第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)教案)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目的：1、理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。3、會用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。4、掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。5、知道曲率和曲率半徑的概念，會計(jì)算曲率和曲率半徑。6、知道方程近似解的二分法及切線性。教學(xué)重點(diǎn) ：1、羅爾定理、拉格朗日中值定理；2、函數(shù)的極值，判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法；3、函數(shù)圖形的凹凸性；4、洛必達(dá)法則。

2、教學(xué)難點(diǎn)：1、 羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用；2、 極值的判斷方法；3、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪；4、洛必達(dá)法則的靈活運(yùn)用。 3 1 中值定理一、羅爾定理費(fèi)馬引理設(shè)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0的某鄰域u(x0)內(nèi)有定義并且在 x0處可導(dǎo)如果對任意xu(x0)有f(x) f(x0) (或 f(x) f(x0)那么 f (x0) 0羅爾定理如果函數(shù)y f(x)在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)在開區(qū)間 (a, b)內(nèi)可導(dǎo)且有 f(a) f(b)那么在 (a, b)內(nèi)至少在一點(diǎn)使得 f ( ) 0簡要證明(1)如果 f(x)是常函數(shù)則 f (x) 0定理的結(jié)論顯然成立(2)如果 f(x)不是常函數(shù)則f(x

3、)在(ab)內(nèi)至少有一個最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)不妨設(shè)有一最大值點(diǎn)(a b)于是0)()(lim)()(xfxfffx0)()(lim)()(xfxfffx所以 f (x)=0. 學(xué)習(xí)必備歡迎下載二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 a b上連續(xù)在開區(qū)間 (a b)內(nèi)可導(dǎo)那么在 (a b)內(nèi)至少有一點(diǎn)(a b)使得等式f(b) f(a) f ( )(b a) 成立拉格朗日中值定理的幾何意義f ( )abafbf)()(定理的證明引進(jìn)輔函數(shù)令(x) f(x) f(a)abafbf)()(x a)容易驗(yàn)證函數(shù)f(x)適合羅爾定理的條件(a)(b) 0(x)在閉區(qū)間 a b 上連

4、續(xù)在開區(qū)間(a b)內(nèi)可導(dǎo)且(x) f (x)abafbf)()(根據(jù)羅爾定理可知在開區(qū)間(a b)內(nèi)至少有一點(diǎn)使( ) 0即f ( )abafbf)()(0由此得abafbf)()( f ( ) 即f(b) f(a) f ( )(b a)定理證畢f(xié)(b) f(a) f ( )(b a)叫做拉格朗日中值公式這個公式對于b0 或x0)或xx x (x0)應(yīng)用拉格朗日中值公式得f(xx) f(x) f (xx)x (0 1)如果記 f(x)為 y則上式又可寫為y f (xx)x (0 1)試與微分d y f (x)x 比較d yf (x)x 是函數(shù)增量y 的近似表達(dá)式而f (xx)x 是函數(shù)增量y

5、 的精確表達(dá)式作為拉格朗日中值定理的應(yīng)用我們證明如下定理定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間 i 上的導(dǎo)數(shù)恒為零那么 f(x)在區(qū)間 i 上是一個常數(shù)證在區(qū)間 i 上任取兩點(diǎn)x1x2(x1x2)應(yīng)用拉格朗日中值定理就得f(x2) f(x1) f ( )(x2 x1) (x1 x2)由假定f ( ) 0所以 f(x2) f(x1) 0即f(x2) f(x1)因?yàn)?x1x2是 i 上任意兩點(diǎn)所以上面的等式表明f(x)在 i 上的函數(shù)值總是相等的這就是說f(x)學(xué)習(xí)必備歡迎下載在區(qū)間 i 上是一個常數(shù)例證明當(dāng) x 0 時xxxx)1ln(1證設(shè) f(x) ln(1 x)顯然 f(x)在區(qū)間 0 x上滿足拉格朗

