2016高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)教師用書(shū)理蘇教版

1、§2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)1二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n(a0)零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)圖象定義域(，)(，)值域單調(diào)性在x上單調(diào)遞減；在x上單調(diào)遞增在x上單調(diào)遞增；在x上單調(diào)遞減對(duì)稱性函數(shù)的圖象關(guān)于x對(duì)稱2.冪函數(shù)(1)定義：形如yx(R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)(2)冪函數(shù)的圖象比較(3)冪函數(shù)的性質(zhì)比較 函數(shù) 特征性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1定義域RRR0，)x|

2、xR且x0值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性增x0，)時(shí)，增；x(，0時(shí)，減增增x(0，) 時(shí)，減；x(，0)時(shí)，減【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)二次函數(shù)yax2bxc，xa，b的最值一定是.(×)(2)二次函數(shù)yax2bxc，xR，不可能是偶函數(shù)(×)(3)冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,0)(×)(4)當(dāng)n>0時(shí)，冪函數(shù)yxn是定義域上的增函數(shù)(×)(5)若函數(shù)f(x)(k21)x22x3在(，2)上單調(diào)遞增，則k±.(×)

3、(6)已知f(x)x24x5，x0,3)，則f(x)maxf(0)5，f(x)minf(3)2.(×)1函數(shù)f(x)(xa)(x2)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a_.答案2解析由f(x)x2(2a)x2a為二次函數(shù)，又因?yàn)榕己瘮?shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即對(duì)稱軸方程x0，解得a2.2已知函數(shù)yx22x3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為_(kāi)答案1,2解析yx22x3的對(duì)稱軸為x1.當(dāng)m<1時(shí)，yf(x)在0，m上為減函數(shù)ymaxf(0)3，yminf(m)m22m32.m1與m<1矛盾，舍去當(dāng)1m2時(shí)，yminf(1)122×132，ymaxf(0)3.當(dāng)m>

4、;2時(shí)，ymaxf(m)m22m33，m0或m2，與m>2矛盾，舍去綜上所述，1m2.3若冪函數(shù)y(m23m3)xm2m2的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)答案1或2解析由，解得m1或2.經(jīng)檢驗(yàn)m1或2都適合4(2014·江蘇)已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(，0)解析作出二次函數(shù)f(x)的草圖，對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)<0，則有即解得<m<0.題型一二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)例1已知函數(shù)f(x)x22ax3，x4,6(1)當(dāng)a2時(shí)，求f(x)的最值；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使yf(

5、x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù)；(3)當(dāng)a1時(shí)，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6，f(x)在4,2上單調(diào)遞減，在2,6上單調(diào)遞增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是xa，所以要使f(x)在4,6上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有a4或a6，即a6或a4.(3)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此時(shí)定義域?yàn)閤6,6，且f(x)f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6，單調(diào)遞減區(qū)間是6,0思維升華(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定

6、區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵都是考查對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論；(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行分析討論求解(1)如果函數(shù)f(x)x2(a2)xb(xa，b)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的最小值為_(kāi)(2)若函數(shù)f(x)2x2mx1在區(qū)間1，)上遞增，則f(1)的取值范圍是_答案(1)5(2)(，3解析(1)由題意知得則f(x)x22x6(x1)255，所以函數(shù)f(x)的最小值為5.(2)拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x，1，m4.又f(1)1m3，f(1)(，3題型二二次函數(shù)的應(yīng)用例2已知函

7、數(shù)f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.(1)若函數(shù)f(x)的最小值為f(1)0，求f(x)的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)間；(2)在(1)的條件下，f(x)>xk在區(qū)間3，1上恒成立，試求k的范圍解(1)由題意得f(1)ab10，a0，且1，a1，b2.f(x)x22x1，單調(diào)減區(qū)間為(，1，單調(diào)增區(qū)間為1，)(2)f(x)>xk在區(qū)間3，1上恒成立，轉(zhuǎn)化為x2x1>k在區(qū)間3，1上恒成立設(shè)g(x)x2x1，x3，1，則g(x)在3，1上遞減g(x)ming(1)1.k<1，即k的取值范圍為(，1)思維升華有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法用

8、函數(shù)思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn)已知函數(shù)f(x)x22ax2，x5,5(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)函數(shù)解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得最小值1；當(dāng)x5時(shí)，f(x)取得最大值37.(2)函數(shù)f(x)(xa)22a2的圖象的對(duì)稱軸為直線xa，因?yàn)閥f(x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)函數(shù)，所以a5或a5，即a5或a5.故a的取值范圍是(，55，)題型三冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)例3(1)已知冪函數(shù)f(x)(n22n2)·(nZ)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

