6、角平分線模型,角平分線+平行線

1、角平分線模型模型4角平分線+平行線如圖，P是ZMON的平分線上一點，過點P作PQ0N,交OM于點QC 結論：P0Q是等腰三角形。模型證明TPQ/ON：.ZPON=ZOPQ乂 TOP是ZMON的平分線 ZPOQ=ZPON： ZPOQ=ZOPQPOQ是等腰三角形模型分析有角平分線時，常過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構造等腰三角形，為證明結 論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關系。模型實例解答下列問題：(1) 如圖所示，在AABC中，EFBC,點D在EF上，BD、CD分別平分Z ABC、ZACB,寫出線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關系；(2) 如圖所示，BD平分ZABC、C

2、D平分ZACG, DEBC交AB于點E,交AC 于點F,線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關系？并說明理由。(3) 如圖所示，BD、CD分別為外角ZCBM. ZBCN的平分線，DE/7BC交 AB延長線于點E,交AC延長線于點F,直接寫出線段EF與BE、CF有什 么數(shù)量關系？解析：(1)由模型可知,ED=BEzDF=CF.EF=ED+DF=BE+CF(2) VDEBC ZEDB二ZDBC 乂 BD 平分 ZABC ZDBE=ZDBC ZEDB=ZDBE EBD為等腰三角形BE二ED同理可證：FD=CFAEF=ED-Fd=BE-CFAEF=BE-CF(3) EF=BE+CF (由模型可輕松證明)模型

3、練習1. 如圖，在AABC中，ZABC. ZACB的平分線交于點E,過點E作MNBC,交AB于 點交AC于點NO若BM+CN=9,則線段MN的長為。解析：由模型可得，ME=BMzEN=CNAMN=ME+EN=BM*CN=92. 如圖，在ZXABC 中，AD 平分ZBAC,點 E、F 分別在 BD. AD 上，£L DE=CD, EF=AC 求證：EFABo解析:如圖，延長AD至M點，使DM=DF,連接CM.在ADFE和ADMC中，(DFDM9V ZFDE=ZMDc,、ED=CD, DFEDMC( SAS)* EF= CM, Z 3 = ZTEF=AC, . AC= CM.Z2 = Z

4、MTAD 平分 ZBAC, Z1 = Z2.Z1 = Z3. EF/ABt3. 如圖，梯形ABCD中，ADBC,點E在CD上，Jl AE半分ZBAD, BE平分ZABCO 求證：AD=AB-BC.解答證明：在4B上找到F使得AF = AD,. 4砰分 BAL)：.乙 EAD =乙EAF.在EF和 AED中AD = AFI Z_ EAD = Z.EAFAE = AE：.AEDl (SAS). AF = AQ /_AFE 二 Z_Q. AD/ BC,.乙D+ 乙C 二 18CT/ 乙AFE+ LBFE- 18(1乙C 二乙 BFlE'：BSg分 LBArI：.厶 FBE=厶C.在C和 MEF中ABFE=厶 Cr /.FBE- LCBEBE= BE：.B