通用版2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第6講函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案理新人教A版20190313379

1、第6講函數(shù)的奇偶性與周期性1.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有,那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 都有,那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 圖像特征關(guān)于對(duì)稱 關(guān)于對(duì)稱 2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)t,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有,那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱t為這個(gè)函數(shù)的周期. (2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè),那么這個(gè)就叫作f(x)的最小正周期. 常用結(jié)論1.奇(偶)函數(shù)定義的等價(jià)形式:(1)f(-x)=f(x)f(-x)-f

2、(x)=0f(x)為偶函數(shù);(2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)為奇函數(shù).2.設(shè)f(x)的最小正周期為t,對(duì)f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x,(1)若f(x+a)=-f(x),則t=2|a|;(2)若f(x+a)=1f(x),則t=2|a|;(3)若f(x+a)=f(x+b),則t=|a-b|.3.對(duì)稱性與周期性之間的常用結(jié)論:(1)若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對(duì)稱,則函數(shù)f(x)的周期t=2|b-a|;(2)若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)對(duì)稱,則函數(shù)f(x)的周期t=2|b-a|;(3)若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和點(diǎn)(b,0

3、)對(duì)稱,則函數(shù)f(x)的周期t=4|b-a|.4.關(guān)于函數(shù)圖像的對(duì)稱中心或?qū)ΨQ軸的常用結(jié)論:(1)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)=f(a-x),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱;(2)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)=f(b-x),則f(x)的圖像關(guān)于直線x=a+b2對(duì)稱;(3)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)=-f(b-x),則f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)a+b2,0對(duì)稱;(4)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a+x)+f(b-x)=c,則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)a+b2,c2對(duì)稱.題組一常識(shí)題1.教材改編 函數(shù)f(x)=x2-1,f(x)=x3,f(x)=x2+cos x,f(x)

4、=1x+|x|中,偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是. 2.教材改編 若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上是減函數(shù),則它在-b,-a上是函數(shù);若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上是增函數(shù),則它在-b,-a上是函數(shù). 3.教材改編 已知f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x-1,則f(-2)=. 4.教材改編 已知函數(shù)f(x)滿足f(x+3)=f(x),當(dāng)x0,1時(shí),f(x)=log4(x2+4),則f(2019)=. 題組二常錯(cuò)題索引:判定奇偶性時(shí),不化簡(jiǎn)解析式導(dǎo)致出錯(cuò);奇偶性不能有效變化;找不到周期函數(shù)的周期從而求不出結(jié)果;利用奇偶性求解析式時(shí)忽略定義域.5.函數(shù)f(x)=

5、lg(1-x2)|x+3|-3是函數(shù).(填“奇”“偶”“非奇非偶”) 6.若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱;若函數(shù)y=g(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱. 7.已知定義在r上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=-fx+32,且f(2)=2,則f(2018)=. 8.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在r上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x-3,則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=. 探究點(diǎn)一函數(shù)奇偶性及其延伸微點(diǎn)1函數(shù)奇偶性的判斷例1 (1)2018·杭州模擬 設(shè)函數(shù)f(x)=2ax-1+b(a&

6、gt;0且a1),則函數(shù)f(x)的奇偶性()a.與a無關(guān),且與b無關(guān)b.與a有關(guān),且與b有關(guān)c.與a有關(guān),但與b無關(guān)d.與a無關(guān),但與b有關(guān)(2)下列函數(shù)中奇函數(shù)、偶函數(shù)的個(gè)數(shù)分別是()f(x)=1-x1+x;f(x)=log3(x2+1+x);f(x)=x2-1,x<0,-x2+1,x>0;f(x)=x2+cos x.a.1,1b.2,2c.3,1d.2,1   總結(jié)反思 判斷函數(shù)的奇偶性,其中包括兩個(gè)必備條件:(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,所以首先考慮定義域.(2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系,在判斷奇偶

7、性的運(yùn)算中,可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)關(guān)系式f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù))是否成立.微點(diǎn)2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例2 (1)2018·北京東城區(qū)模擬 若函數(shù)f(x)=3·e|x-1|-sin(x-1)e|x-1|在區(qū)間-3,5上的最大值、最小值分別為p,q,則p+q的值為()a.2b.1c.6d.3(2)已知f(x)為定義在r上的奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=2x+m,則f(-3)=.    總結(jié)反思 利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題:(1)求函數(shù)值:將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.(2)