6、日中值定理的條件根據(jù)定理就有f(x) f(0) f ( )(x 0) 0 x。由于 f(0) 0 xxf11)(因此上式即為1)1ln(xx又由 0 x有xxxx)1ln(1三、柯西中值定理設(shè)曲線弧c 由參數(shù)方程)()(xfyxfx(a x b) 表示其中 x 為參數(shù)如果曲線c 上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于橫軸的切線那么在曲線c 上必有一點(diǎn)x使曲線上該點(diǎn)的切線平行于連結(jié)曲線端點(diǎn)的弦ab曲線 c 上點(diǎn) x處的切線的斜率為)()(ffdxdy弦 ab 的斜率為)()()()(afbfafbf于是)()()()()()(ffafbfafbf柯西中值定理如果函數(shù)f(x)及 f(x)在閉區(qū)間 ab上連續(xù)在

7、開區(qū)間 (a b)內(nèi)可導(dǎo)且 f(x)在(a b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零那么在 (a b)內(nèi)至少有一點(diǎn)使等式)()()()()()(ffafbfafbf成立顯然如果取 f(x) x那么 f(b) f(a) b a f (x) 1因而柯西中值公式就可以寫成f(b) f(a) f ( )(b a) (a b)這樣就變成了拉格朗日中值公式了作業(yè)： p134：2；7； 10；11（2） ；12 學(xué)習(xí)必備歡迎下載 3. 2 洛必達(dá)法則一、當(dāng)ax或x時的未定式00型和型的情形定理 1 設(shè)（ 1）當(dāng)ax時，函數(shù))(xf及)(xf都趨于零；（ 2）在點(diǎn)a的某去心領(lǐng)域內(nèi)，)(xf及)(xf都存在且0)(xf；（ 3

8、）)()(limxfxfax存在（或無窮大） ，則)()(lim)()(limxfxfxfxfaxax例1.求bxaxxsinsinlim0，)0(b；例 2 求123lim2331xxxxxx例 3 求30sinlimxxxx定理 2 設(shè)（ 1）當(dāng)x時，函數(shù))(xf及)(xf都趨于零；（ 2）當(dāng)nx |時，)(xf及)(xf都存在且0)(xf；（ 3）)()(limxfxfx存在（或無窮大） ，則學(xué)習(xí)必備歡迎下載)()(lim)()(limxfxfxfxfxx例 4 求xxx1arctan2lim例 5 求0,lnlimnxxnx例 6 求為正整數(shù)nexxnx,lim3例 7 求xxxxxt

9、antanlim20二、 0,00,1 ,0型的未定式這幾種類型都可以化為未定式00型和型的情形。1. 0型例 8. 求0,lnlim0nxxnx2.型例 9. 求)1sin1(lim0 xxx3.00,1 ,0型例 10. 求xxx0lim例 11. 求111limxxx例 12. 求xxxln10)(cotlim例 13. 求xxxxxsintanlim20作業(yè)： p138：1（1） （2） （4） （5） （7） （9） （ 11） （13） （14） （15）學(xué)習(xí)必備歡迎下載 3. 3 泰勒公式對于一些較復(fù)雜的函數(shù)為了便于研究往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達(dá)由于用多項(xiàng)式表示的函數(shù)只要

10、對自變量進(jìn)行有限次加、減、乘三種運(yùn)算便能求出它的函數(shù)值因此我們經(jīng)常用多項(xiàng)式來近似表達(dá)函數(shù)在微分的應(yīng)用中已經(jīng)知道當(dāng)|x|很小時有如下的近似等式ex1 x ln(1 x) x這些都是用一次多項(xiàng)式來近似表達(dá)函數(shù)的例子但是這種近似表達(dá)式還存在著不足之處首先是精確度不高這所產(chǎn)生的誤差僅是關(guān)于x 的高階無窮小其次是用它來作近似計(jì)算時不能具體估算出誤差大小因此對于精確度要求較高且需要估計(jì)誤差時候就必須用高次多項(xiàng)式來近似表達(dá)函數(shù)同時給出誤差公式設(shè)函數(shù) f(x)在含有 x0的開區(qū)間內(nèi)具有直到(n 1)階導(dǎo)數(shù)現(xiàn)在我們希望做的是找出一個關(guān)于(x x0)的 n次多項(xiàng)式pn(x) a 0a 1(x x0) a 2(x

