2022年2022年高中數(shù)學(xué)典型例題解析第八章平面向量與空間向量

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載第八章平面對量與空間向量精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一.學(xué)問導(dǎo)學(xué)§ 8.1 平面對量及其運算精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1. 模（長度）：向量ab 的大小,記作| ab | ；長度為的向量稱為零向量,長度等于個單位長度的向量,叫做單位向量；2. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,又叫做共線向量；3. 相等向量：長度相等且方向相同的向量；4. 相反向量：我們把與向量a 長度相等,方向相反的向量叫做a 的相反向量；記作- a ；5. 向量的加法：求兩個向量和的運算；已知 a , b ；在平面內(nèi)任取一點,作

2、ab = a , bc = b ,就向量ac 叫做 a 與 b 的和；記作a + b ；6. 向量的減法：求兩個向量差的運算；已知 a , b ；在平面內(nèi)任取一點o,作 oa = a , ob = b ,就向量ba 叫做 a 與 b 的差；記作a - b ；7. 實數(shù)與向量的積：（ 1）定義：實數(shù) 與向量 a 的積為一個向量,記作 a ,并規(guī)定： a 的長度 | a |=| | ·|a | ；當(dāng) 0 時, a 的方向與 a 的方向相同； 當(dāng) 0 時, a 的方向與 a 的方向相反；當(dāng) 0 時, a =0（ 2）實數(shù)與向量的積的運算律：設(shè) . 為實數(shù),就 a = a + a = a +

3、 a a + b = a + b8. 向量共線的充分條件：向量b 與非零向量a 共線的充要條件為有且只有一個實數(shù),使得 b a ；另外,設(shè) a =（ x 1 、y1） 、b = x 2、y 2 , 就 a /bx1y2 x2y1=09. 平面對量基本定理：假如 e1 . e2 為同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a ,有且只有一對實數(shù) 1. 2 使精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a 1 e1 2 e2,其中不共線向量e1 . e2 叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載10. 定比分點精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

4、 - - 歡迎下載設(shè) p1, p2 為直線 l上的兩點,點p 為不同于p1, p2 的任意一點就存在一個實數(shù) 、 使 p1 p2= p1 p2, 叫做分有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載向線段所成的比；如點p1.p.p2 的坐標(biāo)分別為 x 1, y 1 , x、y, x 2、y 2 ,就有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載特殊當(dāng) =1,即當(dāng)點p為線段 p1p2 的中點時,有x x1x2 2y y1y2 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11. 平面對量的數(shù)量積(1) 定義：已知兩個非零向量a 和 b ,它們的夾角為 ,就數(shù)量 | a |b |cos 叫做

5、 a 與 b 的數(shù)量積 或內(nèi)積 ,記作 a · b ,即 a · b | a |b |cos 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0；(2) 幾何意義：數(shù)量積a · b 等于 a 的長度 | a | 與 b 在 a 的方向上的投影| b |cos 的乘積；(3) 性質(zhì)：設(shè)a , b 都為非零向量,e 為與 b 方向相同的單位向量,為 a 與 e 的夾角,就e · a a · e | a |cos , a ba · b 0當(dāng) a 與 b 同向時, a · b | a |b |當(dāng) a 與 b 反向時, a · b | a

6、|b |特殊地, a · a | a | 2 或| a | a a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cos abab|a · b | |a |b |精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(4) 運算律：a · b b · a 交換律 a · b b · a a · b a b · c a · c b · c（ 5）平面對量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件：設(shè) a =（ x 1 、y1） 、b = x 2、y 2 , 就aba · b =| a | ·|b |cos

7、90 °=0abx1x2+y1y2=0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12. 平移公式：/設(shè) p（x, y ）為圖形 f 上的任意一點,它在平移后圖形f 上對應(yīng)點為p （x , y ）,且設(shè)/pp的坐標(biāo)為（ h, k ）,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就由 op/ op pp /,得：（ x ,y ）（ x, y ） +（ h, k）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載/二.疑難學(xué)問導(dǎo)析1向量的概念的懂得,特殊為特殊向量“零向量”精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載向量為既有大小,又有方向

