黑龍江省哈爾濱市楊林中學(xué)2020年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

1、黑龍江省哈爾濱市楊林中學(xué)2020年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 把5位人員派往3個(gè)不同的城市監(jiān)督環(huán)保工作，要求每個(gè)城市至少派一位人員的不同分配方案有（a）36種（b）150種（c）240種（d）300種（參考答案：b略2. 在abc中，ac=1，b=30°，abc的面積為，則c=(     )a30°b45°c60°d75°參考答案：c【考點(diǎn)】三角形的面積公式 【專題】解三角形【分析】利用正弦定理，求出

2、c，從而可求a，利用abc的面積確定c的大小，即可得出結(jié)論【解答】解：abc中，b=30°，ac=1，ab=，由正弦定理可得：=，sinc=，c=60°或120°，c=60°時(shí)，a=90°；c=120°時(shí)a=30°，當(dāng)a=90°時(shí)，abc的面積為?ab?ac?sina=，當(dāng)a=30°時(shí)，abc的面積為?ab?ac?sina=，不滿足題意，則c=60°故選：c【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題3. 已知x，y滿足且目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為7，

3、最小值為1，則=（）a2b1c1d2參考答案：d【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃【分析】先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大最小值時(shí)所在的頂點(diǎn)即可【解答】解：由題意得：目標(biāo)函數(shù)z=2x+y在點(diǎn)b取得最大值為7，在點(diǎn)a處取得最小值為1，a（1，1），b（3，1），直線ab的方程是：xy2=0，則=2故選d【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值的方法，屬于基礎(chǔ)題4. 下列四個(gè)圖象，只有一個(gè)符合y=|k1x+b1|+|k2x+b2|k3x+b3|（k1，k2k3r+，b1b2b30）的圖象，則根據(jù)你所判斷的

4、圖象，k1、k2、k3之間一定滿足的關(guān)系是（）ak1+k2=k3bk1=k2=k3ck1+k2k3dk1+k2k3參考答案：a【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象【分析】由于k1，k2，k3為正實(shí)數(shù)，考慮當(dāng)x足夠小時(shí)和當(dāng)x足夠大時(shí)的情形去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一次函數(shù)，通過(guò)觀察直線的斜率特征即可進(jìn)行判斷【解答】解：y=|k1x+b1|k2x+b2|+|k3x+b3|（其中k10，k20，k30，b1，b2，b3為非零實(shí)數(shù)），當(dāng)x足夠小時(shí)，y=（k1+k2k3）x（b1+b2b3），當(dāng)x足夠大時(shí)，y=（k1+k2k3）x+（b1+b2b3），可見(jiàn)，折線的兩端的斜率必定為相反數(shù)，此時(shí)只有第2個(gè)圖象符合條件此時(shí)

5、k1+k2k3=0，即k1+k2=k3，故選：a5. 某程序框圖如右圖所示,若該程序運(yùn)行后輸出的值是,則（    ）（）    (a)         (b)   (c)         (d) 參考答案：a6. 過(guò)正方體的頂點(diǎn)的平面與直線垂直，且平面與平面的交線為直線，平面與平面的交線為直線，則直線與直線所成角的大小為（   ） 

6、60;  a         b      c.         d參考答案：c7. 下列函數(shù)圖象是一個(gè)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的在同一個(gè)坐標(biāo)系中的圖象，其中一定錯(cuò)誤的是（  ）參考答案：c8. 已知，為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖象是（  ）    參考答案：a ：因?yàn)?，所以，這是一個(gè)奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除b、d，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)從右邊趨

7、近于0時(shí)， ，所以，故選a。9. 已知全集ur，集合 則()b的子集個(gè)數(shù)為a.2       b.4      c.8     d.16參考答案：b10. 假設(shè)有兩個(gè)分類變量x和y的2×2列聯(lián)表：yxy1y2總計(jì)x1a10a+10x2c30c+30總計(jì)6040100對(duì)同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說(shuō)明x與y有關(guān)系的可能性最大的一組為（）aa=45，c=15ba=40，c=20ca=35，c=25da=30，c=30參考答案：a【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的