11、x0) 2 an(x x0)n來近似表達(dá)f(x)要求 pn(x)與 f(x)之差是比 (x x0)n高階的無窮小并給出誤差 | f (x)pn (x)|的具體表達(dá)式我們自然希望pn(x)與 f(x)在 x0的各階導(dǎo)數(shù) (直到 (n 1)階導(dǎo)數(shù) )相等這樣就有pn(x) a 0a 1(x x0) a 2(x x0) 2 an(x x0)npn(x) a 12 a 2(x x0)nan(x x0)n 1 pn(x) 2 a 2 3 2a 3(x x0)n (n 1)an(x x0)n 2pn(x) 3!a 34 3 2a 4(x x0) n (n 1)(n 2)an(x x0)n 3pn (n)(

12、x) n! an學(xué)習(xí)必備歡迎下載于是pn(x0) a 0pn(x0) a 1pn(x0) 2! a 2pn(x) 3!a 3pn (n)(x) n! an按要求有f(x0) pn(x0) a0f (x0) pn(x0) a 1f(x0) pn(x0) 2! a 2f(x0) pn(x0) 3!a 3f(n)(x0) pn (n)(x0) n! an從而有a 0f(x0) a 1f (x0)(! 2102xfa)(! 3103xfa)(!10)(xfnann)(!10)(xfkakk(k 0 1 2n)于是就有pn(x) f(x0) f (x0) (x x0)(! 210 xf(x x0) 2

13、)(!10)(xfnn(x x0)n泰勒中值定理如果函數(shù)f(x)在含有 x0的某個開區(qū)間(a b)內(nèi)具有直到 (n 1)的階導(dǎo)數(shù)則當(dāng) x在(a b)內(nèi)時f(x)可以表示為 (x x0)的一個 n 次多項(xiàng)式與一個余項(xiàng)rn(x)之和)()(!1)(! 21)()()(00)(200000 xrxxxfnxxxfxxxfxfxfnnn其中10) 1()()!1()()(nnnxxnfxr(介于 x0與 x 之間 )這里多項(xiàng)式nnnxxxfnxxxfxxxfxfxp)(!1)(! 21)()()(00)(200000稱為函數(shù)f(x)按(x x0)的冪展開的n 次近似多項(xiàng)式公式200000)(! 21)

14、()()(xxxfxxxfxfxf)()(!100)(xrxxxfnnnn稱為 f(x)按(x x0)的冪展開的n 階泰勒公式而 rn(x)的表達(dá)式其中10) 1()()!1()()(nnnxxnfxr( 介于 x 與 x0之間 )稱為拉格朗日型余項(xiàng)當(dāng) n 0 時泰勒公式變成拉格朗日中值公式f(x) f(x0) f ( )(x x0) ( 在 x0與 x 之間 )因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣如果對于某個固定的n 當(dāng) x 在區(qū)間 (a b)內(nèi)變動時 |f(n 1)(x)|總不超過一個常數(shù)m則有估計(jì)式學(xué)習(xí)必備歡迎下載1010) 1(|)!1(|)()!1()(| )(|nnnnxxnm

15、xxnfxr及0)(lim0)(0nxnxxxxr可見妝 xx0時誤差 |rn(x)|是比 (x x0)n高階的無窮小即rn (x) o(x x0)n在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時n 階泰勒公式也可寫成200000)(! 21)()()(xxxfxxxfxfxf)()(!1000)(nnnxxoxxxfn當(dāng) x00 時的泰勒公式稱為麥克勞林公式就是)(!) 0(! 2) 0() 0()0()()(2xrxnfxfxffxfnnn或)(!) 0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf其中1) 1()!1()()(nnnxnfxr由此得近似公式nnxnfxfxffxf!)0(

