2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）考點(diǎn)32 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用（解析版）

1、考點(diǎn)32 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用【命題解讀】高考對(duì)正弦定理和余弦定理的考查較為靈活，題型多變，往往以小題的形式獨(dú)立考查正弦定理或余弦定理，以解答題的形式綜合考查定理的綜合應(yīng)用，多與三角形周長、面積有關(guān)；有時(shí)也會(huì)與平面向量、三角恒等變換等結(jié)合考查，試題難度控制在中等或以下，主要考查靈活運(yùn)用公式求解計(jì)算能力、推理論證能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、數(shù)形結(jié)合思想等【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】 1仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖)2方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如b點(diǎn)的方位角為(如圖)3方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角(1)北偏東，即由指北方向順時(shí)

2、針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向(如圖)(2)北偏西，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向(3)南偏西等其他方向角類似區(qū)分兩種角(1)方位角：從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角(2)方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角4坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖，角為坡角)(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖，i為坡度)坡度又稱為坡比1 為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個(gè)橋位樁a，b(如圖)，要測(cè)量a，b兩點(diǎn)的距離，測(cè)量人員在岸邊定出基線bc，測(cè)得bc50 m，abc105°，bca45°就可以計(jì)算出a，b兩點(diǎn)的距離為_a20

3、mb30 mc40 md50 m【答案】：d【解析】：由正弦定理得，則ab50(m)2 如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形aob，c是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于ao的小路cd已知某人從o沿od走到d用了2 min，從d沿著dc走到c用了3 min若此人步行的速度為每分鐘50 m，則該扇形的半徑為_ma50b50c50d50【答案】：c【解析】連結(jié)oc，在ocd中，od100，cd150，cdo60°，由余弦定理可得oc2100215022×100×150×17 500，解得oc50(m)3 如圖，一艘船上午9：30在

4、a處測(cè)得燈塔s在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)b處，此時(shí)又測(cè)得燈塔s在它的北偏東75°處，且與它相距8 n mile此船的航速是_n mile/ha16b32c64d128【答案】：b【解析】：設(shè)航速為v n mile/h，在abs中，abv，bs8 n mile，bsa45°，由正弦定理，得， v32 n mile/h4 某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼叫信號(hào)，我海軍艦艇在a處獲悉后，立即測(cè)出該漁輪在方位角為45°距離為10海里的c處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9海里/小時(shí)的速度向小島靠攏，我

5、海軍艦艇立即以21海里/小時(shí)的速度前去營救，則艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為_小時(shí)abcd1【答案】：b【解析】：如圖，設(shè)艦艇在b處靠近漁輪，所需的時(shí)間為t小時(shí)，則ab21t，cb9t在abc中，根據(jù)余弦定理，則有ab2ac2bc22ac·bccos120°，可得212t210281t22·10·9t·整理得360t290t1000，解得t或t(舍去)故艦艇需小時(shí)靠近漁輪考向一利用正弦、余弦定理解決距離及角度問題例1、某市電力部門需要在a，b兩地之間架設(shè)高壓電線，因地理?xiàng)l件限制，不能直接測(cè)量a，b兩地距離 現(xiàn)測(cè)量人員在相距 km的c，d兩地(假設(shè)a，

6、b，c，d在同一平面上)，測(cè)得acb75°，bcd45°，adc30°，adb45°(如圖)，假如考慮到電線的自然下垂和施工損耗等原因，實(shí)際所須電線長度大約應(yīng)該是a，b距離的倍，問施工單位至少應(yīng)該準(zhǔn)備多長的電線？ 【解析】：在acd中，由已知可得cad30°，所以ac km在bcd中，由已知可得，cbd60°sin75°sin(45°30°)由正弦定理，bccos75°cos(45°30°)在abc中，由余弦定理ab2ac2bc22ac·bccosbca22

7、3;·cos75°5 所以ab，故施工單位應(yīng)該準(zhǔn)備電線長為 km變式1、如圖，有一段河流，河的一側(cè)是以o為圓心，半徑為10 m的扇形區(qū)域ocd，河的另一側(cè)是一段筆直的河岸l，岸邊有一煙囪ab(不計(jì)b離河岸的距離)，且ob的連線恰好與河岸l垂直，設(shè)ob與圓弧的交點(diǎn)為e經(jīng)測(cè)量，扇形區(qū)域和河岸處于同一水平面，在點(diǎn)c，點(diǎn)o和點(diǎn)e處測(cè)得煙囪ab的仰角分別為45°，30°和60°(1) 求煙囪ab的高度；(2) 如果要在ce間修一條直路，求ce的長【解析】：(1) 設(shè)ab的高度為h在cab中，因?yàn)閍cb45°，所以cbh在oab中，因?yàn)閍ob30