8、應(yīng)用【分析】根據(jù)題意，a、c相差越大，與相差就越大，由此得出x與y有關(guān)系的可能性越大【解答】解：根據(jù)2×2列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，當(dāng)與相差越大，x與y有關(guān)系的可能性越大；即a、c相差越大，與相差越大；故選：a【點(diǎn)評(píng)】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 設(shè)直線l過(guò)雙曲線c的一個(gè)焦點(diǎn)，且與c的一條對(duì)稱軸垂直，l與c交于a，b兩點(diǎn)，|ab|為c的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則c的離心率為參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【分析】設(shè)雙曲線方程，由題意可得丨ab丨=2×2a，求得b2=2a2，根據(jù)雙曲線的離心率公式e=，即可求得

9、c的離心率【解答】解：設(shè)雙曲線方程：（a0，b0），由題意可知，將x=c代入，解得：y=±，則丨ab丨=，由丨ab丨=2×2a，則b2=2a2，雙曲線離心率e=，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查雙曲線通徑的求法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題12. 復(fù)數(shù)z（i是虛數(shù)單位）則復(fù)數(shù)z的虛部等于_.參考答案：1虛部為11013. 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，若，則公比q=_.參考答案：顯然公比，設(shè)首項(xiàng)為，則由，得，即，即，即，所以，解得14. 給出下列四個(gè)命題：“向量的夾角為銳角”的充要條件是“”；如果，則對(duì)任意的、，且，都有；將4個(gè)不同的小球全部放入3個(gè)不同的盒

10、子，使得每個(gè)盒子至少放入1個(gè)球，共有72種不同的放法；記函數(shù)的反函數(shù)為，要得到的圖象，可以先將的圖象關(guān)于直線做對(duì)稱變換，再將所得的圖象關(guān)于y軸做對(duì)稱變換，再將所得的圖象沿x軸向左平移1個(gè)單位，即得到的圖象其中真命題的序號(hào)是              （請(qǐng)寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）參考答案：“向量的夾角為銳角”的充要條件是“，且”，為假命題；函數(shù)為上凸函數(shù)，對(duì)任意的、，且，都有，為真命題；將4個(gè)不同的小球全部放入3個(gè)不同的盒子，使得每個(gè)盒子至少放入1個(gè)球，共有種不同的放法

11、，為假命題；記函數(shù)的反函數(shù)為，要得到的圖象，可以先將的圖象關(guān)于直線做對(duì)稱變換，再將所得的圖象關(guān)于y軸做對(duì)稱變換，再將所得的圖象沿x軸向右平移1個(gè)單位，即得到的圖象，為假命題綜上，只有是真命題15. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖是全等圖形，則該幾何體的表面積為         參考答案：       14. 16. 已知某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，則114分以上的成績(jī)所占的百分比為     

12、60;       （附：,)參考答案：由已知得，故17. 對(duì)于各數(shù)互不相等的正整數(shù)數(shù)組（n是不小于3的正整數(shù)），若對(duì)任意的p，q，當(dāng)p<q時(shí)有，則稱是該數(shù)組的一個(gè)“逆序”一個(gè)數(shù)組中所有“逆序”的個(gè)數(shù)稱為該數(shù)組的“逆序數(shù)”，如數(shù)組(2，3，1)的逆序數(shù)等于2則數(shù)組(4，2，3，1)的逆序數(shù)等于_；若數(shù)組的逆序數(shù)為n，則數(shù)組的逆序數(shù)為_(kāi)參考答案：三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18. （12分）已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）x2x在x=0處取得極值（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2

13、）若關(guān)于x的方程f（x）=x+b在區(qū)間（0，2）有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）對(duì)于nn+，證明：參考答案：【分析】（1）求導(dǎo)，f（0）=0，求得a的值，寫(xiě)出函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式，f（x）0，求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，；由f（x）0，求得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；（2）構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）（x+b），求導(dǎo)，令g（x）=0，求得x的值，即可求得g（x）的單調(diào)區(qū)間，求得g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）由（1）可知當(dāng)x0時(shí)ln（x+1）x2+x（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立），可得到ln，求得前n項(xiàng)不等式，采用累加法及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可證明不等式成立【解答】解：（1）由已知得f

14、（x）=2x1=，（1分）f（0）=0， =0，a=1f（x）=ln（x+1）x2x（x1），（2分）于是f（x）=（x1），由f（x）0得1x0；由f（x）0，得x0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+）（4分）（2）令g（x）=f（x）（x+b）=ln（x+1）x2+xb，x（0，2），則g（x）=2x+=，令g（x）=0，得x=1或x=（舍），當(dāng)0x1時(shí)，g（x）0；當(dāng)1x2時(shí)g（x）0，即g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減（7分）方程f（x）=x+b在區(qū)間（0，2）有兩個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于函數(shù)g（x）在（0，2）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即亦即，ln3

