2020年高考數(shù)學(xué)《新高考創(chuàng)新題型》之3：三角函數(shù)與解三角形(含精析)

1、2020 年高考數(shù)學(xué)（新高考創(chuàng)新題型）之3.三角函數(shù)與解三角形（含精析）一、選擇題。1已知函數(shù) f ( x )的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，若DABC為銳角三角形，則一定成立的是（ ）y·O 1x（A） f (cos A) < f (cos B )（B） f (sin A) < f (cos B )（C） f (sin A) > f (sin B )（D） f (sin A) > f (cos B )2已知 ABC 中，C=90°，AB=5，BC=4，以 BC 為直徑的圓交 AB 于 D，則 BD 的長為（ ）A.4 B. C. D.3如 圖所示，為了測(cè)量某

2、湖泊兩側(cè) A,B 間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與 A,B 不共線的一點(diǎn) C ，然后給出了三種測(cè)量方案：（ DABC 的角 A, B, C 所對(duì)的邊分別記為 a , b, c）： 測(cè)量 A, C , b 測(cè)量 a , b, C測(cè)量 A, B, a則一定能確定 A,B間距離的所有方案的個(gè)數(shù)為（ ）A3 B2 C1 D0qP4已知 S =p20000×(sinp20000+sin2p 3p 10000p +sin +L L +sin20000 20000 20000)，則與 S 的值最接近的是（ ）A0.99818B0.9999C1.0001D2.00025如圖，某人在垂直于水平地面 AB

3、C 的墻面前的點(diǎn) A 處進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知點(diǎn) A 到墻面的距離為 AB ，某目標(biāo)點(diǎn) P 沿墻面上的射線 CM 移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn) P ，需計(jì)算由點(diǎn) A觀察點(diǎn) P的仰角 q 的大?。ㄑ鼋?為直線 AP 與平面 ABC 所成的角），若AB =15m ， AC =25m ， ÐBCM =30o ，則 tan q 的最大值是（ ）A.30 30 4 3 5 3B. C. D.5 10 9 9ìï6過平面區(qū)域 íx -y +2 ³0 y +2 ³0內(nèi)一點(diǎn) 作圓O : x 2 +y 2 =1的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A, B，ï

4、îx +y +2 £0記ÐAPB =a，則當(dāng)a最小時(shí)cosa的值為( )A.9510B.19 9 1C. D.20 10 2二、填空題。7 若 數(shù) 列an滿 足a =2, a = 1 n11 -an -1, ( n=2,3,4,L)， 且 有 一 個(gè) 形 如a = 3 sinn(wn+j)+12的通項(xiàng)公式，其中 w 、j均為實(shí)數(shù)，且w >0，j <p2，則a4 4 aw =_，j =.8設(shè)角 的終邊在第一象限，函數(shù)f ( x )的定義域?yàn)?,1，且f (0) =0, f (1) =1，當(dāng)x ³ y時(shí)，有f (x +y2) = f ( x )

5、sina+(1 -sin1 1a) f ( y ) f ( ) =，則使等式 成立的 的集合為 9. 如圖所示，位于東 海某島的雷達(dá)觀測(cè)站 A，發(fā)現(xiàn)其北偏東 45，與觀測(cè)站 A 距離20 2海里的 B 處有一貨船正勻速直線行駛，半小時(shí) 后，又測(cè)得該貨船位于觀測(cè)站 A 東偏北q(0 <q<45 )的 C 處，且 cosq=45，已知 A、C 兩處的距離為 10 海里，則該貨船的船速為海里小時(shí)_10.如圖,在坡度 一定的山坡 A 處測(cè)得山頂上一建筑物 CD 的頂端 C 對(duì)于山坡的斜度為 15°,向山頂前進(jìn) 100 米到達(dá) B 后,又測(cè)得 C 對(duì)于山坡的斜度為 45°

6、,若 CD=50 米,山坡對(duì)于地平面 的坡角為 ,則 cos = .11 已 知O是 銳 角DABC的 外 接 圓 的 圓 心 ， 且ÐA =p4， 其 外 接 圓 半 徑 為 R, 若cos B cos C 1×AB + ×AC = m AO ，則 m =_ c b 2 R12觀察下列一組等式：sin 2 30 +cos 2 60 +sin 30 cos60 =3 3 ， sin 2 15 +cos 2 45 +sin15 cos 45 =4 4， sin245 +cos275 +sin 45 cos75 =34，那么，類比推廣上述結(jié)果，可以得到的一般結(jié)果是：_

