通用版2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第2講命題及其關(guān)系學(xué)案理新人教A版20190313371

1、第2講命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件1.命題(1)命題的概念:數(shù)學(xué)中把用語言、符號或式子表達的,能夠判斷的陳述句叫作命題.其中的語句叫作真命題,的語句叫作假命題. (2)四種命題及其相互關(guān)系圖1-2-1特別提醒:若兩個命題互為逆否命題,則它們有相同的真假性. 2.充分條件、必要條件與充要條件(1)如果pq,則p是q的條件. (2)如果qp,則p是q的條件. (3)如果既有pq,又有qp,記作pq,則p是q的條件. 常用結(jié)論1.充要條件的兩個結(jié)論:(1)若p是q的充分不必要條件,q是r的充分不必要條件,則p是r的充分不必要條件;(2)若p是q的充分不必要

2、條件,則􀱑q是􀱑p的充分不必要條件.2.充分、必要條件與集合的關(guān)系使p成立的對象構(gòu)成的集合為a,使q成立的對象構(gòu)成的集合為bp是q的充分條件abp是q的必要條件bap是q的充分不必要條件abp是q的必要不充分條件bap是q的充要條件a=b題組一常識題1.教材改編 對于下列語句:垂直于同一直線的兩條直線必平行嗎?作abca'b'c'.x2+2x-3<0.四邊形的內(nèi)角和是360°.其中是命題的是.(填序號) 2.教材改編 有下面4個命題:集合n中最小的數(shù)是1;若-a不屬于n,則a屬于n;若an,bn,則a+b的最

3、小值為2;x2+1=2x的解集可表示為1,1.其中真命題的個數(shù)為. 3.教材改編 命題“若整數(shù)a不能被2整除,則a是奇數(shù)”的逆否命題是. 4.教材改編 “點p(x,y)在第一象限”是“x+y>1”的條件. 題組二常錯題索引:命題的條件與結(jié)論不明確;含有大前提的命題的否命題易出現(xiàn)否定大前提的情況;真、假命題的推理考慮不全面;對充分必要條件判斷錯誤.5.命題“若a2+b2=0,a,br,則a=b=0”的逆否命題是. 6.已知命題“對任意a,br,若ab>0,則a>0”,則它的否命題是. 7.若命題“ax2-2ax-3>0不成

4、立”是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是. 8.條件p:x>a,條件q:x2.若p是q的充分不必要條件,則a的取值范圍是; 若p是q的必要不充分條件,則a的取值范圍是. 9.已知p是r的充分不必要條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,那么p是q的條件. 探究點一四種命題及其相互關(guān)系例1 (1)對于命題“單調(diào)函數(shù)不是周期函數(shù)”,下列說法正確的是()a.逆命題為“周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)”b.否命題為“單調(diào)函數(shù)是周期函數(shù)”c.逆否命題為“周期函數(shù)是單調(diào)函數(shù)”d.以上都不正確(2)給出以下四個命題:“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題;“全等三角形的面

5、積相等”的否命題;“若q-1,則x2+x+q=0有實根”的逆否命題;若ab是正整數(shù),則a,b都是正整數(shù).其中為真命題的是.(寫出所有真命題的序號)    總結(jié)反思 (1)求一個命題的其他三種命題時,需注意:對于不是“若p,則q”形式的命題,需先改寫為“若p,則q”的形式;若命題有大前提,寫其他三種命題時需保留大前提.(2)判斷一個命題為真命題,要給出推理證明;判斷一個命題為假命題,只需舉出反例.(3)當不易直接判斷一個命題的真假時,根據(jù)互為逆否命題的兩個命題同真同假,可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假.變式題 (1)已知命題p:正數(shù)a的平方不等于0,命題q:若

6、a不是正數(shù),則它的平方等于0,則q是p的()a.逆命題b.否命題c.逆否命題d.否定(2)以下關(guān)于命題的說法正確的是.(填寫所有正確說法的序號) “若log2(a+1)>1,則函數(shù)f(x)=logax(a>0,a1)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)”是真命題;命題“若a0,則a(b+1)0”的否命題是“若a=0,則a(b+1)=0”;命題“若x,y都是偶數(shù),則(x+1)(y+1)是偶數(shù)”的逆命題為真命題;命題“若am,則bm”與命題“若bm,則am”等價.探究點二充分、必要條件的判定例2 (1)2018·北京卷 設(shè)a,b均為單位向量,則“|a-3b|=|3a+b|”是“ab