15、1bln2+，故所求實(shí)數(shù)b的取值范圍為b丨ln31bln2+（9分）證明：（3）由（1）可得，當(dāng)x0時(shí)ln（x+1）x2+x（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立），設(shè)x=，則ln（1+）+，即ln  （10分）ln，ln，ln，ln，將上面n個(gè)式子相加得：+ln+ln+ln+ln=ln（n+1），故：（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的問(wèn)題，同時(shí)考查了利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，是一道綜合題，屬于難題19. 已知函數(shù)f（x）exax2，g（x）xblnx若曲線yf（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線與曲線y

16、g（x）在點(diǎn)（1，g（1）處的切線相交于點(diǎn)（0，1）（1）求a，b的值；（2）求函數(shù)g（x）的最小值；（3）證明：當(dāng)x0時(shí)，f（x）xg（x）（e1）x1參考答案：（1）解：因?yàn)閒（x）ex2ax，所以f（1）e2a，切點(diǎn)為（1，ea），所以切線方程為y（e2a）（x1）（ea），因?yàn)樵撉芯€過(guò)點(diǎn)（0，1），所以a1又，g（1）1b，切點(diǎn)為（1，1），所以切線方程為y（1b）（x1）1，同理可得b1（2）解：由（1）知，g（x）xlnx，所以當(dāng)0x1時(shí)，g（x）0；當(dāng)x1時(shí)，g（x）0，所以當(dāng)x1時(shí)，g（x）取極小值，同時(shí)也是最小值，即g（x）ming（1）1（3）證明：由（1）知，曲線yf（x

17、）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程為y（e2）x1下面證明：當(dāng)x0時(shí)，f（x）（e2）x1設(shè)h（x）f（x）（e2）x1，則h（x）ex2x（e2），再設(shè)k（x）h（x），則k（x）ex2，所以h（x）在（0，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，）上單調(diào)遞增又因?yàn)閔（0）3e，h（1）0，0ln21，所以h（ln2）0，所以存在x0（0，1），使得h（x0）0，所以，當(dāng)x（0，x0）（1，）時(shí)，h（x）0；當(dāng)x（x0，1）時(shí)，h（x）0故h（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，1）上單調(diào)遞減，在（1，）上單調(diào)遞增又因?yàn)閔（0）h（1）0，所以h（x）f（x）（e2）x10，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)，

18、所以ex（e2）x1x2由于x0，所以又由（2）知，xlnx1，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)，所以，所以ex（e2）x1x（1lnx），即exx2x（xlnx）（e1）x1，即f（x）xg（x）（e1）x120. 定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“m數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列an滿足：，求證:數(shù)列an為“m數(shù)列”；（2）已知數(shù)列bn滿足:，其中sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；設(shè)m為正整數(shù)，若存在“m數(shù)列”cn(nn*)，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)km時(shí)，都有成立，求m的最大值參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）bn=n；5.【分析】（1）由題意分別求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比即可證得題中的結(jié)論；（2）由題

19、意利用遞推關(guān)系式討論可得數(shù)列bn是等差數(shù)列，據(jù)此即可確定其通項(xiàng)公式；由確定的值，將原問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得m的最大值【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，所以a10，q0.由，得，解得因此數(shù)列為“m數(shù)列”.（2）因?yàn)?，所以由得，則.由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，整理得所以數(shù)列bn是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.因此，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=n.由知，bk=k，.因?yàn)閿?shù)列cn為“m數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c1=1，q>0.因?yàn)閏kbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.當(dāng)k=1時(shí)，有q1；當(dāng)k=2，3，m時(shí)，有設(shè)f（x）=，則令，得x=e.列表如下：x（1，e）e(e，+)+0f（x）極大值 因?yàn)椋匀?，?dāng)k=1，2，3，4，5時(shí)，即，經(jīng)檢驗(yàn)知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分別取k=3，6，得3q3，且q56，從而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5【點(diǎn)睛】本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問(wèn)題的能力21. （本小題滿分13分）已知函數(shù)（）若，求函數(shù)的極小值；（）試問(wèn)：對(duì)某個(gè)實(shí)數(shù)，方程在上是否存在三個(gè)不相等的實(shí)根？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的范圍；若不