2022年2022年高中數(shù)學(xué)排列組合及二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)高中數(shù)學(xué)之排列組合二項(xiàng)式定理一.分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理：分類計(jì)數(shù)原理： 假如完成某事有幾種不同的方法,這些方法間為彼此獨(dú)立的,任選其中一種方法都能達(dá)到完成此事的目的,那么完成此事的方法總數(shù)就為這些方法種數(shù)的和；分步計(jì)數(shù)原理： 假如完成某事,必需分成幾個(gè)步驟,每個(gè)步驟都有不同的方法,而個(gè)步驟中的任何一種方法與下一步驟中的每一個(gè)方法都可以連接,只有依次完成全部各步, 才能達(dá)到完成此事的目的,那么完成此事的方法總數(shù)就為這些方法種數(shù)的積；區(qū)分：假如任何一類方法中的任何一種方法都能完成這件事,就選用分類計(jì)數(shù)原理,即類與類之間為相互獨(dú)立的,即“分類完

2、成”；假如只有當(dāng)n 個(gè)步驟都做完,這件事才能完成,就選用分步計(jì)數(shù)原理,即步與步之間為相互依存的,連續(xù)的,即“分步完成”；二.排列與組合：（1）排列與組合的區(qū)分和聯(lián)系：都為討論從一些不同的元素中取出n 個(gè)元素的問(wèn)題；區(qū)分：前者有次序,后者無(wú)次序；（2）排列數(shù).組合數(shù)：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載an排列數(shù)的公式：mnn1 n2nm1n.mnnm.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載an留意：全排列：nn. ；記住以下幾個(gè)階乘數(shù),1！ =1, 2！ =2,3！ =6, 4！ =24, 5！ =120, 6！ =720；排列數(shù)的性質(zhì)：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

3、歡迎下載an1mnnam1 （將從 n 個(gè)不同的元素中取出mmn 個(gè)元素,分兩步完成：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載第一步從 n 個(gè)元素中選出1 個(gè)排在指定的一個(gè)位置上；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其次步從余下上）n1 個(gè)元素中選出m1 個(gè)排在余下的m 1 個(gè)位置精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ammam 1a m （將從 n 個(gè)不同的元素中取出mmn 個(gè)元素,分兩類完成：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nn 1n 1第一類： m 個(gè)元素中含有a ,分兩步完成：第一步將 a 排在某一位置上,有m 不同的方法；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

4、料 - - - 歡迎下載其次步從余下上）n 1 個(gè)元素中選出m1 個(gè)排在余下的m1 個(gè)位置精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載m 1即有 man 1種不同的方法；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其次類： m 個(gè)元素中不含有a ,從 n1個(gè)元素中取出m 個(gè)元素排在m 個(gè)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載an 1位置上,有m 種方法；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cn組合數(shù)的公式：mmnnaanm m1n2n m.m1n. m. nmnm.精品學(xué)習(xí)資料精選

5、學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cmn組合數(shù)的性質(zhì)：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n c mn（從 n 個(gè)不同的元素中取出m 個(gè)元素后, 剩下 nm 個(gè)元素, 也就為說(shuō),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)從 n 個(gè)不同的元素中取出m 個(gè)元素的每一個(gè)組合,都對(duì)應(yīng)于從n 個(gè)不同的元素中取出nm 個(gè)元素的唯獨(dú)的一個(gè)組合；）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nn c mc mm 1mc1n1nc（分兩類完成： 第一類： 含 a ,有11種方法； 其次類： 不含 a ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

6、- 歡迎下載n1有 c m種方法；）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載mnm 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載c nc nm1（第一步：先選出 1 個(gè)元素,其次步：再?gòu)挠嘞?n1 個(gè)元素中選出m1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載個(gè),但有重復(fù),如先選出a1 ,再選出a 2 、 a3 、 a m 組成一個(gè)組合,與精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載先選出a2 ,再選出a1 、 a 3 、 am 組成一個(gè)組合為相同的,且重復(fù)了 m精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

7、 - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 c mc m 1次）c m 1c m 1c m 1 mn （分 nm1類：第一類：含a ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nn 1n 2n 3m 11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載為 c m1；其次類：不含a ,含a ,為 c1；第三類：不含a ,不含精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載mn 112n 21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a2 ,含a 3 ,為m 1cn 3 ；）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 c mc mc 0c m 1c 1c 1c m 1

8、c m（將 n 元素分成分成兩個(gè)部分,第精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nrn rrn rrn rn r精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一部分含r rm 個(gè)元素,其次部分含n r nrm 個(gè)元素：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在第一部分中取m 個(gè)元素,在其次部分不取元素,有c mc 0；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載rn r在 第 一 部 分 中 取 m1 個(gè) 元 素 , 在 第 二 部 分 取1個(gè) 元 素 , 有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ccm 11rnr ；）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（3）

9、排列.組合的應(yīng)用：解排列組合應(yīng)用題時(shí)主要應(yīng)抓住為排列問(wèn)題仍為組合問(wèn)題,其次要 搞清需要分類,仍為需要分步切記： 排組分清 有序排列.無(wú)序組合 ,分類分步明確排列組合應(yīng)用問(wèn)題主要有三類：不帶限制條件的排列或組合題；帶限制條件的排列或組合題；排列組合綜合題；解排列組合的應(yīng)用題,通常有以下途徑：以元素為主,即先滿意特別元素的要求,再考慮其他元素特別元素法以位置為主,即先滿意特別位置的要求,再考慮其他位置特別位置法先不考慮附加條件,運(yùn)算出排列或組合數(shù),再減不合要求的排列數(shù)或組合數(shù)間接法（4）對(duì)解組合問(wèn)題,應(yīng)留意以下三點(diǎn)：對(duì)“組合數(shù)”恰當(dāng)?shù)姆诸愡\(yùn)算,為解組合題的常用方法；為用“直接法”仍為“間接法”解組