16、! 2)0()0() 0()()(2誤差估計(jì)式變?yōu)?|)!1(| )(|nnxnmxr例 1寫出函數(shù)f(x) ex的 n 階麥克勞林公式解因?yàn)閒(x) f (x) f(x)f( n)(x) ex所以f(0) f (0) f(0)f( n)(0) 1于是12)!1(!1! 211nxnxxnexnxxe(0)并有nxxnxxe!1! 2112這時所產(chǎn)性的誤差為|rn(x)| |)!1(nexxn 1|)!1(|nex| x |n 1當(dāng) x 1 時可得 e 的近似式!1! 2111nex其誤差為|rn|0則 f(x)在a b上的圖形是凹的(2)若在 (a b)內(nèi) f(x)0則 f(x)在a b上的

17、圖形是凸的簡要證明只證 (1)設(shè)21, xxx1x2a b且 x1x2記2210 xxx由拉格朗日中值公式得2)()()()(21101101xxfxxfxfxf011xx2)()()()(12202202xxfxxfxfxf220 xxx1x 2yxo 221xx221xxf2)()(21xfxff(x2) f(x1) x1x 2yxo 221xx221xxf2)()(21xfxff(x2) f(x1) 學(xué)習(xí)必備歡迎下載兩式相加并應(yīng)用拉格朗日中值公式得2)()()(2)()(1212021xxffxfxfxf02)(1212xxf21即)2(2)()(2121xxfxfxf所以 f(x)在a

18、 b上的圖形是凹的拐點(diǎn)連續(xù)曲線 y f(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為這曲線的拐點(diǎn)確定曲線y f(x)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟(1)確定函數(shù)y f(x)的定義域(2)求出在二階導(dǎo)數(shù)f(x)(3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(4)判斷或列表判斷確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)注根據(jù)具體情況（1） （3）步有時省略例 1判斷曲線y ln x 的凹凸性解xy121xy因?yàn)樵诤瘮?shù)y ln x 的定義域 (0)內(nèi)y 0所以曲線y ln x 是凸的例 2判斷曲線y x3的凹凸性解y3x 2y6x由 y0得 x 0因?yàn)楫?dāng) x0 時 y 0 時 y 0所以曲線在 0)內(nèi)為凹的例 3求曲線 y 2x 33x

19、22x 14 的拐點(diǎn)解y 6x 26x 12)21(12612xxy令 y0得21x因?yàn)楫?dāng)21x時 y0當(dāng)21x時 y0 所以點(diǎn) (212120)是曲線的拐點(diǎn)例 4求曲線 y 3x 44x31 的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間解 (1)函數(shù) y 3x 44x31 的定義域?yàn)?()(2)231212xxy)32(3624362xxxxy(3)解方程 y0得01x322x(4)列表判斷( 0) 0 (0 2/3) 2/3 (2/3) f(x) 0 0 f(x) 1 11/27 學(xué)習(xí)必備歡迎下載在區(qū)間 (0和2/3)上曲線是凹的在區(qū)間 02/3上曲線是凸的點(diǎn) (0 1)和(2/311/27)是曲線的拐點(diǎn)例 5問

20、曲線 y x 4是否有拐點(diǎn)？解y4x 3y12x 2當(dāng) x0 時 y 0在區(qū)間 ()內(nèi)曲線是凹的因此曲線無拐點(diǎn)例 6 求曲線3xy的拐點(diǎn)解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?)(2) 3231xy3292xxy(3)無二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為x 0(4)判斷當(dāng) x0當(dāng) x0 時 y 0因此點(diǎn)(0 0)曲線的拐點(diǎn)作業(yè)： p152：3（1） （3） （5） ；5（1） （2） （4） ；8（1） （3） ； 9（1） （3） ；12 3 5 函數(shù)的極值與最大值最小值一、函數(shù)的極值及其求法極值的定義定義設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 (a, b)內(nèi)有定義x0(a, b)如果在 x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)f

