考點13 三角函數(shù)的基本概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)（文）考點一遍過_20210103224741

1、考點13 三角函數(shù)的基本概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式1任意角的概念、弧度制（1）了解任意角的概念.（2）了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化.2三角函數(shù)（1）理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.（2）能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出，的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.（3）理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，.一、角的有關(guān)概念1定義角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形2分類（1）按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角（2）按終邊位置不同分為象限角和軸線角（3）終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一

2、個集合3象限角與軸線角第一象限角的集合為；第二象限角的集合為；第三象限角的集合為；第四象限角的集合為終邊與軸非負半軸重合的角的集合為；終邊與軸非正半軸重合的角的集合為；終邊與軸重合的角的集合為；終邊與軸非負半軸重合的角的集合為；終邊與軸非正半軸重合的角的集合為；終邊與軸重合的角的集合為；終邊與坐標(biāo)軸重合的角的集合為二、弧度制11弧度的角把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角規(guī)定：是以角作為圓心角時所對圓弧的長，為半徑正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零2弧度制用“弧度”做單位來度量角的單位制叫做弧度制比值與所取的的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)3弧度與角度的換算4弧長公

3、式，其中的單位是弧度，與的單位要統(tǒng)一.角度制下的弧長公式為：（其中為扇形圓心角的角度數(shù)）.5扇形的面積公式. 角度制下的扇形面積公式為：（其中為扇形圓心角的角度數(shù)）.三、任意角的三角函數(shù) 1定義設(shè)是一個任意角，它的頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，點是角的終邊上任意一點，到原點的距離，那么角的正弦、余弦、正切分別是 注意：正切函數(shù)的定義域是，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是. 2三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦3三角函數(shù)線設(shè)角的頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點，過作垂直于軸于由三角函數(shù)的定義知，點的坐標(biāo)為，即，

4、其中單位圓與軸的正半軸交于點，單位圓在點的切線與的終邊或其反向延長線相交于點，則我們把有向線段分別叫做的余弦線、正弦線、正切線各象限內(nèi)的三角函數(shù)線如下：角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限圖形4特殊角的三角函數(shù)值0 0100100101不存在0不存在0補充：四、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1平方關(guān)系2商的關(guān)系3同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形（1）平方關(guān)系的變形：；（2）商的關(guān)系的變形：；（3）五、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2k+（kz）+正弦sin sinsinsincoscos余弦cos cos cos cos sinsin 正切tan tantantan口訣函數(shù)名不變，符號看象

5、限函數(shù)名改變，符號看象限考向一 三角函數(shù)的定義1利用三角函數(shù)的定義求角的三角函數(shù)值，需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y、該點到原點的距離r.若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意在終邊上任取一點有兩種情況(點所在象限不同)2利用三角函數(shù)線解三角不等式的步驟：確定區(qū)域的邊界；確定區(qū)域；寫出解集3已知角的終邊所在的直線方程或角的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角終邊上某特定點的坐標(biāo)4三角函數(shù)值的符號及角的位置的判斷已知一角的三角函數(shù)值(，)中任意兩個的符號，可分別確定出角的終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況.典例1 已知角的終

6、邊上有一點p（，m），且m，求與的值.【解析】由已知有，得m=0，或.當(dāng)m=0時，； 當(dāng)時，；當(dāng)時，.【名師點睛】任意角的三角函數(shù)值僅與角的終邊位置有關(guān)，而與角終邊上點p的位置無關(guān)若角已經(jīng)給出，則無論點p選擇在終邊上的什么位置，角的三角函數(shù)值都是確定的1已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為a±2b2c2d4考向二 象限角和終邊相同的角的判斷及表示方法1已知所在的象限，求或n（nn*）所在的象限的方法是：將的范圍用不等式（含有k）表示，然后兩邊同除以n或乘以n，再對k進行討論，得到或n（nn*）所在的象限2象限角的判定有兩種方法：一是根據(jù)圖象，其依據(jù)是終邊相同的角的思想；二是先將此角化為k&#