8、求解析式:將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的參數(shù):利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)±f(-x)=0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對(duì)等性得方程(組),進(jìn)而得出參數(shù)的值.(4)畫函數(shù)圖像:利用奇偶性可畫出函數(shù)在另一對(duì)稱區(qū)間上的圖像.(5)求特殊值:利用奇函數(shù)的最大值與最小值的和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值.微點(diǎn)3奇偶性延伸到其他對(duì)稱性問題(從平移角度說說其他對(duì)稱性問題)例3 (1)2018·廣東七校聯(lián)考 已知定義域?yàn)閞的函數(shù)f(x)在2,+)上為增函數(shù),且函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù),則下列結(jié)論不成立的是()a.f(0)>f(1)b

9、.f(0)>f(2)c.f(1)>f(2)d.f(1)>f(3)(2)設(shè)函數(shù)f(x)在1,+)上為增函數(shù),f(3)=0,且g(x)=f(x+1)為偶函數(shù),則不等式g(2-2x)<0的解集為.    總結(jié)反思 由奇偶性延伸所得對(duì)稱性問題的常見形式有:(1)若函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)(偶函數(shù)),則函數(shù)y=f(x+a)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-a,0)對(duì)稱(關(guān)于直線x=-a對(duì)稱);(2)若函數(shù)y=f(x+a)為奇函數(shù)(偶函數(shù)),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(關(guān)于直線x=a對(duì)稱).應(yīng)用演練1.【微點(diǎn)1】下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()a.

10、f(x)=x2sin xb.f(x)=2-xc.f(x)=sinxxd.f(x)=|log0.5x|2.【微點(diǎn)1】已知a>0且a1,對(duì)任意的實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=ax+a-x不可能()a.是奇函數(shù)b.是偶函數(shù)c.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)d.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)3.【微點(diǎn)3】2018·呂梁模擬 函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,且f(x+2)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,若f(-2)=1,則滿足f(x-2)1的x的取值范圍是()a.-2,2b.(-,-22,+)c.(-,04,+)d.0,44.【微點(diǎn)2】已知函數(shù)f(x)是定義在r上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2-6,則

11、當(dāng)x>0時(shí),f(x)=. 5.【微點(diǎn)2】若函數(shù)f(x)=kx+log3(1+9x)為偶函數(shù),則k=. 探究點(diǎn)二函數(shù)的周期性及其應(yīng)用例4 (1)已知函數(shù)f(x)對(duì)任意xr,都有f(x+2)=f(x),當(dāng)x(0,)時(shí),f(x)=2sinx2,則f193=()a.12b.32c.1d.3(2)2018·山西45校聯(lián)考 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閞,且對(duì)任意xr,都有f(x+1)=f(x-1),若在區(qū)間-1,1上f(x)=ax+2,-1x0,(a-2x)ex,0<x1,則f(2017)+f(2018)=()a.0b.1c.2d.2018  &#

12、160;總結(jié)反思 (1)注意周期性的常見表達(dá)式的應(yīng)用.(2)根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的解析式(或函數(shù)值)得到整個(gè)定義域內(nèi)的解析式(或相應(yīng)的函數(shù)值).(3)在解決具體問題時(shí),要注意結(jié)論“若t是函數(shù)的周期,則kt(kz且k0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用.變式題 2018·淮南二模 已知定義在r上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=1f(x),當(dāng)x0,2)時(shí),f(x)=x+ex,則f(2018)=. 探究點(diǎn)三以函數(shù)性質(zhì)的綜合為背景的問題微點(diǎn)1奇偶性與單調(diào)性的結(jié)合例5 (1)2017·全國卷 函數(shù)f(x)在(-,+)單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)=-1,則滿足-1f(x

13、-2)1的x的取值范圍是()a.-2,2b.-1,1c.0,4d.1,3(2)2018·湖北師大附中5月質(zhì)檢 定義在r上的函數(shù)f(x)=12|x-m|-1為偶函數(shù),記a=f(log0.52),b=f(log21.5),c=f(m),則()a.c<a<bb.a<c<bc.a<b<cd.c<b<a   總結(jié)反思 (1)函數(shù)值的大小比較問題,可以利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上,再利用其單調(diào)性比較大小;(2)對(duì)于抽象函數(shù)不等式的求解,應(yīng)變形為f(x1)>f(x2)