21、(x0)則稱 f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值如果在 x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x) f(x0)則稱 f(x0)是函數(shù) f(x)的一個極小值設(shè)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0的某鄰域 u(x0)內(nèi)有定義如果在去心鄰域u(x0)內(nèi)有 f(x) f(x0) (或 f(x) f(x0)則稱 f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值(或極小值 )函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的如果 f(x0)是函數(shù) f(x)的一個極大值那只是就x0附近的一個局部范圍來說f(x0)是 f(x)的一個最大值如果就 f(x)的整個定義域來說f(x0)不一定是最大值關(guān)

22、于極小值也類似極值與水平切線的關(guān)系在函數(shù)取得極值處曲線上的切線是水平的但曲線上有水平切線的地方函數(shù)不一定取得極值定理 1 (必要條件 )設(shè)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0處可導(dǎo)且在 x0處取得極值那么這函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)為零即 f (x0) 0證為確定起見假定f(x0)是極大值 (極小值的情形可類似地證明)根據(jù)極大值的定義在x0的某個去心鄰域內(nèi)對于任何點(diǎn)xf(x) f(x0)均成立于是當(dāng) xx0時0)()(00 xxxfxf因此f (x0)0)()(lim000 xxxfxfxx學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng) xx0時0)()(00 xxxfxf因此0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx從而得到f (

23、x0) 0 駐點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方程 f (x) 0 的實(shí)根 )叫函數(shù) f(x)的駐點(diǎn)定理就是說可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn)但的過來函數(shù) f(x)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)考察函數(shù)f(x) x3在 x 0 處的情況定理 (第一種充分條件)設(shè)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0的一個鄰域內(nèi)連續(xù)在 x0的左右鄰域內(nèi)可導(dǎo)(1) 如果在 x0的某一左鄰域內(nèi)f (x) 0 在 x0的某一右鄰域內(nèi)f (x) 0那么函數(shù) f(x)在 x0處取得極大值(2) 如果在 x0的某一左鄰域內(nèi)f (x) 0 在 x0的某一右鄰域內(nèi)f (x) 0那么函數(shù) f(x)在 x0處取得極小值(3)如果在 x0的某一鄰域內(nèi)f (x

24、)不改變符號那么函數(shù)f(x)在 x0處沒有極值定理 (第一種充分條件)設(shè)函數(shù) f(x)在含 x0的區(qū)間 (a, b)內(nèi)連續(xù)在 (a, x0)及 (x0, b)內(nèi)可導(dǎo)(1)如果在 (a, x0)內(nèi) f (x) 0在(x0, b)內(nèi) f (x) 0那么函數(shù)f(x)在 x0處取得極大值(2)如果在 (a, x0)內(nèi) f (x) 0在(x0, b)內(nèi) f (x) 0那么函數(shù)f(x)在 x0處取得極小值(3)如果在 (a, x0)及(x0, b)內(nèi) f (x)的符號相同那么函數(shù)f(x)在 x0處沒有極值定理 2 (第一充分條件)設(shè)函數(shù) f(x)在 x0連續(xù)且在 x0的某去心鄰域(x0 x0)(x0 x0

25、)內(nèi)可導(dǎo)(1)如果在 (x0 x0)內(nèi) f (x) 0在(x0 x0)內(nèi) f (x) 0那么函數(shù) f(x)在 x0處取得極大值(2)如果在 (x0 x0)內(nèi) f (x) 0在(x0 x0)內(nèi) f (x) 0那么函數(shù) f(x)在 x0處取得極小值(3)如果在 (x0 x0)及(x0 x0)內(nèi) f (x)的符號相同那么函數(shù)f(x)在 x0處沒有極值定理 2 也可簡單地這樣說當(dāng) x 在 x0的鄰近漸增地經(jīng)過x0時如果 f(x)的符號由負(fù)變正那么 f(x)在 x0處取得極大值如果 f (x)的符號由正變負(fù)那么 f(x)在 x0處取得極小值如果 f (x)的符號并不改變那么 f(x)在 x0處沒有極值(