7、183;360°（0°<360°，kz）的形式，即找出與此角終邊相同的角，再由角終邊所在的象限來判斷此角是第幾象限角3由角的終邊所在的象限判斷三角函數(shù)式的符號，需確定各三角函數(shù)的符號，然后依據(jù)“同號得正，異號得負”求解.典例2 已知, ,試確定角是第幾象限的角.【解析】因為>0,<0，所以是第二象限的角，所以.由知,所以,故角是第四象限的角.【名師點睛】角與所在象限的對應(yīng)關(guān)系：若角是第一象限角，則是第一象限角或第三象限角；若角是第二象限角，則是第一象限角或第三象限角；若角是第三象限角，則是第二象限角或第四象限角；若角是第四象限角，則是第二象限角或

8、第四象限角2若sinx0，且sin（cosx）0，則角是a第一象限角 b第二象限角c第三象限角 d第四象限角考向三 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用1利用可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實現(xiàn)角的弦切互化2的齊次式的應(yīng)用：分式中分子與分母是關(guān)于的齊次式，或含有及的式子求值時，可將所求式子的分母看作“1”，利用“”代換后轉(zhuǎn)化為“切”后求解.典例3 已知0<<，sin(-)+cos(+)=m.（1）當(dāng)m=1時，求的值；（2）當(dāng)m=55時，求tan的值.【解析】（1）由已知得sin-cos=1，1-2sincos=1，sincos=0，又0<<，cos=0，=2.（2）當(dāng)m=

9、55時，sin-cos=55.方法1：1-2sincos=15，sincos=25>0，0<<2，(sin+cos)2=1+2sincos=95，sin+cos=355.由可得sin=255，cos=55，tan=2.方法2：sin2-2sincos+cos2=15=15(sin2+cos2)，2sin2-5sincos+2cos2=0，2tan2-5tan+2=0，tan=2或tan=12，又1>sin-cos=55>0，4<<2，tan>1，tan=2.3已知，則abcd考向四 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用1應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點是“函數(shù)名稱”與“正負號”的正

10、確判斷求任意角的三角函數(shù)值的問題，都可以通過誘導(dǎo)公式化為銳角三角函數(shù)的求值問題，具體步驟為“負角化正角”“正角化銳角”求值2使用誘導(dǎo)公式時一定要注意三角函數(shù)值在各象限的符號，特別是在具體題目中出現(xiàn)類似的形式時，需要對k的取值進行分類討論，從而確定出三角函數(shù)值的正負3利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式的思路：（1）分析結(jié)構(gòu)特點，選擇恰當(dāng)公式；（2）利用公式化成單角三角函數(shù)；（3）整理得最簡形式利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式的要求：（1）化簡過程是恒等變形；（2）結(jié)果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值4巧用相關(guān)角的關(guān)系能簡化解題的過程常見的互余關(guān)系有與，與，與等；常見的互補關(guān)系有

11、與，與等.典例4 已知,且，則a bc d【答案】a【解析】，.，則.，.故選a典例5 （1）化簡：；（2）化簡：.【解析】（1）=.（2）原式.4已知，則abcd考向五 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用與三角形相結(jié)合時，誘導(dǎo)公式在三角形中經(jīng)常使用，常用的角的變形有：,，等，于是可得，等典例6 在中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別是a，b，c，若a=23，tana=34，則sina=_，b=_.【答案】，4+3【解析】由,得，,由正弦定理.5在中，“”是“為鈍角三角形”的a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件1與終邊相同的角是abcd2設(shè)集合，則ab