9、，且在(0，)上是減函數(shù)，則n的值為_(kāi)(2)若>，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(1)1(2)解析(1)由于f(x)為冪函數(shù)，所以n22n21，解得n1或n3，經(jīng)檢驗(yàn)只有n1適合題意(2)因?yàn)楹瘮?shù)y的定義域?yàn)?，)，且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以不等式等價(jià)于解2m10，得m；解m2m10，得m或m.解2m1>m2m1，得1<m<2，綜上所述，m<2.思維升華(1)冪函數(shù)的形式是yx(R)，其中只有一個(gè)參數(shù)，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式(2)若冪函數(shù)yx(R)是偶函數(shù)，則必為偶數(shù)當(dāng)是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般將其先化為根式，再判斷(3)若冪函數(shù)yx在(0，)上單調(diào)遞增，則>0，

10、若在(0，)上單調(diào)遞減，則<0.(1)已知冪函數(shù)f(x)(m2m1)·x5m3在(0，)上是增函數(shù)，則m_.(2)若<，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(1)1(2)1，)解析(1)函數(shù)f(x)(m2m1)·x5m3是冪函數(shù)，m2m11，解得m2或m1.當(dāng)m2時(shí)，5m313，函數(shù)yx13在(0，)上是減函數(shù)；當(dāng)m1時(shí)，5m32，函數(shù)yx2在(0，)上是增函數(shù)m1.(2)易知函數(shù)y的定義域?yàn)?，)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以解得1a<.分類討論思想在二次函數(shù)最值中的應(yīng)用典例：(14分)已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值思維點(diǎn)撥參數(shù)a的值確定f(x)

11、圖象的形狀；a0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象為拋物線，還要考慮開(kāi)口方向和對(duì)稱軸位置解(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)2x在0,1上遞減，f(x)minf(1)2.2分(2)當(dāng)a>0時(shí)，f(x)ax22x圖象的開(kāi)口方向向上，且對(duì)稱軸為x.3分當(dāng)1，即a1時(shí)，f(x)ax22x圖象的對(duì)稱軸在0,1內(nèi)，f(x)在0，上遞減，在，1上遞增f(x)minf().6分當(dāng)>1，即0<a<1時(shí)，f(x)ax22x圖象的對(duì)稱軸在0,1的右側(cè)，f(x)在0,1上遞減f(x)minf(1)a2.9分(3)當(dāng)a<0時(shí)，f(x)ax22x的圖象的開(kāi)口方向向下，且對(duì)稱軸x<0，在y軸的左側(cè)，f(x)

12、ax22x在0,1上遞減f(x)minf(1)a2.12分綜上所述，f(x)min14分溫馨提醒(1)本題在求二次函數(shù)最值時(shí)，用到了分類討論思想，求解中既對(duì)系數(shù)a的符號(hào)進(jìn)行了討論，又對(duì)對(duì)稱軸進(jìn)行討論在分類討論時(shí)要遵循分類的原則：一是分類的標(biāo)準(zhǔn)要一致，二是分類時(shí)要做到不重不漏，三是能不分類的要盡量避免分類，絕不無(wú)原則的分類討論(2)在有關(guān)二次函數(shù)最值的求解中，若軸定區(qū)間動(dòng)，仍應(yīng)對(duì)區(qū)間進(jìn)行分類討論.方法與技巧1二次函數(shù)的三種形式：(1)已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式(2)已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)的量時(shí)，常使用頂點(diǎn)式(3)已知二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)已知時(shí)，

13、選用零點(diǎn)式求解更方便2二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間相互轉(zhuǎn)化的一般規(guī)律：(1)在研究一元二次方程根的分布問(wèn)題時(shí)，常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來(lái)解，一般從：開(kāi)口方向；對(duì)稱軸位置；判別式；端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)，四個(gè)方面分析(2)在研究一元二次不等式的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解3冪函數(shù)yx(R)圖象的特征>0時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)和(1,1)，在第一象限的圖象上升；<0時(shí)，圖象不過(guò)原點(diǎn)，在第一象限的圖象下降，反之也成立失誤與防范1對(duì)于函數(shù)yax2bxc，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a0，當(dāng)題目條件中未說(shuō)明a0時(shí)，就要討論a0和a0兩種情況2冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)

