三角形的等積變形(一)

1、1 / 4 年級(jí)四年級(jí)學(xué)科奧數(shù)版本通用版課程標(biāo)題三角形的等積變形（一）編稿老師允一校林卉二校琦鋒審核舒這節(jié)課， 我們一起來(lái)學(xué)習(xí)三角形的等積變形，它是幾何問(wèn)題中在求直線(xiàn)型面積時(shí)，很重要的一個(gè)部分，下面我們就來(lái)研究一下三角形的面積與它的底和高三者之間的關(guān)系。三角形面積的計(jì)算公式：s底高2三角形面積、底和高之間的關(guān)系：從公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積。如果三角形的底不變，高越大（?。?，三角形面積也就越大（?。?；如果三角形的高不變，底越大（小），三角形面積也就越大（?。划?dāng)三角形的面積變化時(shí)，它的底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化。當(dāng)三角形的底和高同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，三角形的面積

2、不一定變化。一個(gè)三角形的面積變化與否取決于它的底和高的乘積，而不僅僅取決于底或高的變化。一個(gè)三角形在面積不改變的情況下，可以有無(wú)數(shù)多個(gè)不同的形狀。重要結(jié)論：等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。若兩個(gè)三角形的高相等，其中一個(gè)三角形的底是另一個(gè)三角形的幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。若兩個(gè)三角形的底相等，其中一個(gè)三角形的高是另一個(gè)三角形的幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。例 1如圖，在abc中，d是bc邊上一點(diǎn)，bd 12 厘米，dc4 厘米。（1）求abc的面積是abd面積的多少倍；（2）求abd的面積是adc面積的多少倍。分析與解： 因?yàn)閍bd、abc和ad

3、c分別以bd、bc和dc為底時(shí)，它們的高都是過(guò)a點(diǎn)向bc邊上所作的垂線(xiàn)，也就是說(shuō)三個(gè)三角形的高相等。因?yàn)椋?2416，161234，所以abc的底是abd的底的34倍，所以，abc的面積是abd面積的34倍；同理，因?yàn)?124 3，所以abd的面積是adc面積的 3 倍。鞏固理解結(jié)論：兩個(gè)三角形等高時(shí)，面積的倍數(shù)底邊長(zhǎng)的倍數(shù)。2 / 4 例 2如圖，e在ad上，ad垂直于bc，ad12 厘米，de3 厘米。求abc的面積是ebc面積的幾倍。分析與解： 因?yàn)閍d垂直于bc，所以當(dāng)bc為abc和ebc的底時(shí)，ad是abc的高，ed是ebc的高。于是：abc的面積bc122 bc6；ebc的面積bc

4、32 bc1.5 。所以abc的面積是ebc的面積的4 倍。鞏固理解結(jié)論：兩個(gè)三角形等底時(shí)，面積的倍數(shù)高的倍數(shù)。例 3 如圖，在梯形abcd中，ac與bd是對(duì)角線(xiàn)，其交點(diǎn)為o，求證：aob與cod面積相等。分析與解： abc與dbc等底等高，abcsdbcs。又 aobsabcsbocs，docsdbcsbocs，aobscods。例 4如圖，abc的面積是24，d、e和f分別是bc、ac和ad的中點(diǎn)。求def的面積。分析與解： d是bc的中點(diǎn)，adc的面積是abc面積的一半，即242 12。e是ac的中點(diǎn)，ade的面積是adc面積的一半，即122 6。f是ad的中點(diǎn)，3 / 4 def的面積

5、是ade面積的一半，即def的面積 62 3。例 5如下圖，在平行四邊形abcd中，e為ab的中點(diǎn)，af2cf，afe（圖中陰影部分）的面積為8 平方厘米。則平行四邊形abcd的面積是多少平方厘米？分析與解： 連結(jié)fb。因?yàn)閍f2cf，所以afb的面積是cfb的面積的 2 倍。又因?yàn)閑為ab的中點(diǎn)，所以afb的面積是aef的面積的2 倍。所以abc的面積是aef的面積的3 倍。又因?yàn)槠叫兴倪呅蝍bcd的面積是abc的面積的2 倍，所以平行四邊形abcd的面積是afe的面積的32 6 倍。因此，平行四邊形abcd的面積為 86 48（平方厘米） 。（答題時(shí)間： 30 分鐘）1. 用兩種不同的方法

6、，把任意一個(gè)三角形分成四個(gè)面積相等的三角形。2. 如圖，在長(zhǎng)方形abcd中，ad為 8 厘米，ab為 3 厘米。請(qǐng)問(wèn)：陰影部分的面積是多少平方厘米？3. 如圖，在abc中，d、e、f分別是bc、ad、be的三等分點(diǎn)，已知abcs27 平方厘米，求defs。4. 如下圖，梯形abcd的上底ad長(zhǎng)為 5 厘米，下底bc長(zhǎng)為 12 厘米，腰c(diǎn)d的長(zhǎng)為 8 厘米，過(guò)b點(diǎn)作cd的垂線(xiàn)be，be的長(zhǎng)為 9 厘米。那么梯形abcd的面積是多少？5. 如下圖， 正方形abcd的邊長(zhǎng)為10，三角形bef的面積為30。那么bf的長(zhǎng)度為多少？4 / 4 1. 解：解法一： 如圖（1） ，將bc邊四等分， 連接a與各

7、等分點(diǎn)， 則abd、ade、aef、afc的面積相等。解法二：如圖（ 2） ，d是bc的二等分點(diǎn)，e、f分別是ac、ab的中點(diǎn)，從而得到四個(gè)等積三角形adf、bdf、dce、ade。解法三： 如圖（3） ，d是bc的四等分點(diǎn)，e、f是ad的三等分點(diǎn)， 從而得到abd、aec、ecf、fcd的面積相等。2. 解：可以通過(guò)等積變形把三個(gè)陰影三角形變成長(zhǎng)方形的一半，所以陰影部分的面積為832 12（平方厘米） 。3. 解：因?yàn)閐為bc邊的三等分點(diǎn)， 所以adcs31abcs9 平方厘米。 同理abes31abds6 平方厘米，bdfs31bdes4 平方厘米，所以defs279648平方厘米。4. 解：連接bd，作出梯形的一條高df。三角形bcd以cd為底、be為高， 面積為 89236（平方厘米） ；也可以看做以bc為底、df為高，由bc12 厘米可知df為 362126（厘米）。在梯形abcd中，上底為5 厘米，下底為12 厘米，高為6 厘米，面積為（512）62 5