8、°，aeb60°，所以obh，ebh由題意得h10，解得h15故煙囪ab的高度為15 m(2) 在obc中，coscob所以在oce中，ce2oc2oe22oc·oe·coscoe300300600×100故ce的長為10 m變式2、在海岸a處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離a為(1) nmile的b處有一艘走私船，在a處北偏西75°的方向，距離a為2 nmile的c處的緝私船奉命以10 nmile/h的速度追截走私船此時(shí)，走私船正以10 nmile/h的速度從b處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走

9、私船？【解析】： 如題圖所示，注意到最快追上走私船且兩船所用時(shí)間相等，若在d處相遇，則可先在abc中求出bc，再在bcd中求bcd設(shè)緝私船用t h在d處追上走私船，則有cd10t，bd10t，在abc中， ab1，ac2，bac120°， 由余弦定理得bc2ab2ac22ab·ac·cosbac(1)2222·(1)·2·cos120°6， bc coscba， cba45°，即b在c正東 cbd90°30°120°，在bcd中，由正弦定理得sinbcd， bcd30°即緝私

10、船沿北偏東60°方向能最快追上走私船變式3、如圖，漁船甲位于島嶼a的南偏西60°方向的b處，且與島嶼a相距12海里，漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼a出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從b處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2 h追上，此時(shí)到達(dá)c處(1) 求漁船甲的速度；(2) 求sin的值【解析】：(1) 依題意知，bac120°，ab12海里，ac10×220海里，bca在abc中，由余弦定理，得bc2ab2ac22ab·ac·cosbac1222022×12×20×cos120°784，

11、解得bc28海里所以漁船甲的速度為14海里/小時(shí)(2) 在abc中，因?yàn)閍b12海里，bac120°，bc28海里，bca，由正弦定理，得即sin方法總結(jié)：(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理考向二 正余弦定理在三角形中的運(yùn)用例2、(2015南京、鹽城、徐州二模）如圖，在abc中，d是bc上的一點(diǎn)已知b60°，ad2，ac，dc，則ab_. 【答案】【解析】、在acd中，因?yàn)閍d2，ac，dc，所以cosadc，從

12、而adc135°，所以adb45°.在adb中，所以ab 變式1、(2015南通、揚(yáng)州、淮安、連云港二調(diào)）如圖，在abc中，ab3，ac2，bc4，點(diǎn)d在邊bc上，bad45°，則tancad的值為_【答案】【解析】、 從構(gòu)造角的角度觀察分析，可以從差的角度(cada45°)，也可以從和的角度(acad45°)，所以只需從余弦定理入手求出a的正切值，問題就迎刃而解了解法1 在abc中，ab3，ac2，bc4，由余弦定理可得cosa，所以tana，于是tancadtan(a45°).解法2 由解法1得tana.由tan(45°

13、cad)得，即，解得tancad.變式2、(2017徐州、連云港、宿遷三檢）abcd(第15題)如圖，在中，已知點(diǎn)在邊上，（1）求的值；（2）求的長解析：（1）在中，所以同理可得， 所以（2）在中，由正弦定理得，又，所以在中，由余弦定理得，變式3、(2016徐州、連云港、宿遷三檢）如圖，在梯形abcd中，已知adbc，ad1，bd2，cad，tanadc2.(1) 求cd的長；(2) 求bcd的面積解析： (1)因?yàn)閠anadc2，且adc(0，)，所以sinadc，cosadc.所以sinacdsin sin sinadc·coscosadc·sin ，(6分)在adc中

14、，由正弦定理得cd(2) 因?yàn)閍dbc, 所以cosbcdcosadc，sinbcdsinadc在bdc中，由余弦定理得bd2bc2cd22bc·cd·cosbcd，得bc22bc350，解得bc7, (12分)所以sbcdbc·cd·sinbcd×7××7.變式4、（2017年蘇北四市模擬）如圖，在四邊形abcd中，已知ab13，ac10，ad5，cd，·50.(1) 求cosbac的值；(2) 求sincad的值；(3) 求bad的面積 解析： (1) 因?yàn)?#183;cosbac，所以cosbac.(2) 在