14、，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)1如果函數(shù)f(x)x2ax3在區(qū)間(，4上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案a8解析函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x，由題意得4，解得a8.2已知函數(shù)f(x)x22x，g(x)ax2(a>0)，若x11,2，x21,2，使得f(x1)g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案3，)解析由函數(shù)f(x)x22x(x1)21，當(dāng)x1,2時(shí)，f(x)minf(1)1，f(x)maxf(1)3，即函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,

15、3，當(dāng)x1,2時(shí)，函數(shù)g(x)ming(1)a2，g(x)maxg(2)2a2，若滿足題意則解得a3.3如果函數(shù)f(x)x2bxc對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f(1x)f(x)，那么_f(2)<f(0)<f(2)；f(0)<f(2)<f(2)；f(2)<f(0)<f(2)；f(0)<f(2)<f(2)答案解析由f(1x)f(x)知f(x)的圖象關(guān)于x對(duì)稱，又拋物線開(kāi)口向上，結(jié)合圖象可知f(0)<f(2)<f(2)4已知f(x)，若0<a<b<1，則下列各式中正確的是_f(a)<f(b)<f()<f()；f(

16、)<f()<f(b)<f(a)；f(a)<f(b)<f()<f()；f()<f(a)<f()<f(b)答案解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，)上是增函數(shù)，又0<a<b<<，所以f(a)<f(b)<f()<f()5若函數(shù)f(x)x2axa在區(qū)間0,2上的最大值為1，則實(shí)數(shù)a_.答案1解析函數(shù)f(x)x2axa的圖象為開(kāi)口向上的拋物線，函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得f(0)a，f(2)43a，或解得a1.6“a1”是“函數(shù)f(x)x24ax3在區(qū)間2，)上為增函數(shù)”的_條件答案充分不必要解析函數(shù)f(x)x24a

17、x3在區(qū)間2，)上為增函數(shù)，則滿足對(duì)稱軸2a2，即a1，所以“a1”是“函數(shù)f(x)x24ax3在區(qū)間2，)上為增函數(shù)”的充分不必要條件7對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)f(x)(5a)x26xa5恒為正值，則a的取值范圍是_答案(4,4)解析由題意得解得4<a<4.8當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)yx的圖象不可能經(jīng)過(guò)第_象限答案二、四解析當(dāng)1,1,3時(shí)，yx的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限；當(dāng)時(shí)，yx的圖象經(jīng)過(guò)第一象限9設(shè)函數(shù)yx22x，x2，a，求函數(shù)的最小值g(a)解函數(shù)yx22x(x1)21.對(duì)稱軸為直線x1，而x1不一定在區(qū)間2，a內(nèi)，應(yīng)進(jìn)行討論當(dāng)2<a<1時(shí)，函數(shù)在2，a上單調(diào)遞減則當(dāng)xa時(shí)，ym

18、ina22a；當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)在2,1上單調(diào)遞減，在1，a上單調(diào)遞增，則當(dāng)x1時(shí)，ymin1.綜上，g(a)10已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f(x)>2x的解集為(1,3)若方程f(x)6a0有兩個(gè)相等的根，求f(x)的單調(diào)區(qū)間解f(x)2x>0的解集為(1,3)，設(shè)f(x)2xa(x1)(x3)，且a<0，f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0得ax2(24a)x9a0.方程有兩個(gè)相等的根，(24a)24a·9a0，解得a1或a.由于a<0，舍去a1.將a代入式得f(x)x2x(x3)2，函數(shù)f(x)的單調(diào)

19、增區(qū)間是(，3，單調(diào)減區(qū)間是3，)B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：20分鐘)1已知函數(shù)f(x)x22ax2a4的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，)，則a的值為_(kāi)答案1或3解析由于函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，)，所以f(x)min1且<0.所以1<a<1.又f(x)(xa)2a22a4，當(dāng)xR時(shí)，f(x)minf(a)a22a41，即a22a30，解得a3或a1.2已知函數(shù)f(x)ax2bxc，且a>b>c，abc0，集合Am|f(m)<0，則下列命題正確的是_mA，都有f(m3)>0；mA，都有f(m3)<0；m0A，使得f(m03)0；m0A，使得f(m03)<0.答案解析由a>b>c，abc0可知a>0，c<0，且f(1)0，f(0)c<0，即1是方程ax2bxc0的一個(gè)根，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0