26、注定理的敘述與教材有所不同) 確定極值點(diǎn)和極值的步驟(1)求出導(dǎo)數(shù)f (x)(2)求出 f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(3)列表判斷 (考察 f (x)的符號在每個駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn)如果是極值點(diǎn)還要按定理2 確定對應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值)(4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值例 1 求函數(shù)32) 1()4()(xxxf的極值解 (1)f(x)在 ()內(nèi)連續(xù)除 x1 外處處可導(dǎo)且313) 1(5)(xxxf學(xué)習(xí)必備歡迎下載(2)令 f (x) 0得駐點(diǎn) x 1 x1 為 f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)(3)列表判斷x (1) 1 ( 1 1) 1 (1) f (x) 不可

27、導(dǎo)0 f(x) 0 343(4)極大值為f( 1) 0極小值為343) 1(f定理 3 (第二種充分條件)設(shè)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f (x0) 0f(x0) 0那么(1)當(dāng) f(x0) 0時函數(shù) f(x)在 x0處取得極大值(1)當(dāng) f(x0) 0時函數(shù) f(x)在 x0處取得極小值證明在情形 (1)由于 f(x0) 0 按二階導(dǎo)數(shù)的定義有0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性當(dāng) x 在 x0的足夠小的去心鄰域內(nèi)時0)()(00 xxxfxf但 f (x0) 0 所以上式即0)(0 xxxf從而知道對于這去心鄰域內(nèi)的x 來說f (x)與 x

28、 x0符號相反因此當(dāng) x x00 即 x x0時 f (x) 0當(dāng) x x00 即 x x0時 f (x) 0根據(jù)定理2 f(x)在點(diǎn) x0處取得極大值類似地可以證明情形(2)定理 3 表明如果函數(shù)f(x)在駐點(diǎn) x0處的二導(dǎo)數(shù)f(x0) 0那么該點(diǎn)x0一定是極值點(diǎn)并且可以按二階導(dǎo)數(shù)f(x0)的符來判定f(x0)是極大值還是極小值但如果 f(x0) 0定理 3 就不能應(yīng)用討論函數(shù) f (x)x4g(x) x3在點(diǎn) x 0 是否有極值？提示f (x) 4x 3f (0) 0 f(x) 12x2f(0) 0但當(dāng) x 0 時 f (x) 0當(dāng) x 0 時 f (x) 0所以 f(0) 為極小值g (

29、x) 3x2g (0) 0g(x) 6xg(0) 0但 g(0)不是極值例 2求函數(shù) f(x) (x21)31 的極值解(1)f (x) 6x(x21)2(2)令 f (x) 0求得駐點(diǎn)x11 x20 x31(3)f(x) 6(x21)(5x21)(4)因 f(0) 6 0 所以 f (x)在 x 0 處取得極小值極小值為 f(0) 0(5)因 f( 1) f(1) 0 用定理 3 無法判別因?yàn)樵? 的左右鄰域內(nèi)f (x) 0所以 f(x)在 1 處沒有極值同理 f(x)在 1 處也沒有極值二、最大值最小值問題學(xué)習(xí)必備歡迎下載在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中常常會遇到這樣一類問題在一定條件下

30、怎樣使“產(chǎn)品最多” 、 “用料最省” 、 “成本最低” 、 “效率最高” 等問題這類問題在數(shù)學(xué)上有時可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問題極值與最值的關(guān)系設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 a b上連續(xù)則函數(shù)的最大值和最小值一定存在函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得如果最大值不在區(qū)間的端點(diǎn)取得則必在開區(qū)間 (a b)內(nèi)取得在這種情況下最大值一定是函數(shù)的極大值因此函數(shù)在閉區(qū)間 a b上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最大者同理函數(shù)在閉區(qū)間ab上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最小者最大值和最小值的求法設(shè) f(x)在(a b)內(nèi)的駐

