2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第4節(jié) 函數(shù)性質(zhì)的綜合問題 教案

1、第四節(jié)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題考點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合問題解題思路(1)解決比較大小、最值問題應(yīng)充分利用奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上具有相反的單調(diào)性(2)解決不等式問題時一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，列出不等式(組)，要注意函數(shù)定義域?qū)?shù)的影響(1)(2019·全國卷)設(shè)f(x)是定義域為r的偶函數(shù)，且在(0，)單調(diào)遞減，則()afffbfffcfffdfff(2)(2017·全國卷)函數(shù)f(x)在(，)上

2、單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)若f(1)1，則滿足1f(x2)1的x的取值范圍是()a2,2b1,1c0,4 d1,3(1)c(2)d(1)f(x)是定義域為r的偶函數(shù)，f(x)f(x)ff(log34)f(log34)又log34log331，且1220，log34220.f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，f(2)f(2)f(log34)f.故選c.(2)f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)上單調(diào)遞減，1x21，1x3.逆向問題設(shè)f(x)是定義在2b,3b上的偶函數(shù)，且在2b,0上為增函數(shù)，則f(x1)f(3)

3、的解集為()a3,3b2,4c1,5 d0,6b因為f(x)是定義在2b,3b上的偶函數(shù)，所以有2b3b0，解得b3，由函數(shù)f(x)在6,0上為增函數(shù)，得f(x)在(0,6上為減函數(shù)，故f(x1)f(3)f(|x1|)f(3)|x1|3，故2x4.(1)函數(shù)值的大小比較問題，可以利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用其單調(diào)性比較大小(2)對于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為f(x1)f(x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性脫去法則“f”變成常規(guī)不等式，如x1x2(或x1x2)求解1.已知函數(shù)f(x)滿足以下兩個條件：任意x1，x2(0，)且x1x2，(x1x2

4、)·f(x1)f(x2)0；對定義域內(nèi)任意x有f(x)f(x)0，則符合條件的函數(shù)是()af(x)2x bf(x)1|x|cf(x)x3 df(x)ln(x23)c由條件可知，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，則可排除a、d選項，由條件可知，f(x)為奇函數(shù)，則可排除b選項，故選c.2函數(shù)yf(x)在0,2上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x2)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是()af(1)ffbff(1)fcfff(1)dff(1)fb函數(shù)yf(x)在0,2上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x2)是偶函數(shù)，函數(shù)yf(x)在2,4上單調(diào)遞減，且在0,4上函數(shù)yf(x)滿足f(2x)f(2x)，f(1)f(3)，ff

5、(3)f，即ff(1)f.3(2019·濱州模擬)設(shè)奇函數(shù)f(x)定義在(，0)(0，)上，f(x)在(0，)上為增函數(shù)，且f(1)0，則不等式0的解集為()a(1,0)(1，)b(，1)(0,1)c(，1)(1，)d(1,0)(0,1)d奇函數(shù)f(x)定義在(，0)(0，)上，在(0，)上為增函數(shù)，且f(1)0，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且過點(diǎn)(1,0)和(1,0)，且f(x)在(，0)上也是增函數(shù)函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示f(x)f(x)，不等式0可化為0，即xf(x)0.不等式的解集即為自變量與對應(yīng)的函數(shù)值異號的x的范圍，據(jù)圖象可知x(1,0)(0,1)考點(diǎn)2函數(shù)的周

6、期性與奇偶性已知f(x)是周期函數(shù)且為偶函數(shù)，求函數(shù)值，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)，把未知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)求解(2019·福州質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)對任意的xr都滿足f(x)f(x)0，f為偶函數(shù)，當(dāng)0x時，f(x)x，則f(2 017)f(2 018)_.2依題意，f(x)f(x)，ff，所以f(x3)f(x)f(x)，所以f(x6)f(x)，所以f(2 017)f(1)1，f(2 018)f(2)fff(1)1，所以f(2 017)f(2 018)2.解奇偶性、周期性的綜合性問題的2個關(guān)鍵點(diǎn)(1)

