人教A版2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：二項(xiàng)式定理_20210103224739

1、二項(xiàng)式定理知識(shí)講解一、二項(xiàng)式定理1.二項(xiàng)式定理定義：這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理2.二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)式的通項(xiàng)定義：叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，式中的叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)用表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第項(xiàng)： 3.二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)冪指數(shù)：二項(xiàng)式的展開(kāi)式項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)各項(xiàng)的冪指數(shù)狀況是：1）各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)2）字母的按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由逐項(xiàng)減1直到零，字母按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到4.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1）對(duì)稱性：在二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等2）單調(diào)性：二項(xiàng)式系數(shù)（數(shù)列）在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間（

2、項(xiàng)）取得最大值其中：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù), 相等，且最大3）組合總數(shù)公式： 即二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于 4）“一分為二”的考察：二項(xiàng)展開(kāi)式中各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，即 備注：通項(xiàng)是的展開(kāi)式的第項(xiàng)，這里二項(xiàng)式的項(xiàng)和的展開(kāi)式的第項(xiàng)是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的和是不能隨便交換的注意二項(xiàng)式系數(shù)（）與展開(kāi)式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，二項(xiàng)式系數(shù)一定為正，而項(xiàng)的系數(shù)有時(shí)可為負(fù)通項(xiàng)公式是這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是（只須把看成代入二項(xiàng)式定理）這與是不同的，在這里對(duì)應(yīng)項(xiàng)的二

3、項(xiàng)式系數(shù)是相等的都是，但項(xiàng)的系數(shù)一個(gè)是，一個(gè)是，可看出，二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念設(shè)，則得公式： 通項(xiàng)是中含有五個(gè)元素，只要知道其中四個(gè)即可求第五個(gè)元素經(jīng)典例題一選擇題（共7小題）1（x+1）（x+1x+2）4的展開(kāi)式中x2項(xiàng)的系數(shù)為（）a84b96c126d256【解答】解：（x+1）（x+1x+2）4=(x+1)(x2+2x+1x)4=(x+1)(x+1)8x4=(x+1)9x4（x+1）9的展開(kāi)式的通項(xiàng)tr+1=c9rx9-r取9r=6，得r=3（x+1）（x+1x+2）4的展開(kāi)式中x2項(xiàng)的系數(shù)為c93=84故選：a2已知：x(x-2)8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a

4、9(x-1)9，則a6=（）a28b448c112d448【解答】解：令t=x1，則(t+1)(t-1)8=a0+a1t+a2t2+a9t9，故a6=c83(-1)3+c82(-1)2=-28，故選：a3（x+2y）（2xy）5的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為（）a40b80c120d160【解答】解：根據(jù)題意，（2xy）5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為tr+1=c5r（2x）5r（y）r=（1）rc5r（2x）5r（y）r，當(dāng)r=2時(shí)，有t3=c52（2x）3y2=80x3y2，當(dāng)r=3時(shí)，有t4=c53（2x）2y3=40x2y3，（x+2y）（2xy）5的展開(kāi)式中x3y3的項(xiàng)為2y80x3y2+x（40x2

5、y3）=120x3y3，即其系數(shù)為120；故選：c4（1+x）（2x）4的展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)為（）a16b16c48d48【解答】解：（2x）4展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 tr+1=c4r24r（x）r，（1+x）（2x）4的展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)為c4123+24=16，故選：a5（1+x2）（2x-1）6的展開(kāi)式中1x項(xiàng)的系數(shù)為（）a12b12c172d172【解答】解：因?yàn)椋?x1）6的通項(xiàng)公式為c6r（2x）6r（1）r=26rc6r（1）rxr6，故展開(kāi)式中1x項(xiàng)的系數(shù)為2c65（1）5+23c63（1）3=172，故選：c6（2x1x）5（x+1x）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）a20b20c40d

6、40【解答】解：根據(jù)題意，（2x1x）5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為tr+1=c5r（2x）5r（1x）r=（1）r×25r×c5r×x52r，當(dāng)r=2時(shí)，有t3=（1）2×8×c52×x=80x，當(dāng)r=3時(shí)，有t4=（1）3×4×c53×1x=40x，則（2x1x）5（x+1x）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為80x×1x+（40x）×x=40；故選：c7（1+x）6的展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為（）a64b32c24d16【解答】解：（1+x）6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 tr+1=c6rxr2，令r2為整數(shù)，可得

7、r=0，2，4，6，故展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為 c60+c62+c64+c66=25=32，故選：b二填空題（共5小題）8（x2+1）（2x+1）6展開(kāi)式的x3的系數(shù)是172【解答】解：（x2+1）（2x+1）6展開(kāi)式的x3的系數(shù)：二項(xiàng)式（2x+1）6由通項(xiàng)tr+1=c6r(2x)6-r當(dāng)（x2+1）提供x2項(xiàng)時(shí)，則r=5，此時(shí)系數(shù)為2×c65=12當(dāng)（x2+1）提供常數(shù)項(xiàng)時(shí)，則r=3，此時(shí)系數(shù)為c63×23160合并可得：（x2+1）（2x+1）6展開(kāi)式的x3的系數(shù)為160+12=172，故答案為：1729（2x3y）2（x+y）8的展開(kāi)式中，含x3y7的項(xiàng)的系數(shù)為200

8、0【解答】解：（2x3y）2（x+y）8=（4x212xy+9y2）（x+y）8，（x+y）8的通項(xiàng)公式：tr+1=c8rx8ryr令r=7，則4x2c87xy7=32x3y7；令r=6，則12xyc86x2y6=336x3y7；令r=5，則9y2c85x3y5=504x3y7綜上可得：展開(kāi)式中x3y7項(xiàng)的系數(shù)為32336+504=200故答案為：20010（x+1）（x1）5展開(kāi)式中含x3項(xiàng)的系數(shù)為0【解答】解：（x+1）（x1）5 =（x+1）（c50 x5+c51x4(-1)1+c52x3(-1)2+c53x2(-1)3+c54x1(-1)4+c55(-1)5），故展開(kāi)式中含x3 的項(xiàng)的

9、系數(shù)為c53+c52=0，故答案為 011在（1x）5（2x+1）的展開(kāi)式中，x3項(xiàng)的系數(shù)為10【解答】解：根據(jù)題意，（1x）5的展開(kāi)式通項(xiàng)為tr+1=c55r（x）r=（1）rc55rxr，令r=2可得：t3=c53x2=10x2，令r=3可得：t4=c52x3=10x3，則（1x）5（2x+1）的展開(kāi)式中，含x3項(xiàng)為（10x2）（2x）+（10x3）=10x3，則x3項(xiàng)的系數(shù)為10；故答案為：1012（x2+2x1）5的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)為40（用數(shù)字作答）【解答】解：式子（x2+2x1）5 =（x2+2x）15展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：tr+1=c5r（x2+2x）5r（1）r，對(duì)于（x2+2x）5r，它