10、合題,其前提為“正難就反”；命題設(shè)計(jì)“分組方案”為解組合題的關(guān)鍵所在；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)（3）解排列.組合題的基本策略與方法：去雜法：對(duì)有限制條件的問(wèn)題,先從總體考慮,再把不符合條件的全部情形去掉；這為解決排列組合應(yīng)用題時(shí)一種常用的解題方法；分類處理： 某些問(wèn)題總體不好解決時(shí),經(jīng)常分成如干類, 再由分類計(jì)數(shù)原理得出結(jié)論；這為解排列組合問(wèn)題的基本策略之；留意的為：分類不重復(fù)不遺漏；即：每?jī)深惖慕患癁榭占?全部各類的并集為全集；分步處理： 與分類處理類似,某些問(wèn)題總體不好解決時(shí),經(jīng)常分成如干步,再由分步計(jì)數(shù)原懂得決；在處理排列組合問(wèn)題時(shí),經(jīng)常既要分類,

11、又要分步；其原就為先分類,后分步 ；插入法 （插空法）：某些元素不能相鄰采納插入法； 即先支配好沒(méi)有限制條件的元素,然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間；“捆綁”法： 要求 某些元素相鄰,把相鄰的如干特別元素“捆綁”為一個(gè)大元素,然 后再與其余“一般元素”全排列,最終再“松綁”,將特別元素在這些位置上全排列,即為“捆綁法”；窮舉法： 將全部滿意題設(shè)條件的排列與組合逐一排列出來(lái)；消序處理： 對(duì)勻稱分組問(wèn)題在解決時(shí),肯定要區(qū)分開(kāi)為 “有序分組” 仍為“無(wú)序分組” ,如為“無(wú)序分組” ,肯定要清除同勻稱分組無(wú)形中產(chǎn)生的有序因素；三.二項(xiàng)式定理：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下

12、載abnc 0 a nc 1 a n 1 bc r a nr brc nb n nn * 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nnnn（ 1）通項(xiàng)：tr 1c r a nr b r 0rn精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n（2）二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：二項(xiàng)綻開(kāi)式中,與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,即：m n mccn n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載二項(xiàng)綻開(kāi)式中,中間的一項(xiàng)或兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即當(dāng) n

13、 為偶數(shù)時(shí),第n21 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,為nnc 2 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí),第n1 項(xiàng)及 n1 221項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,為ncn 21n 1cn 2 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載二項(xiàng)綻開(kāi)式中全部項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于2 n ,即01n2 n ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cccnnn二項(xiàng)綻開(kāi)式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和相等,即精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ccc024nnn135n 1cccn2nnn；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

14、料 - - - 歡迎下載n c 12c 23c 3nc nn2 n 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nn（3）. abc n 綻開(kāi)式中a pb q c r的系數(shù)求法（p、 q、 r0 的整數(shù)且pqrn ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載abc n abc nc r ab nr c rc r c qa n rq b q cr精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nnn r精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如： abc10 綻開(kāi)式中含a 3b 2 c5 的系數(shù)為c 3 c 2 c 51

15、0.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（4）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：求綻開(kāi)式中的指定的項(xiàng)或特定項(xiàng)：10753.2. 5.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如：如2 x 21 n n x 3n ,綻開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng),就n 的最小值為；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求 | x |1| x |2 3 的綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載留意：三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的綻開(kāi)式問(wèn)題,把某兩項(xiàng)結(jié)合為一項(xiàng),利用二項(xiàng)式定懂得決；求綻開(kāi)式中的某一項(xiàng)的系數(shù)：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如：在 x3

16、 10 的綻開(kāi)式中,x 6 的系數(shù)為；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2n求綻開(kāi)式中的系數(shù)和：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如： 1x1x 21x na0a1 xa x2a x n的全部各項(xiàng)的系數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載和 為 2n 12 （ 賦 值 法 ： 令 x1 ）； a 0a 2a4f 1f 1；2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a1a3a5f 1f 12；（令f xa0a1 xa x2a x n ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

17、- - 歡迎下載2n求二項(xiàng)式綻開(kāi)式的系數(shù)最大項(xiàng)的問(wèn)題：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求 abx n 綻開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng),通常設(shè)綻開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)分別為a1 、 a2 、 an 1 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè)第 r1 項(xiàng)系數(shù)最大,就ar 1ar 1arar 2；然后求出不等式組的整數(shù)解；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如：求 2x10 綻開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載利用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題及余數(shù)的求法：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如：求證：3 2n 28n9 能被 64 整除（ nn * ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明有關(guān)的不等式問(wèn)題：有些不等式, 可應(yīng)用二項(xiàng)式定理,結(jié)合放縮法證明,即把二項(xiàng)綻開(kāi)式中的某些正項(xiàng)適當(dāng)刪去 縮小 ,或把某些負(fù)項(xiàng)刪去 放大 ,使等式轉(zhuǎn)化為不等式,然后再依據(jù)不等式的傳精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載遞性進(jìn)行證明；1xn1nx ； 1xn1nxn n21 x2