14、的形式,再結(jié)合單調(diào)性脫去法則“f”變成常規(guī)不等式,如x1<x2(或x1>x2)求解.微點(diǎn)2奇偶性與周期性的結(jié)合例6 (1)2018·全國卷 已知f(x)是定義域?yàn)?-,+)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()a.-50b.0c.2d.50(2)2018·南昌二模 已知定義在r上的函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(x+3)=f(x-3),f(-x)=f(x),且x-3,0時(shí),f(x)=log12(6+x),則f(2018)的值為()a.-3b.-2c.2d.3  

15、0;總結(jié)反思 周期性與奇偶性相結(jié)合的問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)解析式的區(qū)間上的函數(shù)值.微點(diǎn)3奇偶性、周期性與單調(diào)性的結(jié)合例7 (1)2018·泉州5月質(zhì)檢 已知定義在r上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=-f(x),且在0,2上單調(diào)遞減,則()a.f(8)<f(11)<f(15)b.f(11)<f(8)<f(15)c.f(15)<f(11)<f(8)d.f(15)<f(8)<f(11)(2)設(shè)函數(shù)f(x)是以2為周期的奇函數(shù),當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)=2x,則f(x)在(2017,2018)上是

16、()a.增函數(shù),且f(x)>0b.減函數(shù),且f(x)<0c.增函數(shù),且f(x)<0d.減函數(shù),且f(x)>0    總結(jié)反思 解決周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合的問題,通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.應(yīng)用演練1.【微點(diǎn)1】2018·衡水中學(xué)月考 下列函數(shù)中,與函數(shù)y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-,0)上的單調(diào)性也相同的是()a.y=1-x2b.y=log2|x|c.y=-1xd.y=x3-12.【微點(diǎn)2】已知f(x)為定義在r上且周期為2的奇函數(shù),當(dāng)-1x<0時(shí),f(x)=x(ax

17、+1),若f52=-1,則a=()a.6b.4c.-1425d.-63.【微點(diǎn)1】2019·長(zhǎng)春實(shí)驗(yàn)中學(xué)檢測(cè) 已知定義域?yàn)閞的偶函數(shù)f(x)在(-,0上是減函數(shù),且f(1)=2,則不等式f(log2x)>2的解集為()a.(2,+)b.0,12(2,+) c.0,22(2,+)d.(2,+)4.【微點(diǎn)3】2018·天津9校聯(lián)考 已知定義在r上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),當(dāng)x0,2時(shí),f(x)=2x-1.設(shè)a=ln1,b=e-ln 25,c=13-0.1,則()a.f(a)<f(b)<f(c)b.f(b)<f(c)<f(a)c.

18、f(b)<f(a)<f(c)d.f(c)<f(b)<f(a)5.【微點(diǎn)2】若f(x)是周期為2的奇函數(shù),當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)=x2-8x+30,則f(10)=. 第6講函數(shù)的奇偶性與周期性考試說明 1.結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)奇偶性的含義.2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的奇偶性.3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義,會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性.【課前雙基鞏固】知識(shí)聚焦1.f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y軸原點(diǎn)2.f(x+t)=f(x)最小的正數(shù)最小正數(shù)對(duì)點(diǎn)演練1.2解析 f(x)=x2-1和f(x)=x2+cos x為偶函數(shù).2.減減解析

19、根據(jù)奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性可得.3.1-2解析 f(-2)=-f(2)=-(2-1)=1-2.4.1解析 因?yàn)閒(x+3)=f(x),所以f(x)是以3為周期的周期函數(shù),所以f(2019)=f(673×3)=f(0)=log4(02+4)=1.5.奇解析 由1-x2>0,|x+3|-30,得-1<x<1且x0,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,0)(0,1),f(x)=lg(1-x2)|x+3|-3=lg(1-x2)x,f(-x)=lg(1-x2)-x=-f(x),f(x)是奇函數(shù).6.x=a(b,0)解析 因?yàn)閥=f(x+a)是偶函數(shù),所以其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,將y=f(