12、cd3已知扇形面積為，半徑是l，則扇形的圓心角是a bc d4函數(shù)的值域是abcd5若，則a b c d 6若，則a2 bc3 d7在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過點，則a bc d8已知 ，則abcd9若，則的值為a bc d10已知點在終邊上，則_11在平面直角坐標(biāo)系中,p點的坐標(biāo)為,q是第三象限內(nèi)一點,|oq|=1,且,則q點的橫坐標(biāo)為_.12已知的終邊與單位圓交于點,點關(guān)于直線對稱后的點為,點關(guān)于軸對稱后的點為,設(shè)角的終邊為射線.（1）與的關(guān)系為_;（2）若,則_.13 在中，且cos a cos（b），則c等于 14已知角的終邊經(jīng)過點，且（1）求的值；（2）求的值15已知中，.（1

13、）試判斷三角形的形狀；（2）求的值.16已知向量與互相平行，其中.（1）求sin和cos的值；（2）若sin（），0<<，求cos的值1（2019年高考全國卷文數(shù)）tan255°=a2b2+c2d2+2（2019年高考全國卷文數(shù)）已知a（0，），2sin2=cos2+1，則sin=abcd3（2018年高考全國卷文數(shù)）已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有兩點，且，則abcd4（2018年高考北京卷文數(shù)）在平面直角坐標(biāo)系中，是圓上的四段弧（如圖），點p在其中一段上，角以o𝑥為始邊，op為終邊，若，則p所在的圓弧是a bc d5（2017年

14、高考全國卷文數(shù)）已知，tan =2，則= .6（2017年高考北京卷文數(shù)）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，角與角均以ox為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin=，則sin=_7（2018年高考浙江卷）已知角的頂點與原點o重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點p（）（1）求sin（+）的值；（2）若角滿足sin（+）=，求cos的值變式拓展1【答案】c【解析】已知角的終邊經(jīng)過點，則.故選c【名師點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題求解時，直接利用任意角的三角函數(shù)的定義求得的值2【答案】d【解析】1cosx1，且sin（cosx）0，0cosx1，又sinx0，角x為第四象限角，

15、故選d【名師點睛】本題主要考查三角函數(shù)中角的象限的確定，根據(jù)三角函數(shù)值的符號去判斷象限是解決本題的關(guān)鍵求解時，根據(jù)三角函數(shù)角的范圍和符號之間的關(guān)系進行判斷即可3【答案】a【解析】因為，所以.故選a.【名師點睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)式的化簡等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的性質(zhì)化簡三角函數(shù)式即可.4【答案】c【解析】因為，由誘導(dǎo)公式可得，又因為，所以.故選c.【名師點睛】本題考查了誘導(dǎo)公式，解題的關(guān)鍵是在于誘導(dǎo)公式的掌握，易錯點為沒有注意角的范圍，屬于較為基礎(chǔ)題.求解時，先由誘導(dǎo)公式對原式進行化簡，從而可得，再利用角的平方關(guān)系可得結(jié)果.5

16、【答案】a【解析】由，且b必為銳角，可得或，即角或角為鈍角；反之，當(dāng)，時，而=，所以不成立，所以“”是“為鈍角三角形”的充分不必要條件，故選a.【名師點睛】本題考查充分必要條件的判定，考查了三角形形狀的判定，考查誘導(dǎo)公式等，屬于綜合題求解時，先由誘導(dǎo)公式將正弦化為余弦，利用余弦的三角函數(shù)線比較大小即可得到角或角為鈍角，再舉反例說明必要性不成立即可.考點沖關(guān)1【答案】d【解析】終邊相同的角相差了的整數(shù)倍，設(shè)與角的終邊相同的角是，則，當(dāng)時，故選d【名師點睛】本題考查終邊相同的角的概念及終邊相同的角的表示形式屬于基本知識的考查終邊相同的角相差了的整數(shù)倍，由，令，即可得解2【答案】c【解析】，當(dāng)時，時