7、利用奇偶性和已知等式求周期(2)將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題求解1.已知定義在r上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)f，且f(1)2，則f(2 018)_.2因為f(x)f，所以f(x3)fff(x)所以f(x)是以3為周期的周期函數(shù)則f(2 018)f(672×32)f(2)f(1)f(1)2.2已知f(x)是定義在r上以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)1，f(5)2a3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(，2)f(x)是定義在r上的周期為3的偶函數(shù)，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)2a31，即a2.考點(diǎn)3單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等綜合問題函數(shù)的奇偶性、周期性

8、及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題一題多解(2018·全國卷)已知f(x)是定義域為(，)的奇函數(shù)，滿足f(1x)f(1x)若f(1)2，則f(1)f(2)f(3)f(50)()a50 b0c2 d50c法一：(直接法)f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(1x)f(x1)由f(1x)f(1x)，得f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)由f(x)為奇函數(shù)得f(0)0.又f(1x)f(1

9、x)，f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，f(2)f(0)0，f(2)0.又f(1)2，f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)0×12f(49)f(50)f(1)f(2)202.法二：(特例法)由題意可設(shè)f(x)2sin，作出f(x)的部分圖象如圖所示由圖可知，f(x)的一個周期為4，所以f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)12×0f(1)f(2)2.(1)函數(shù)的奇偶性與對稱性的關(guān)系若函數(shù)f(x)滿足f(ax)f(ax)，則

10、其函數(shù)圖象關(guān)于直線xa對稱；當(dāng)a0時可以得出f(x)f(x)，函數(shù)為偶函數(shù)，即偶函數(shù)為特殊的線對稱函數(shù)若函數(shù)f(x)滿足f(2ax)2bf(x)，則其函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱；當(dāng)a0，b0時得出f(x)f(x)，函數(shù)為奇函數(shù)，即奇函數(shù)為特殊的點(diǎn)對稱函數(shù)(2)函數(shù)的對稱性與周期性的關(guān)系若函數(shù)f(x)關(guān)于直線xa與直線xb對稱，那么函數(shù)的周期是2|ba|.若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對稱，那么函數(shù)的周期是2|ba|.若函數(shù)f(x)關(guān)于直線xa對稱，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對稱，那么函數(shù)的周期是4|ba|.(3)函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性的關(guān)系其中a0，上面每組三個結(jié)論中的

11、任意兩個能夠推出第三個教師備選例題(1)已知f(x)是定義在r上的偶函數(shù)，且f(x1)f(x)，若f(x)在1,0上單調(diào)遞減，則f(x)在1,3上是()a增函數(shù)b減函數(shù)c先增后減的函數(shù)d先減后增的函數(shù)(2)已知定義在r上的連續(xù)奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，有下列命題：函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x4k2(kz)對稱；函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為8k6,8k2(kz)；函數(shù)f(x)在區(qū)間(2 018,2 018)上恰有1 008個極值點(diǎn)；若關(guān)于x的方程f(x)m0在區(qū)間8,8上有根，則所有根的和可能為0或±4或±8.其中真命題的個數(shù)為()a1b

12、2c3 d4(1)d(2)c(1)根據(jù)題意，因為f(x1)f(x)，所以f(x2)f(x1)f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期是2.又因為f(x)在定義域r上是偶函數(shù)，在1,0上是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在0,1上是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在1,2上是減函數(shù)，在2,3上是增函數(shù)，所以f(x)在1,3上是先減后增的函數(shù)，故選d.(2)正確，定義在r上的連續(xù)奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，f(x4)4f(x4)f(x)，即f(x8)f(x)，f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，8k(kz且k0)也是其周期又f(x)為r上的連續(xù)奇函數(shù)，由f(x4)f(x)，即f(x)f(x4)，得f(x)f(4x)

13、，函數(shù)f(x)的一條對稱軸為x2.又8k(kz且k0)是f(x)的周期，f(x)f(x8k)f(4x)，函數(shù)的對稱軸為x4k2(kz且k0)綜上，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x4k2(kz)對稱，故正確；錯誤，作圖如下：由圖可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為8k6,8k2(kz)，故錯誤；正確，由圖可知，f(x)在一個周期內(nèi)有兩個極值點(diǎn)，在區(qū)間(2 016,2 016)上有504個完整周期，有1 008個極值點(diǎn)，在區(qū)間(2 018，2 016和2 016,2 018)上沒有極值點(diǎn)，故在區(qū)間(2 018,2 018)上有1 008個極值點(diǎn)，正確；正確，由圖中m1，m2，m3，m4，m5五條直線可知