20、x+a)的圖像向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=f(x)的圖像,則y=f(x+a)圖像的對(duì)稱軸平移至直線x=a處,即函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱.同理,函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(b,0)成中心對(duì)稱.7.2解析 f(x)=-fx+32,f(x+3)=fx+32+32=-fx+32=f(x),f(2018)=f(3×672+2)=f(2)=2.8.x-3,x>0,0,x=0,x+3,x<0解析 設(shè)x<0,則-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-(-x)-3=x+3(x<0).由奇函數(shù)的定義可知f(0

21、)=0,所以f(x)=x-3,x>0,0,x=0,x+3,x<0.【課堂考點(diǎn)探究】例1思路點(diǎn)撥 (1)考慮f(x)=f(-x)或f(-x)=-f(x)成立時(shí),a,b的取值情況;(2)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.(1)d(2)d解析 (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x0.由f(x)=2ax-1+b=b·ax+2-bax-1,得f(-x)=2a-x-1+b=(b-2)ax-bax-1.若f(x)=f(-x)成立,則b=b-2,舍去;若f(-x)=-f(x)成立,則b-2=-b,解得b=1,此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù);若b1,則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).所以函數(shù)f(x)的奇偶性與b有關(guān),與a

22、無關(guān).(2)對(duì)于,定義域?yàn)?-1,1,所以函數(shù)不具有奇偶性;對(duì)于,定義域?yàn)閞,且f(-x)=log3(x2+1-x)=log31x2+1+x=-log3(x2+1+x)=-f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù);對(duì)于,當(dāng)x>0時(shí),-x<0,則f(-x)=(-x)2-1=-(-x2+1)=-f(x),同理當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則f(-x)=-x2+1=-(x2-1)=-f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù);對(duì)于,定義域?yàn)閞,f(-x)=(-x)2+cos(-x)=f(x),函數(shù)為偶函數(shù).所以選d.例2思路點(diǎn)撥 (1)觀察函數(shù)結(jié)構(gòu),可整理成一個(gè)奇函數(shù)及一個(gè)常數(shù)的和的形式,根據(jù)奇函數(shù)的最大值與最小

23、值的和為0求解;(2)奇函數(shù)的定義域中若有0,則f(0)=0,求出m,再根據(jù)奇函數(shù)的定義求值.(1)c(2)-7解析 (1)令x-1=t,則f(t)=3e|t|-sinte|t|=3-sinte|t|,t-4,4, y=f(t)-3是奇函數(shù),則f(t)min-3+f(t)max-3=0,即f(t)min+f(t)max=6,函數(shù)f(x)在區(qū)間-3,5上的最大值、最小值之和為6,即p+q=6,故選c.(2)函數(shù)f(x)為r上的奇函數(shù),則f(0)=0,即20+m=0,所以m=-1,當(dāng)x0時(shí),f(x)=2x-1,所以f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7.例3思路點(diǎn)撥 (1)由函數(shù)y=f(x+

24、2)為偶函數(shù)可知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱,再結(jié)合單調(diào)性比較大小;(2)根據(jù)函數(shù)圖像的平移關(guān)系得到函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,根據(jù)偶函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得到結(jié)論.(1)d(2)(0,2)解析 (1)函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù),將函數(shù)y=f(x+2)的圖像向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=f(x)的圖像,所以y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱,則函數(shù)f(x)在(-,2)上單調(diào)遞減,在2,+)上單調(diào)遞增,所以f(0)>f(1),f(0)>f(2),f(1)>f(2)都成立,f(1)>f(3)不成立.故選d.(2)f(x)在1,+)上為增函數(shù),將f(x)的圖像

25、向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到f(x+1)的圖像,則f(x+1)在0,+)上為增函數(shù),即g(x)在0,+)上為增函數(shù),且g(2)=f(2+1)=f(3)=0.不等式g(2-2x)<0等價(jià)為g(2-2x)<g(2),g(x)=f(x+1)為偶函數(shù),|2-2x|<2,得0<x<2,即不等式的解集為(0,2).應(yīng)用演練1.c解析 對(duì)于a,f(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sin x,是奇函數(shù);對(duì)于b,是非奇非偶函數(shù);對(duì)于c,f(-x)=sin(-x)-x=sinxx,是偶函數(shù);對(duì)于d,是非奇非偶函數(shù).故選c.2.c解析 f(x)=ax+a-x,f(-x)=a-x+a