7、3A.【解析】根據(jù)圖形可知，a , b可以測(cè)得，角 A, B , C也可以測(cè)得，利用測(cè)量的數(shù)據(jù)，求解 A, B兩點(diǎn)間的距離唯一即可.對(duì)于可以利用正弦 定理確定唯一的 A, B 直接利用余弦定理即可確定 A, B 兩點(diǎn)間的距離，故選 A.4B.兩點(diǎn)間的距離；對(duì)于【解析】根據(jù)題意可知，S可近似看成òp20psin xdx =-cos x | 20=1，又S =p p 2p 3p 10000p ×(sin +sin +sin +L L +sin20000 20000 20000 20000 20000) >òp20sin xdx，故選 C.5D【解析】由勾股定理知

8、， BC =20 ，過點(diǎn) P 作 PP¢BC 交 BC 于 P ¢，連結(jié) AP ¢，依 題 意 ，t a nq(0 <q<p2)取 最 大 值 ， 點(diǎn) P ¢在 點(diǎn) B 的 左 邊 ， 則t a nq=PP¢AP¢， 設(shè)BP ¢=x( x >0)，因?yàn)?#208;BCM =30 ，則 CP ¢=3 x -20，341在RtDAPP¢中， AP =xtanq，在RtDABP¢x中由勾股定理得 ( )tan q2=152+( 3 x -20)2，整理得tan2q=x 2 1=225

9、 +( 3x -20) 2 625 40 3- +3x 2 x，2p07；3【解析 】根據(jù)遞推關(guān)系式a =2, a = 1 n11 -an -1,( n =2,3, 4, )可得a =21 1 1 1=-1,a = = , a = =2 =a 1 -a 1 -a 2 1 -a1 2 3，所以該數(shù)列a是周期數(shù)列，周期 n為T =3，又因?yàn)?a = 3 sinn(wn+j)+12是該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，所以T =2pw=3 Þ w =2 p3，又因?yàn)楫?dāng)n =1時(shí)，a = 3 sin(12p 1 2p 3 +j)+ =2 Þ sin( +j)=3 2 3 2，因?yàn)閨p p p p

10、 j|< Þ - <j< Þ <2 2 2 62p 7p+j<3 6，所以由sin(2p 3+j)=3 2可得ç÷n2ö÷ìx =1, y =04 4 4 a因而 的集合為2p 2p 2p p p p +j= 或 +j= ，進(jìn)而可得j=0 或 j=- ；當(dāng) j=-3 3 3 3 3 3時(shí)，æ2p pöa = 3 sin n - +è 3 3 ø122p p 1 1，此時(shí)當(dāng) n =2 時(shí)， a = 3 sin( ´2 - ) + = ¹-

11、13 3 2 2，不符合題意，舍去；當(dāng)j=0時(shí)， a = 3 sin næçè2 p3n +ø12，此時(shí) n =1,2,3時(shí)，分別得到a =2, a =-1,a = 1 2 31 2p ，滿足題意，綜上可知 w=2 3，j=0.8ía|îa =2 kpp+ , k ÎZ 6üýþ【 解 析 】 令 得 ：1f ( ) = f (1) sian+ 2(1-sianf ) =(0)1asi n x = , y =0 ， 令 2 得 ：1 1 f ( ) = f ( )sin4 2a+(1 -sina

12、) f (0) =sin2a，由1 1 1f ( ) = sin 2 a =得： ，又角 的終邊在第一象限，所以sin1a = ,2ì pía|a=2kp+ , k ÎZa î 6üýþ.4 859【解析】由已知， sin q=35, ÐBAC =450 -q,所以，cos ÐBAC =cos(45 0 -q）=2 7 2 （cos q+sin q）= 2 10，由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2 AB ×AC ×cos(450-q）=800+100-2 ´20 2 ´10 ´7 210=340,故BC =2 85（海里），該貨船的船速為4 85海里/小時(shí)12 sin2x +cos2( x +30 ) +sin x cos( x +30 ) =34【解析】解：觀察下列一組等式：1 sin230°+cos260°+sin30°cos60°=3 /4 ，2 sin215°+cos245°+sin15°cos45°=3 /4 ，3 sin245°+cos275