8、的量向量的模為正數(shù)或0,為可以進(jìn)行大小比較的,由于方向不能比較大小,所以向量為不能比大小的兩個向量的模相等,方向相同,我們稱這兩個向量相等,兩個零向量為相等的,零向量與任何向量平行,與任何向量都為共線向量；2在運用三角形法就和平行四邊形法就求向量的加減法時要留意起點和終點；3對于坐標(biāo)形式給出的兩個向量,在運用平行與垂直的充要條件時,肯定要區(qū)分好兩個公式,切不行混淆；因此,建議在記憶時對比記憶；4定比分點公式中就要記清哪個點為分點；仍有就為此公式中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)為分開運算的；5平移公式中第一要知道這個公式為點的平移公式,故在使用的過程中須將起始點的坐標(biāo)給出,同時留意次序；三.經(jīng)典例題導(dǎo)講精品學(xué)習(xí)

9、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 例 1和 a = 3、 4 平行的單位向量為 ；錯解 ：由于 a 的模等于5,所以與 a 平行的單位向量就為1 a , 即 34,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5錯因 ：在求解平行向量時沒有考慮到方向相反的情形；1正解 ：由于 a 的模等于5,所以與 a 平行的單位向量為5553434a , 即 5 , 5 或 5 , 5 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載點評 ：平行的情形有方向相同和方向相反兩種；讀者可以自己再求解“和a = 3、 4 垂直的單位向量”,結(jié)果也應(yīng)當(dāng)為兩個； 例 2 已知 a（ 2, 1）, b（ 3, 2）

10、, c（ -1 , 4）,如 a.b. c為平行四邊形的三個頂點,求第四個頂點d 的坐標(biāo)；錯解： 設(shè) d的坐標(biāo)為（ x , y ）,就有x-2=-1-3,y-1=4-2,即 x=-2 , y=3 ；故所求d的坐標(biāo)為（ -2 , 3）； 錯因 ：思維定勢；習(xí)慣上,我們認(rèn)為平行四邊形的四個頂點為依據(jù)abcd的次序；其實,在這個題目中,根本就沒 有指出四邊形abcd；因此,仍需要分類爭論；正解 ：設(shè) d的坐標(biāo)為（ x , y ）當(dāng)四邊形為平行四邊形abcd時,有 x-2=-1-3, y-1= 4-2,即 x= -2 , y= 3 ；解得 d 的坐標(biāo)為（ -2 , 3）；當(dāng)四邊形為平行四邊形adbc時

11、,有 x-2=3- （-1 ）, y-1= 2-4,即 x= 6 , y= -1 ；解得 d的坐標(biāo)為（ 6, -1 ）；當(dāng)四邊形為平行四邊形abdc時,有 x-3=-1-2, y-2= 4-1,即 x= 0 , y= 5 ；解得 d 的坐標(biāo)為（ 0, 5）；故第四個頂點d的坐標(biāo)為（ -2 , 3）或（ 6, -1 ）或（ 0,5）； 例 3 已知 p13、2, p2（ 8, 3）,如點p 在直線 p1p2 上,且滿意 |p 1 p|=2|pp 2| ,求點 p 的坐標(biāo)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載錯解 ：由 |pp|=2|pp | 得,點 p 分 p p 所成的比為2,代入定

12、比分點坐標(biāo)公式得p（ 198 ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載121 2、33錯因 ：對于 |p 1p|=2|pp 2| 這個等式,它所包含的不僅為點p 為 p 1,p2 的內(nèi)分點這一種情形,仍有點p 為 p 1,p2 的外分點；故須分情形爭論；正解 ：當(dāng)點 p 為 p 1, p2 的內(nèi)分點時,p 分 p1 p2 所成的比為2,此時解得p（ 19 、 8 ）；33當(dāng)點 p 為 p 1,p2 的外分點時,p 分 p1p2 所成的比為 -2 ,此時解得p（ 13,4）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就所求點p 的坐標(biāo)為（19 、 8 ）或（ 13, 4）；精品學(xué)習(xí)資

13、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載33點評 ：在運用定比分點坐標(biāo)公式時,要審清題意,留意內(nèi)外分點的情形；也就為分類爭論的數(shù)學(xué)思想；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 例 4設(shè)向量a x1 、 y1 , b x2 、 y2 , b0 ,就 “a / b ”為“x1 y2x2 y1 ”的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件分析 ：依據(jù)向量的坐標(biāo)運算和充要條件的意義進(jìn)行演算即可精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：如a / b , b0 ,就 arb ,代入坐標(biāo)得： x1 、 y1 r

14、 x2 、 y2 ,即x1rx 2 且y1ry 2消去 r ,得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x1 y2x2 y1 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載反之,如x1 y2x2 y1 ,就x1rx 2 且y1ry 2 ,即 x1、 y1 r x2 、 y2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就 arb , a / b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故“ a / b ”為“x1 y2x2 y1”的充要條件精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載答案： c點評 ：此題意在鞏固向量平行的坐標(biāo)表示 例 5 已知 a =（ 1, -1 ）, b