31、點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(它們是可能的極值點(diǎn))為 x1x2xn則比較f(a) f(x 1)f(xn) f(b) 的大小其中最大的便是函數(shù)f(x)在a b上的最大值最小的便是函數(shù)f(x)在a b上的最小值例 3 求函數(shù) f(x) |x23x 2|在 3 4上的最大值與最小值解)2, 1 (23 4, 2 1, 323)(22xxxxxxxf)2, 1(32)4,2() 1, 3(32)(xxxxxf在( 3 4)內(nèi) f(x)的駐點(diǎn)為23x不可導(dǎo)點(diǎn)為x 1 和 x 2由于 f( 3) 20 f(1) 041)23(ff(2) 0 f(4) 6 比較可得f(x)在 x3 處取得它在 3 4上的最大值 20在 x

32、 1 和 x 2 處取它在 3 4上的最小值0例 4工廠鐵路線上ab 段的距離為100km工廠 c 距 a 處為 20km ac 垂直于 ab為了運(yùn)輸需要要在 ab 線上選定一點(diǎn)d 向工廠修筑一條公路已知鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比3: 5 為了使貨物從供應(yīng)站b 運(yùn)到工廠 c 的運(yùn)費(fèi)最省問 d 點(diǎn)應(yīng)選在何處？解設(shè) ad x (km)則 db 100 x 2220 xcd2400 x設(shè)從 b 點(diǎn)到 c 點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為y那么y 5k cd 3k db (k 是某個正數(shù) )即24005xky3k(100 x) (0 x 100)dc20kmab100km學(xué)習(xí)必備歡迎下載現(xiàn)在問題

33、就歸結(jié)為x 在0 100內(nèi)取何值時目標(biāo)函數(shù)y 的值最小先求 y 對 x 的導(dǎo)數(shù)) 34005(2xxky2400 xcd解方程 y0得 x 15(km)由 于y|x 0400ky|x 15380k2100511500|kyx其 中 以y|x 15380k 為 最 小因 此 當(dāng)adx 15km 時總運(yùn)費(fèi)為最省注意f(x)在一個區(qū)間 (有限或無限開或閉 )內(nèi)可導(dǎo)且只有一個駐點(diǎn)x0并且這個駐點(diǎn)x0是函數(shù) f(x)的極值點(diǎn)那么當(dāng) f(x0)是極大值時f(x0)就是 f(x)在該區(qū)間上的最大值當(dāng) f(x0)是極小值時 f(x0)就是 f(x)在該區(qū)間上的最小值應(yīng)當(dāng)指出實(shí)際問題中往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷

34、定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得這時如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個駐點(diǎn)x0那么不必討論f(x0)是否是極值就可以斷定f(x0)是最大值或最小值例 5 把一根直徑為d 的圓木鋸成截面為矩形的梁問矩形截面的高h(yuǎn) 和寬 b 應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量w (261bhw)最大 ? 解 b 與 h 有下面的關(guān)系h 2d 2b 2因而)(6122bdbw(0bd)這樣w 就是自變量b 的函數(shù)b 的變化范圍是(0 d)現(xiàn)在問題化為b 等于多少時目標(biāo)函數(shù)w 取最大值？為此求 w 對 b 的導(dǎo)數(shù))3(6122bdw解方程 w0 得駐點(diǎn)db31由于梁的最大抗彎截面模量一定存在而

35、且在 (0d)內(nèi)部取得現(xiàn)在函數(shù))(6122bdbw在f(x 0) o ax 0bx y f(x) y f(x 0) o ax 0bx y f(x ) y dhb學(xué)習(xí)必備歡迎下載(0 d)內(nèi)只有一個駐點(diǎn)所以當(dāng)db31時 w 的值最大這時2222223231dddbdh即dh321:2:3:bhd解把 w 表示成 b 的函數(shù)261bhw)(6122bdb(0b0相反時 s0dxds21 y于是 ds21 ydx這就是弧微分公式因?yàn)楫?dāng)x0 時s mnx 又s與同號所以202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxx21y因此dxyds21這就是弧微分公式二、曲率及其計(jì)算公式曲線彎曲程度的直觀描述設(shè)曲線 c 是光滑的在曲線 c 上選定一點(diǎn)m0作為度量弧s 的基點(diǎn)設(shè)曲線上點(diǎn)m 對應(yīng)于弧 s 在點(diǎn) m