17、，時，時，又，故選c【名師點睛】本題考查了交集及其運算，考查了賦值思想，是基礎(chǔ)題求解時，分別取，得到內(nèi)的值，與取交集得答案3【答案】c【解析】設(shè)扇形的圓心角是，則，解得，故選c4【答案】c【解析】由題意可知：角的終邊不能落在坐標(biāo)軸上，當(dāng)角終邊在第一象限時，當(dāng)角終邊在第二象限時，當(dāng)角終邊在第三象限時，當(dāng)角終邊在第四象限時，因此函數(shù)的值域為，故選c.【名師點睛】本題考查了三角函數(shù)的正負性、分類討論思想、數(shù)學(xué)運算能力.因為角的終邊不能落在坐標(biāo)軸上，所以分別求出角終邊在第一、第二、第三、第四象限時，根據(jù)三角函數(shù)的正負性，函數(shù)的表達式，進而求出函數(shù)的值域.5【答案】c【解析】由得是第一、三象限角，若是第

18、三象限角，則a，b錯；由知，c正確；取時，d錯6【答案】a【解析】因為，所以即，選a 7【答案】b【解析】由誘導(dǎo)公式可得：，即，由三角函數(shù)的定義可得：，則.故選b.8【答案】c【解析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)基本關(guān)系式，可得：，解得，故選c.【名師點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡求值問題，其中解答中熟記三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，準確化簡是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9【答案】c【解析】由誘導(dǎo)公式得，兩邊平方得，則，所以，又因為，所以，所以，故選c10【答案】【解析】點p（1，2）在角的終邊上，將原式分子分母同除以，

19、則原式.故答案為：5【名師點睛】此題考查了任意角的三角函數(shù)定義,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，屬于基礎(chǔ)題求解時，根據(jù)p坐標(biāo)，利用任意角的三角函數(shù)定義求出的值，原式分子分母除以，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，把的值代入計算即可求出值11【答案】【解析】設(shè),則,q點的橫坐標(biāo)為.12【答案】（1）;（2）【解析】（1）由題意可得點為單位圓上的點，并且以射線為終邊的角的大小為，所以 又因為兩點關(guān)于直線對稱，所以 即則.（2） 故 13【答案】【解析】 又，.又即， 故填.14【解析】（1）因為角的終邊經(jīng)過點，且，所以有，求得.（2）由（1）可得，所以=【名師點睛】本題考查了余弦函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)

20、關(guān)系中的正弦、余弦平方和為1的關(guān)系和商關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運算能力.15【解析】（1）將原式平方得12sinacosa=即2sinacosa=，故cosa，則三角形為鈍角三角形.（2）由（1）cosa+sina=，解得或，故tana=或.【名師點睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，考查化簡求值能力，是中檔題.求解時，（1）將原式平方得2sinacosa<0,得cosa即可判斷三角形為鈍角三角形；（2）結(jié)合（1）求得cosa+sina=，求得sina及cosa即可求解.16【解析】（1）a與b互相平行，sin2cos，代入sin2cos21，可得cos，又，cos，sin.（2）0<<

21、;，0<<，<<，又sin（），cos（），coscos()coscos（）sinsin（）=.直通高考1【答案】d【解析】=故選d.【名師點睛】本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、運算求解能力首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，將問題轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)的計算，進一步應(yīng)用兩角和的正切公式計算求解題目較易，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查2【答案】b【解析】，又，又，故選b【名師點睛】本題是對三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦的正負，運算準確性是關(guān)鍵，題目不難，需細心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負很關(guān)鍵，切記不能憑感覺解答本題時，先利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，再利用角范圍及正余弦平方和為1關(guān)系得出答案3【答案】b【解析】根據(jù)條件，可知三點共線，從而得到，因為，解得，即，所以，故選b.【名師點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)和三角恒等變換，考查考生分析問題、解決問題的能力和運算求解能力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算.4【答案】c【解析】由下圖可得：有向線段為余弦線，有向線段為正弦線，有向線段為正切線.對于a選項：當(dāng)點在上時，故a選項錯誤；對于b選項：當(dāng)點在上時，故b選項錯誤；對于c選項：當(dāng)點在上時，故c選