15、=（ -1 , 3）, c =（ 3, 5）,求實數(shù)x .y,使 c =x a +y b分析 ：依據(jù)向量坐標(biāo)運算和待定系數(shù)法,用方程思想求解即可解：由題意有x a +y b =x （ 1, -1 ） +y（-1 , 3） =（ x-y , -x+3y ） 又 c = （ 3,5） x-y=3 且-x+3y=5解之得 x=7且 y=4點評 ：在向量的坐標(biāo)運算中常常要用到解方程的方法精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 例 6 已知 a（ -1 , 2）, b（ 2, 8）, ac = 1 ab, da = -31 ba ,求點 c.d 和向量 cd 的坐標(biāo)3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

16、 - - 歡迎下載分析 ：待定系數(shù)法設(shè)定點c.d的坐標(biāo), 再依據(jù)向量acab , da和 cd關(guān)系進(jìn)行坐標(biāo)運算,用方程思想解之精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：設(shè) c.d 的坐標(biāo)為x1 、 y1 . x2 、 y2 ,由題意得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ac =（ x111、 y12 ）, ab =（ 3,6）,da =（11x2 、2y2 ）, ba =（-3 , -6 ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 ac =3ab, da = -ba3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ x11

17、、 y12 ） = 1 （ 3,6）,（31x2 、2y2 ） =-1 （ -3 ,-6 ）3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 x11、 y12 =1、2, 1x2 、2y2 =1、2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 x111且 y122 ,1x21 且 2y22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 x10且 y14,且 x22y20精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載點 c.d 和向量 cd的坐標(biāo)分別為（0

18、, 4）.（ -2 , 0）和（ -2 , -4 ）小結(jié) ：此題涉及到方程思想,對同學(xué)運算才能要求較高精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一.學(xué)問導(dǎo)學(xué)§ 8.2 平面對量與代數(shù).幾何的綜合應(yīng)用精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1. 余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和,減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2 倍、 即精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載222abc2bc cos a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b2a 2c 22ac cos b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

19、歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載c2a 2b 22ab cos c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2. 正弦定理在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,并且都等于外接圓的直徑,即精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載二.疑難學(xué)問導(dǎo)析a sin ab sin bc2 rsin c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 中學(xué)學(xué)過的勾股定理只為余弦定理的一種特殊情形；如當(dāng)c =時,2cosc=0,此時有 c2a2b 2 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 由于本節(jié)內(nèi)容與代數(shù).幾何

20、聯(lián)系比較緊,故讀者需對解斜三角形.解析幾何中的圓錐曲線等學(xué)問特別熟識方可；三經(jīng)典例題導(dǎo)講 例 1 在 abc中,已知a2 b2 bc c2,就角 a 為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ab36c 2d或 2333精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載錯解 ：選 a錯因 ：公式記不牢,誤將余弦定理中的“減”記作“加”；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載222221222精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載正解 ：a b bc c b c 2bc b c 2bc·cos23精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 a 23選c.精品學(xué)習(xí)資

21、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 例 2 在 abc中,已知錯解 ：等腰三角形；a cos ab cos b,試判別其外形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載錯因 ：忽視了兩角互補,正弦值也相等的情形；直接由a cos ab cos b 得,sina cos asin b cos b ,即精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sin 2 asin 2 b ,就2 a2 b ；接著下結(jié)論,所求三角形為等腰三角形精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載正解 ：由a cos ab cos b 得,sina cos asinb cos b ,即sin 2 asin 2 b

22、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就 2 a2 b 或 2a2b1800 ,故三角形為直角三角形或等腰三角形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 例 3 過拋物線 :y=2pxp>0 頂點 o作兩條相互垂直的弦oa.ob如圖 、 求證 : 直線 ab過肯定點 、 并求出這肯定點.分析 :對于向量a= x1、 y1、 b= x2、 y2、 有 a/ bx1y2- x2y1=0. 可以用來處懂得析幾何中的三點共線與兩直線平行問題.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明 : 由題意知可設(shè)a 點坐標(biāo)為 t 21、

23、t 1、b 點坐標(biāo)為 2 pt 22、t 22 p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 oa=t 21、t 1、ob =2 pt 22、t 2、2 p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 oa ob、 oa . ob =0t 2t 21.2+t 1.t 2=02 p2 p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2t 1.t 2=-4p 設(shè)直線 ab 過點 ma、b、就 bm =a-t 22、b-t2、ba=2 pt 2t 21-2、