7、”的()a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件(2)“函數(shù)f(x)=a+ln x(xe)存在零點”是“a<-1”的()a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充要條件d.既不充分也不必要條件   總結(jié)反思 充分條件、必要條件的判定方法有定義法、集合法和等價轉(zhuǎn)化法.三種不同的方法適用于不同的類型:定義法適用于定義、定理的判斷問題;集合法多適用于命題中涉及參數(shù)的取值范圍的推斷問題;等價轉(zhuǎn)化法適用于條件和結(jié)論中帶有否定性詞語的命題.變式題 (1)2018·深圳一模 已知數(shù)列an是等比數(shù)列,則“a2>a1”是

8、“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的()a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件(2)“=4”是“sin 2-3cos 2=1”的()a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件探究點三充分、必要條件的應(yīng)用例3 方程ax2+2x+1=0至少有一個負實根的充要條件是()a.0<a1b.a<1c.a1d.0<a1或a<0   總結(jié)反思 充分條件、必要條件的應(yīng)用一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上,解題時通常把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)

9、的不等式(或不等式組)求解.解題過程中要注意檢驗區(qū)間端點值.變式題 (1)下面四個條件中,使a>b成立的必要而不充分條件是()a.a-1>bb.a+1>bc.|a|>|b|d.a3>b3(2)2018·衡陽4月調(diào)研 已知p:實數(shù)m滿足m2+12a2<7am(a>0),q:方程x2m-1+y22-m=1表示焦點在y軸上的橢圓,且p是q的充分不必要條件,則a的取值范圍為. 第2講命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件考試說明 1.理解命題的概念;2.了解“若p,則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題,會分析四種命題的相互關(guān)系;3.理解必

10、要條件、充分條件與充要條件的含義.【課前雙基鞏固】知識聚焦1.真假判斷為真判斷為假2.(1)充分(2)必要(3)充要對點演練1.解析 是疑問句,不是命題;是祈使句,不是命題;不能判斷真假,不是命題;是命題.2.0解析 為假命題,集合n中最小的數(shù)是0;為假命題,如a=12不滿足;為假命題,如a=0,b=1,則a+b=1,比2小;為假命題,所給集合中的元素不滿足互異性.3.若整數(shù)a不是奇數(shù),則a能被2整除解析 以原命題結(jié)論的否定作條件、原命題條件的否定作結(jié)論得出逆否命題.4.既不充分也不必要解析 取x=12,y=12,知充分性不成立;取x=-1,y=3,知必要性不成立.故為既不充分也不必要條件.5

11、.若a0或b0,a,br,則a2+b20解析 “若p,則q”的逆否命題為“若􀱑q,則􀱑p”,又a=b=0的實質(zhì)為a=0且b=0,故其否定為a0或b0.6.對任意a,br,若ab0,則a0解析 “對任意a,br”是大前提,在否命題中不變,又因為ab>0,a>0的否定分別為ab0,a0,所以原命題的否命題為“對任意a,br,若ab0,則a0”.7.-3,0解析 由已知可得ax2-2ax-30恒成立.當a=0時,-30恒成立;當a0時,得a<0,=4a2+12a0,解得-3a<0.故-3a0.8.a2a<2解析 因為p是q的充分不必要

12、條件,所以x|x>ax|x2,則a的取值范圍是a2.因為p是q的必要不充分條件,所以x|x2x|x>a,則a的取值范圍是a<2.9.充分不必要解析 依題意有pr,rs,sq,prsq.又r/ p,q/ p.故p是q的充分不必要條件.【課堂考點探究】例1思路點撥 (1)根據(jù)四種命題的構(gòu)成判斷即可.(2)對于,按照要求寫出相應(yīng)的逆命題、否命題,再判斷真假;對于,可直接利用原命題與逆否命題的等價性判斷原命題的真假;對于,直接判斷.(1)d(2)解析 (1)根據(jù)四種命題的構(gòu)成可知,選項a,b,c均不正確.故選d.(2)“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x,y互為相反數(shù)

