中，AB=AC, D是AB上一點(diǎn)，延長(zhǎng) CA至E,使AE = AD. 試確定ED與BC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖5-4拓展、探究、思考14 .已知：如圖 5-5, RtAABC 中，/ BAC = 90° , AB = AC, D 是 BC 的中點(diǎn)，AE=BF.求證：(1) DE=DF; (2) A DEF為等腰直角三角形.EB15 .在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P (2, 3) , Q (3, 2),請(qǐng)?jiān)趚軸和y軸上分別找到 M點(diǎn)和N點(diǎn)，使四邊形

13、 PQMN周長(zhǎng)最小.(1)作出M點(diǎn)和N點(diǎn).(2)求出M點(diǎn)和N點(diǎn)的坐標(biāo).3取 3)2 53冉11 _ J U 1 1 .-2 -1 O L 2 31-1 -圖5616 .已知：如圖 6-6, AABC中，AB=AC, E在CA的延長(zhǎng)線上，EDXBC. 求證：AE = AF.17.已知:如圖6- 7,E圖6-6AABC 中，/ACB=90° , CD± AB 于 D, BF 平分/ABC 交 CD 于E,交AC于F.求證：CE = CF.圖6-718 .如圖 6-8,在 AABC 中，/ BAC = 60 ° , / ACB = 40° , P、Q 分別在

14、BC、CA 上，并 且AP、BQ分別為/ BAC、/ ABC的角平分線，求證：BQ + AQ=AB+BP.Q19 .如圖69,若A、B是平面上的定點(diǎn)，在平面上找一點(diǎn)C,使AABC構(gòu)成等腰直角三角形，問(wèn)這樣的C點(diǎn)有幾個(gè)？并在圖 69中畫(huà)出C點(diǎn)的位置.An圖6-920.如圖610,對(duì)于頂角/ A為36°的等腰A ABC,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出三種不同的分法，將 A ABC 分割為三個(gè)三角形，并且使每個(gè)三角形都是等腰三角形.圖8421.已知：求證:如圖 7 8, AD 是/BAC 的平分線，/ B=/ EAC, EFAD 于 F. EF 平分/ AEB.22 .已知：如圖 79,在A ABC中，CE是角

15、平分線，EG / BC,交 AC邊于F,交/ ACB的外角 （/ACD）的平分線于 G,探究線段EF與FG的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論.D23 .如圖710,過(guò)線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作射線 AM, BN,使AM / BN,請(qǐng)按以下步驟畫(huà)圖 并回答.(1)畫(huà)/ MAB、/ NBA的平分線交于點(diǎn) E, / AEB是什么角？(2)過(guò)點(diǎn)E任作一線段交 AM于點(diǎn)D,交BN于點(diǎn)C.觀察線段DE、CE,有什么發(fā) 現(xiàn)？請(qǐng)證明你的猜想.(3)試猜想AD, BC與AB有什么數(shù)量關(guān)系？M圖 7 1024 .已知：如圖 711, AABC 中，AB=AC, /A=100° , BE 平分/ B 交 AC 于 E.(

16、1)求證：BC=AE+BE;(2)探究：若/ A=108° ,那么BC等于哪兩條線段長(zhǎng)的和呢？試證明之.25 .已知：如圖 8-4, AABC和ABDE都是等邊三角形.(1)求證：AD = CE;(2)當(dāng)ACLCE時(shí)，判斷并證明 AB與BE的數(shù)量關(guān)系.26 .如圖8 5,已知A ABC是等邊三角形，D、E分別在邊 BC、AC上，且CD = CE,連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn) F,使EF = AE,連接AF、BE和CF .(1)請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，用符號(hào)“且”表示，并加以證明；(2)求證：AF=BD.圖8-5圖8-827 .已知：如圖 8- 6,四邊形 ABCD 中，AC 平分/ BAD

17、, CD / AB, BC=6cm, / BAD =30° , / B=90° .求 CD 的長(zhǎng).圖8-628 . ( 1)如圖87,點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以 AO和DO為邊在線段 AD的同側(cè)作 等邊三角形OAB和等邊三角形 OCD,連接AC和BD,相交于點(diǎn)E,連接BC,求 ZAEB的大??；圖8-7(2)如圖8 8, AOAB固定不動(dòng)，保持 OCD的形狀和大小不變， 將 OCD繞著點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)( OAB和OCD不能重疊)，求/ AEB的大小.一 B29 .已知：如圖 89, ABC為等邊三角形，延長(zhǎng) BC至IJD,延長(zhǎng)BA至ijE,使AE=BD, 連接CE、DE.求證：C

18、E = DE.£圖8-930 .已知：如圖 8-10,四邊形 ABCD 中，/A=/B=90° , / C=60° , CD = 2AD, AB =4.(1)在AB邊上求作點(diǎn)圖 8-10(2)求出(1)中PC+PD的最小值.31 .如圖， ABC中，邊AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn) O,求證：PA=PB=PC.(2)點(diǎn)P是否也在邊AC的垂直平分線上？由此你還能彳fl32 、.如圖： ABC和 ADE是等邊三角形.證明：BD=CE.圖芍133、如圖， ABC中，D、E分別是 AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)。.給出下列 四個(gè)條件：/ EBD=/DCO;/ BEO=/

19、CDO; BE=CD ; OB = OC.（1）上述四個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定 ABC是等腰三角形（用序號(hào)寫(xiě)出所有情形）（2）選擇第（1）小題中的一種情形，證明 ABC是等腰三角形.34 .如圖，P在/AOB內(nèi)；點(diǎn)M N分別是點(diǎn) P關(guān)于AQ BO的對(duì)稱點(diǎn)，且與 AO BO相 交點(diǎn)E F,若APEF的周長(zhǎng)為15,求MN的長(zhǎng).35 .如圖（5）所示，在 ABC中，/ C=90° , DE垂直平分 AB ,交AB于E,交 BC于D, /1=1/2,求/B的度數(shù)。236 .等腰 ABC的腰長(zhǎng)AB=10cm , AB的垂直平分線交另一腰 AC于D, BCD的周長(zhǎng) 為26cm,則底邊BC的長(zhǎng)是多少？37 .如圖，AABC中，AB=AC BQ CO分別為N ABC N ACB的平分線，交點(diǎn)為 0,過(guò)O 作，E, F平行于BC交AB, AC于F, E,探索BF+CE與FE的關(guān)系，說(shuō)明理由.38 .如圖，在 AABC中，AD_LBC于D,點(diǎn)M, N分別在BC所在 的直線上，且 BM=CN(1) AB=AC試判斷AAMN勺形狀，并說(shuō)明理由(2)若AM=AN則N ABC2 ACB成立嗎？為什么？39 .如圖， ABC中，/ BAC=110,