24、t 1-t 2、2 p2 p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于向量 bm 與 ba 為共線向量 、 （ a-t 22） t 1-t 2= b-t22 pt 2t 21-22 p2 p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載化簡得 2pa-2p=bt1+t 2明顯當(dāng) a=2p、b=0 時等式對任意的成立直線 ab過定點 、 且定點坐標(biāo)為m2p、0四典型習(xí)題導(dǎo)練1已知銳角三角形的邊長分別為2, 3, x ,就第三邊x 的取值范疇為（）a 1x 5b5 x13c13 x 5d 1 x52. abc中,如邊a： b： c2 ： 1 3 ： 2,就內(nèi)角a；3某人在 c點測得塔頂a

25、在南偏西80°,仰角為45°,此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10 米到 0,測得塔頂a 仰角為 30°,就塔高；4在 abc中,已知b30°, b 50, c 150,解三角形并判定三角形的外形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5在 abc中,已知cot acot bcot c,判定 abc 為什么三角形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 § 8.3 空間向量及其運算一.學(xué)問導(dǎo)學(xué)1空間直角坐標(biāo)系：（1）如空間的一個基底的三個基向量相互垂直,且長為1 ,這個基精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載底叫單位

26、正交基底,用 i、j 、 k 表示；（ 2）在空間選定一點o 和一個單位z正 交 基 底精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載i 、j 、k ,以點 o 為原點, 分別以i 、 j 、 k 的方向為正方向建立三條數(shù)軸：xax、y、z軸. y 軸.z精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載軸,它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個空間直角坐標(biāo)系oxyz ,點 oki o j叫原點,向y精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載量i 、j 、 k 都叫

27、坐標(biāo)向量通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面,分別稱x為xoy平精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載面, yoz 平面, zox 平面；2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系oxyz 中,對空間任一點a ,存在唯獨的有序?qū)崝?shù)組x、 y、 z ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載使 oaxiy jzk ,有序?qū)崝?shù)組 x、 y、 z 叫作向量a 在空間直角坐標(biāo)系oxyz 中的坐標(biāo), 記作a x、 y、 z ,x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載叫橫坐標(biāo),y 叫縱坐標(biāo),z 叫豎坐標(biāo)3空間向量的直角坐標(biāo)運算律：（1）如 a

28、 a1 、a2 、 a3 , bb1、 b2 、b3 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就 aba1b1、 a2b2 、 a3b3 , aba1b1、 a2b2 、 a3b3 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aa1 、a2 、a3 r , a ba1b1a2 b2a3b3 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a / ba1b1 、 a2b2 、 a3b3 r ,aba1b1a2b2a3b30 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

29、 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）如a x1 、 y1、 z1 , bx2 、 y2 、 z2 ,就 abx2x1 、 y2y1 、 z2z1 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4模長公式：如a222a 、 a 、a , 就 | a |a aaaa精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載123123精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5夾角公式：abcos aba1b1a2 b2a3b3精品學(xué)習(xí)資料精

30、選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載| a | | b |222222aaabbb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載123123精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6兩點間的距離公式：如ax 、 y 、 z , bx 、 y、 z,就 | ab|2xx 2yy2zz2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載111222ab212121精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載二.疑難學(xué)問導(dǎo)學(xué)1.對于這部分的一些學(xué)問點,讀者可以對比平面對量的學(xué)問,看哪些學(xué)問可以直接推廣,哪些需要作修改,哪些不能用的,稍作整理,以便于記憶；2.空間向量作為新加入的內(nèi)容,在處理空間問題中

31、具有相當(dāng)?shù)膬?yōu)越性,比原先處理空間問題的方法更有敏捷性,所以本節(jié)的學(xué)習(xí)難點在于把握應(yīng)用空間向量的常用技巧與方法,特殊為體會其中的轉(zhuǎn)化的思想方法如把立體幾何中的線面關(guān)系問題及求角求距離問題轉(zhuǎn)化為用向量解決,如何取向量或建立空間坐標(biāo)系,找到所論證的平行垂直等關(guān)系,所求的角和距離用向量怎樣來表達(dá)為問題的關(guān)鍵3.向量運算的主要應(yīng)用在于如下幾個方面：(1) 判定空間兩條直線平行 共線 或垂直；(2) 求空間兩點間的距離；(3) 求兩條異面直線所成的角.4 .本節(jié)內(nèi)容對于立體幾何的應(yīng)用,讀者需自行復(fù)習(xí),這里不再贅述；三.經(jīng)典例題導(dǎo)講 例 1 以下所表示的空間直角坐標(biāo)系的直觀圖中,不正確選項（）abcd錯解