13、,則x+y=0”,顯然為真命題;否命題為“不全等的三角形的面積不相等”,而不全等的三角形的面積也可能相等,故為假命題;原命題為真,所以它的逆否命題也為真,故為真命題;ab是正整數(shù),但a,b不一定都是正整數(shù),例如a=-1,b=-2,故為假命題.所以答案是.變式題(1)b(2)解析 (1)“正數(shù)a的平方不等于0”即“若a是一個正數(shù),則它的平方不等于0”,其否命題為“若a不是正數(shù),則它的平方等于0”,所以選b.(2)正確,由log2(a+1)>1,得a+1>2,所以a>1,所以f(x)=logax在其定義域內(nèi)是增函數(shù).正確,由命題的否命題的定義知,該說法正確.不正確,原命題的逆命題

14、為“若(x+1)(y+1)是偶數(shù),則x,y都是偶數(shù)”,是假命題,如(3+1)×(4+1)=20為偶數(shù),但x=3,y=4.正確,兩者互為逆否命題,因此兩命題等價.例2思路點撥 (1)將已知等式兩邊同時平方,可得出向量a,b的關(guān)系,從而得出結(jié)論;(2)通過研究單調(diào)性,求出函數(shù)存在零點的充要條件為a-1,從而得出結(jié)論.(1)c(2)b解析 (1)將|a-3b|=|3a+b|兩邊平方,得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2.a,b均為單位向量,a·b=0,即ab.反之,由ab可得|a-3b|=|3a+b|.故為充分必要條件.(2)因為f'(x)

15、=1x>0,所以若函數(shù)f(x)=a+ln x(xe)存在零點,則f(e)0,即a-1,因此“函數(shù)f(x)=a+ln x(xe)存在零點”是“a<-1”的必要不充分條件,故選b.變式題(1)b(2)a解析 (1)當a1=-1,a2=2,公比q=-2時,雖然有a1<a2,但是數(shù)列an不是遞增數(shù)列,所以充分性不成立;反之,當數(shù)列an是遞增數(shù)列時,必有a1<a2,因此必要性成立.故選b.(2)由sin 2-3cos 2=1得sin2-3=12,所以2-3=2k+6,kz或2-3=2k+56,kz,即=k+4,kz或=k+712,kz,所以“=4”是“sin 2-3cos 2=1

16、”的充分而不必要條件,故選a.例3思路點撥 直接法,分情況討論;特例法,結(jié)合選項取特殊值驗證.c解析 方法一(直接法):當a=0時,x=-12,符合題意.當a0時,若方程的兩根為一正一負,則=4-4a>0,1a<0a<1,a<0a<0;若方程的兩根均為負,則=4-4a0,-2a<0,1a>0a1,a>00<a1.綜上所述,所求充要條件是a1.方法二(排除法):當a=0時,原方程有一個負實根,可以排除a,d;當a=1時,原方程有兩個相等的負實根,可以排除b.所以選c.變式題(1)b(2)13,38解析 (1)“a>b”不能推出“a-1&

17、gt;b”,故選項a不是“a>b”的必要條件,不滿足題意;“a>b”能推出“a+1>b”,但“a+1>b”不能推出“a>b”,故滿足題意;“a>b”不能推出“|a|>|b|”,故選項c不是“a>b”的必要條件,不滿足題意;“a>b”能推出“a3>b3”,且“a3>b3”能推出“a>b”,故是充要條件,不滿足題意.故選b.(2)由a>0,m2-7am+12a2<0,得3a<m<4a,即p:3a<m<4a,a>0.由方程x2m-1+y22-m=1表示焦點在y軸上的橢圓,可得2-m>

18、;m-1>0,解得1<m<32,即q:1<m<32. 因為p是q的充分不必要條件,所以3a>1,4a32或3a1,4a<32,解得13a38,所以實數(shù)a的取值范圍是13,38.【備選理由】 例1考查對命題真假的判斷,是一個開放式命題,答案不唯一,有利于學(xué)生發(fā)散思維;例2強化了充分、必要條件的判斷方法和余弦定理、基本不等式的應(yīng)用;例3主要考查了充要條件的判斷;例4是以簡單不等式的方式考查充分、必要條件的應(yīng)用.例1配合例1使用 2018·北京通州區(qū)三模 能夠說明“設(shè)a,b,c是任意實數(shù),若a>b>c,則a2>ab>c2”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為. 答案 1,0,-1(此題答案不唯一)解析 當a=1,b=0,c=-1時,滿足a>b>c,不滿足a2>ab>c2,命題是假命題.故答案可以為1,0,-1.例2配合例2使用 2018·武漢4月調(diào)研 在abc中,內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c.已知條件p:ab+c2,條件q:ab+c2,那么p是q成立的()a.充分而不