26、x.當(dāng)=1時(shí),f(x)=f(-x),f(x)為偶函數(shù);當(dāng)=-1時(shí),f(x)=-f(-x),f(x)為奇函數(shù);當(dāng)1且-1時(shí),f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).故選c. 3.d解析 函數(shù)f(x+2)的圖像是由f(x)的圖像向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的,而f(x+2)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,故f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,即f(x)為偶函數(shù),所以f(x-2)1即為f(x-2)f(-2)=f(2),又函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,所以|x-2|2,得-2x-22,解得0x4.4.-x2+6解析 當(dāng)x>0時(shí),-x<0,f(-x)=(-x)2-6,函數(shù)f(x)是定義在r上的奇函數(shù),-f

27、(x)=f(-x)=x2-6,故f(x)=-x2+6,x>0.5.-1解析 由偶函數(shù)的定義得到kx+log3(1+9x)=-kx+log3(1+9-x),即2kx=log31+9-x1+9x=-2x,即(2k+2)x=0恒成立,所以k=-1.例4思路點(diǎn)撥 (1)由題知函數(shù)f(x)的周期為2,利用周期性將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化到已知定義區(qū)間求解;(2)由條件可得出函數(shù)的周期為2,利用f(-1)=f(1)求出a,再求f(2017)+f(2018)的值.(1)c(2)c解析 (1)由f(x+2)=f(x)可知函數(shù)f(x)的周期為2,所以f193=f6+3=f3,又當(dāng)x(0,)時(shí),f(x)=2sinx2

28、,所以f3=2sin6=1,故選c.(2)由f(x+1)=f(x-1)可知f(x)是周期為2的函數(shù),故f(-1)=f(1),代入解析式,得-a+2=(a-2)e,解得a=2,從而f(x)=2x+2,-1x0,(2-2x)ex,0<x1,故f(2017)+f(2018)=f(1)+f(0)=0+2=2,故選c.變式題1解析 定義在r上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=1f(x),f(x+4)=1f(x+2)=f(x),函數(shù)f(x)的周期為4.當(dāng)x0,2)時(shí),f(x)=x+ex,f(2018)=f(504×4+2)=f(2)=1f(0)=10+e0=1.例5思路點(diǎn)撥 (1)將-1f(

29、x-2)1轉(zhuǎn)化為f(1)f(x-2)f(-1),利用函數(shù)單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式求解;(2)根據(jù)f(x)為偶函數(shù)可求出m=0,從而可知函數(shù)f(x)在0,+)上單調(diào)遞減,然后比較自變量的值,再根據(jù)f(x)的單調(diào)性即可比較出a,b,c的大小.(1)d(2)c解析 (1)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-1)=1,不等式-1f(x-2)1,即f(1)f(x-2)f(-1),因?yàn)閒(x)單調(diào)遞減,所以-1x-21,解得1x3,故x的取值范圍為1,3.(2)f(x)為偶函數(shù),f(-x)=f(x),12|-x-m|-1=12|x-m|-1,|-x-m|=|x-m|,即(-x-m)2=(x-m)2,mx=0,

30、m=0,f(x)=12|x|-1,f(x)在0,+)上單調(diào)遞減.又a=f(log0.52)=f(|log0.52|)=f(log22)=f(1),b=f(log21.5),c=f(0),且0<log21.5<1,a<b<c,故選c.例6思路點(diǎn)撥 (1)先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對(duì)稱性確定函數(shù)周期,再根據(jù)周期以及對(duì)應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果;(2)根據(jù)題中條件得到函數(shù)的周期性和奇偶性,從而得到f(2018)=f(2),再由f(2)=f(-2)得到結(jié)果.(1)c(2)b解析 (1)因?yàn)閒(x)是定義在(-,+)上的奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0.而f(1-x)=f(1+x