32、： b.c. d中任選一個錯因 ：對于空間直角坐標(biāo)系的表示不清晰；有共同的原點,且兩兩垂直的三條數(shù)軸,只要符合右手系的規(guī)定,就可以作為空間直角坐標(biāo)系正解 ：易知 c 不符合右手系的規(guī)定,應(yīng)選c 例 2 已知點 a 3, 1,1 ,點 b 2,2, 3 ,在 ox.oy.oz 軸上分別取點l.m.n,使它們與a.b 兩點等距離錯因 ：對于坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特點不明；使用方程解題的思想意識不夠；分析 ：設(shè) ox 軸上的點 l 的坐標(biāo)為 x ,0,0 ,由題意可得關(guān)于x 的一元方程,從而解得x 的值類似可求得點m.n的坐標(biāo)解：設(shè) l.m. n的坐標(biāo)分別為x , 0, 0 . 0 , y ,0 .0 ,

33、 0, z 由題意,得22x 3 2 1 1 x 2 2 4 9,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載9 y 1 1 4 y 2 9,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載9 1z 1 2 4 4 z 3 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分別解得x3. y1、 z3 ,2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故 l 3、0、0、 m 0、1、0、 n 0、0、 32評注：空間兩點的距離公式為平面內(nèi)兩點的距離公式的推廣：如點p.q的坐標(biāo)分別為 x 1, y 1, z 1 . x 2, y 2, z 2 ,就 p. q的距離為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

34、- - 歡迎下載pq x2x 2 y2y 2 z2z 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載111必需嫻熟把握這個公式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 例 3 設(shè) aa1 、 a2 、 a3 , bb1、 b2 、b3 ,且 ab ,記| ab |m ,求 ab 與 x 軸正方向的夾角的余弦值精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載錯解 ：取 x 軸上的任一向量c x、0、0,設(shè)所求夾角為,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 abca1b1、a2b2 、a3b3

35、 x、0、0a1b1 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cos ab ca1b1 xa1b1 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載| ab | | c |mxm精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即余弦值為a1b1 m精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載錯因 ：審題不清；沒有看清“x 軸正方向”,并不為x 軸精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載正解 ：取 x 軸正方向的任一向量c x、0、0,設(shè)所求夾角為,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎

36、下載 ab ca1b1、 a2b2 、 a3b3 x、0、0 a1b1 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 cosabc a1b1 xa1b1 ,即為所求精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載| ab | | c |mxm 例 4 在 abc中,已知ab 2、4、0、bc 1、3、0,就 abc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：ba2、4、0、 bc1、3、0、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cosba、 bcbabc2122=精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

37、 - - - 歡迎下載 abc 135°| ba | bc |25102精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 例 5 已知空間三點a0、2、3、b 2、1、6、c1、 1、5 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求以向量ab、 ac 為一組鄰邊的平行四邊形的面積s；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如向量 a 分別與向量ab、 ac 垂直,且 | a | 3 ,求向量 a 的坐標(biāo)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析 ：ab2、1、3、 ac1、3、2、cosbacab| abac1| ac |2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎

38、下載 bac 60°,s| ab | ac | sin 6073精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) a x、y、z,就 aab2xy3z0、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aacx3y2z0、 | a |3xyz3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載222解得 x y z 1 或 x y z 1, a 1、1、1或 a 1, 1, 1.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 例 6 已知正方體ac1 的棱長為 a , e 為 cc1 的中點, o 為對角線bd1 的中點,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

39、料 - - - 歡迎下載求異面直線cc1 和 bd1 的距離精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解 ： 以 d 為 原 點 ,da、 dc 、 dd1所 在 的 直 線 分 別 為 x 軸 , y 軸 . z 軸 建 立 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 , 就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a a、0、0、ba、 a、0、c 0、 a、0d 1c1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b1 a、 a、 a、 a1 a、0、 a、 d 0、0、0 ,a1b1eo精品學(xué)習(xí)資料精選

40、學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dc設(shè) e x、 y、 z ,ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 e 在平面a1 db 上,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 a1 ea1da1b ,即 xa、 y、 za a、0、a0、 a、 a ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xaaya,zaaa精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 cea1d 、cebd ,x、 y2、 za、0、a0,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x、 y2、 za、a、00精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)