15、adc中，ac10，ad5，cd.由余弦定理，得coscad.因?yàn)閏ad(0，)，所以sincad.(3) 由(1)知，cosbac.因?yàn)閎ac(0，)，所以sinbac.從而sinbadsin(baccad) sinbaccoscadcosbacsincad ××.所以sbadab·ad·sinbad×13×5×方法總結(jié)：正余弦定理主要就是研究三角形綜合的邊與角的問題，許多題目中往往給出多邊形，因此，就要根據(jù)題目所給的條件，標(biāo)出邊和角，合理的選擇三角形，盡量選擇邊和角都比較多的條件的三角形，然后運(yùn)用正余弦定理解決。1、（2

16、020屆山東師范大學(xué)附中高三月考）泉城廣場(chǎng)上矗立著的“泉標(biāo)”，成為泉城濟(jì)南的標(biāo)志和象征為了測(cè)量“泉標(biāo)”高度，某同學(xué)在“泉標(biāo)”的正西方向的點(diǎn)a處測(cè)得“泉標(biāo)”頂端的仰角為，沿點(diǎn)a向北偏東前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)b，在點(diǎn)b處測(cè)得“泉標(biāo)”頂端的仰角為，則“泉標(biāo)”的高度為（ ）a50 mb100 mc120 md150 m【答案】a【解析】如圖,為“泉標(biāo)”高度,設(shè)高為米，由題意,平面,米,，在中,在中,在中,，,，,由余弦定理可得，解得或 (舍去),故選：b.2、某小區(qū)有一個(gè)四邊形草坪abcd，bc120°，ab40 m，bccd20 m，則該四邊形abcd的面積等于_m2【答案】：500【解析】

17、：連結(jié)bd，在bcd中，bccd20，bcd120°， cbd30°，bd20，sbcd×20×20×sin120°100在abd中，abd120°30°90°，ab40，bd20， sabdab·bd×40×20400， 四邊形abcd的面積是500 m23、 某同學(xué)騎電動(dòng)車以24 km/h的速度沿正北方向的公路行駛，在點(diǎn)a處測(cè)得電視塔s在電動(dòng)車的北偏東30°方向上，15 min后到點(diǎn)b處，測(cè)得電視塔s在電動(dòng)車的北偏東75°方向上，則點(diǎn)b與電視塔的距離是

18、_km【答案】：3【解析】：如題圖，由題意知ab24×6，在abs中，bas30°，ab6，abs180°75°105°，asb45°，由正弦定理知，bs34、 如圖，一棟建筑物的高為(3010)m，在該建筑物的正東方向有一個(gè)通信塔cd在它們之間的地面點(diǎn)m(b，m，d三點(diǎn)共線)處測(cè)得樓頂a，塔頂c的仰角分別為15°和60°，在樓頂a處測(cè)得塔頂c的仰角為30°，則通信塔cd的高為_ m【答案】：60【解析】：如圖，在rtabm中，am20 m又易知manamb15°，所以mac30°15

19、°45°，又amc180°15°60°105°，從而acm30°在amc中，由正弦定理得，解得mc40在rtcmd中，cd40×sin 60°60 m，故通信塔cd的高為60 m5、如圖，航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為10 000 m，速度為50 m/s某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420 s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹開m(取1.4，1.7)【答案】：2 650 【解析】：如圖，作cd垂直于ab的延長線于點(diǎn)d，由題意知a15&#

20、176;，dbc45°，acb30°，ab50×42021 000(m)又在abc中，bc×sin 15°10 500()cdad，cdbc·sindbc10 500()×10 500(1)7 350故山頂?shù)暮０胃叨萮10 0007 3502 650(m)6、如圖，甲船從a處以每小時(shí)30海里的速度沿正北方向航行，乙船在b處沿固定方向勻速航行，b在a北偏西105°方向且與a相距10海里處當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)c處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的d處，此時(shí)兩船相距10海里(1) 求乙船每小時(shí)航行多少海里？(2) 在c處北偏西30°方向且與c相距海里處有一個(gè)暗礁e，