31、),所以f(-x)=f(2+x),由可得f(x+2)=-f(x),則有f(x+4)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為4.由f(1)=2,得f(-1)=-2,于是有f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=12×f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2+0=2.(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x+3)=f(x-3),可得到函數(shù)的周期是6,又f(-x)=f(x),即函數(shù)為偶函數(shù),則f(2018)=f(2)=f(-2)=log12(6-2)=-2.例

32、7思路點(diǎn)撥 (1)根據(jù)奇偶性與周期性將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上,再借助函數(shù)的單調(diào)性,由自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系;(2)根據(jù)函數(shù)奇偶性、單調(diào)性和周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即可得到結(jié)論.(1)b(2)c解析 (1)根據(jù)題中所給的條件f(x+4)=-f(x),可知函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù).因?yàn)閒(x)在0,2上單調(diào)遞減,所以奇函數(shù)f(x)在-2,2上是減函數(shù),又f(15)=f(-1),f(8)=f(0),f(11)=f(3)=f(-1+4)=-f(-1)=f(1),且滿足-1<0<1,所以f(-1)>f(0)>f(1),所以f(11)<f(8)<f

33、(15),故選b.(2)函數(shù)f(x)的周期是2,函數(shù)f(x)在(2017,2018)上的單調(diào)性和在(-1,0)上的單調(diào)性相同.當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)=2x為增函數(shù),且函數(shù)f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x(-1,0)時(shí),f(x)為增函數(shù),又當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)=2x>0,當(dāng)x(-1,0)時(shí),f(x)<0,f(x)在(2017,2018)上滿足f(x)<0,故f(x)在(2017,2018)上是增函數(shù),且f(x)<0,故選c.應(yīng)用演練1.a解析 函數(shù)y=-3|x|為偶函數(shù),且在(-,0)上為增函數(shù).對(duì)于選項(xiàng)a,函數(shù)y=1-x2為偶函數(shù),在(-,0)上為增函數(shù),符合題意;對(duì)于

34、選項(xiàng)b,函數(shù)y=log2|x|是偶函數(shù),在(-,0)上為減函數(shù),不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)c,函數(shù)y=-1x為奇函數(shù),不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)d,函數(shù)y=x3-1為非奇非偶函數(shù),不符合題意.故選a.2.a解析 因?yàn)閒(x)是周期為2的奇函數(shù),所以f52=f12=-f-12=-12×-12a+1=-1,解得a=6,故選a.3.b解析 f(x)是r上的偶函數(shù),且在(-,0上是減函數(shù),所以f(x)在0,+)上是增函數(shù),所以f(log2x)>2,即f(|log2x|)>f(1),即|log2x|>1,即log2x>1或log2x<-1,解得x>2或0<x<

35、;12.故選b.4.a解析 易知當(dāng)x(0,2時(shí)f(x)=2x-1>0,則f(a)=fln1=-fln <0,f(b)=fe-ln 25=f52=-f12<0,f(c)=f13-0.1=f(30.1)=-f(30.1-2)=f(2-30.1)>0,又2>ln >lne=12,且f(x)=2x-1在0,2上單調(diào)遞增,f(ln )>f12,f(a)<f(b).故選a.5.-24解析 f(x)是周期為2的奇函數(shù),且當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)=x2-8x+30,f(10)=f(10-4)=-f(4-10)=-24.【備選理由】 例1考查函數(shù)奇偶性的判斷;例

36、2主要考查函數(shù)值比較大小,結(jié)合條件判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是解決本題的關(guān)鍵;例3考查函數(shù)周期性的不同形式,有利于對(duì)常見周期函數(shù)形式的掌握與應(yīng)用;例4為函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性及函數(shù)的零點(diǎn)等綜合性問題,涉及性質(zhì)多,難度大,需要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合求解.例1配合例1使用 2019·邯鄲九校聯(lián)考 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為r,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是()a.f(x)g(x)是偶函數(shù)b.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)c.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)d.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)解析 c因?yàn)閒(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函數(shù);因?yàn)閨f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函數(shù);因?yàn)閒(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函數(shù);因?yàn)閨f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函數(shù).故選c.例2配合例3使用 已知函數(shù)y=f(x+1)的圖像關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,且當(dāng)x0時(shí),f(x)=-x3+ln(1-x),設(shè)a=f(log36),b=f(log48),c=f(log510),則a,b,c的大小關(guān)系為()a.a>