14、， 關(guān)于x的方程f(x)m0在區(qū)間8,8上有根，則所有根的和可能為0或±4或±8，故正確綜上所述，正確，故選c.1.(2016·全國卷)已知函數(shù)f(x)(xr)滿足f(x)2f(x)，若函數(shù)y與yf(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，則 (xiyi)()a0 bmc2m d4mb函數(shù)f(x)(xr)滿足f(x)2f(x)，即f(x)f(x)2，可得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，函數(shù)y，即y1的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，函數(shù)y與yf(x)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于(0,1)對稱，關(guān)于(0,1)對稱的兩個點(diǎn)的橫坐標(biāo)和為0，縱坐標(biāo)和為2.當(dāng)交點(diǎn)

15、不在對稱軸上時，m為偶數(shù)， (xiyi)xiyi0×2×m；當(dāng)有交點(diǎn)在對稱軸上時，m為奇數(shù)，則 (xiyi)xiyi0×02×1m.綜上， (xiyi)m.2已知定義在r上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則()af(25)f(11)f(80)bf(80)f(11)f(25)cf(11)f(80)f(25)df(25)f(80)f(11)d因為f(x)滿足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定義在r上的奇

16、函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因為f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(x)在r上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間2,2上是增函數(shù)，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)課外素養(yǎng)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算用活函數(shù)性質(zhì)中的三個結(jié)論數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，通過運(yùn)算能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展通過常見的“二維結(jié)論”解決數(shù)學(xué)問題，可優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程，使學(xué)生逐步形成規(guī)范化、程序化的思維品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神奇函數(shù)的最值性質(zhì)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間d上的奇函數(shù)，則對任意的xd，都有f(x)f(x)0.特別地，若奇函數(shù)f(x)在d上有最

17、值，則f(x)maxf(x)min0，且若0d，則f(0)0.【例1】設(shè)函數(shù)f(x)的最大值為m，最小值為m，則mm_.2顯然函數(shù)f(x)的定義域為r，f(x)1，設(shè)g(x)，則g(x)g(x)，g(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖象的對稱性知g(x)maxg(x)min0，mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.【素養(yǎng)提升練習(xí)】已知函數(shù)f(x)ln(3x)1，則f(lg 2)f(lg )()a1b0c1 d2d設(shè)g(x)ln(3x)，易知函數(shù)的定義域為r，關(guān)于原點(diǎn)對稱，g(x)g(x)ln(3x)ln(3x)ln(3x)(3x)ln 10，g(x)為奇函數(shù)，g(lg 2

18、)g(lg )g(lg 2)g(lg 2)0，又f(x)g(x)1，f(lg 2)f(lg )g(lg 2)1g(lg )12.抽象函數(shù)的周期性(1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期t2a.(2)如果f(xa)(a0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個周期t2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個周期t2a.【例2】已知函數(shù)f(x)為定義在r上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，有f(x3)f(x)，且當(dāng)x(0,3)時，f(x)x1，則f(2 017)f(2 018)()a3b2c1 d0c因為函數(shù)f(x)為定義在r上的奇函數(shù)，所以

19、f(2 017)f(2 017)，因為當(dāng)x0時，有f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x3)f(x)，即當(dāng)x0時，自變量的值每增加6，對應(yīng)函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)一次又當(dāng)x(0,3)時，f(x)x1，f(2 017)f(336×61)f(1)2，f(2 018)f(336×62)f(2)3.故f(2 017)f(2 018)f(2 017)31.【素養(yǎng)提升練習(xí)】(2019·山西八校聯(lián)考)已知f(x)是定義在r上的函數(shù)，且滿足f(x2)，當(dāng)2x3時，f(x)x，則f_.f(x2)，f(x4)f(x)，ff，又2x3時，f(x)x，f，f.抽象函數(shù)的對稱性已知函數(shù)f(x)是定義在r上的函數(shù)(1)若f(ax)f(bx)恒成立，則yf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，特別地，若f(ax)f(ax)恒成立，則