浙江中考數(shù)學考點專題復習--專題八《銳角三角函數(shù)與解直角三角形》

1、 浙江中考數(shù)學考點專題復習-專題八銳角三角函數(shù)與解直角三角形中考點擊考點分析：內容要求1、特殊角的三角函數(shù)值2、利用計算器求銳角的三角函數(shù)值，并能根據(jù)已知的三角函數(shù)值求對應的銳角3、綜合運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關的簡單實際問題命題預測：本專題內容主要涉及兩方面，一是銳角三角函數(shù)問題的基本運算，二是解直角三角形其中，解直角三角形的應用題是中考重點考查的內容，題型廣泛，有測建筑物高度的，有與航海有關的問題，有與筑路、修堤有關的問題要注意把具體問題轉化為數(shù)學模型，在計算時不能直接算出某些量時，要通過列方程的辦法加以解決預測2007年中考的考查熱點，主要要求能夠正確地應用sinA、cosA、tg

2、A、ctgA表示直角三角形兩邊的比，并且要熟記30°、45°、60°角的各個三角函數(shù)值理解直角三角形中的邊、角之間的關系，會用勾股定理及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會用相關的知識解決一些簡單的實際問題，尤其是在計算距離、高度和角度等方面難點透視例1已知RtABC中，C90°，AC2，BC3，那么下列各式中，正確的是A、B、C、D、【考點要求】本題考查銳角三角函數(shù)的概念。【思路點撥】根據(jù)題目所給條件，可畫出直角三角形，結合圖形容易判斷是B的正切值?！敬鸢浮窟xC?！痉椒c撥】部分學生會直接憑想象判斷并選擇結果，從而容易導致錯誤。突破方法：這類題目本身難度不大

3、，但卻容易出現(xiàn)錯誤，關鍵是要畫出圖形，結合圖形進行判斷更具直觀性，可減少錯誤的發(fā)生。例2某山路坡面坡度,某人沿此山路向上前進200米,那么他在原來基礎上升高了_米【考點要求】本是考查坡度與坡角正切值關系?！舅悸伏c撥】坡度即坡角的正切值為，所以坡角的正弦值可求得等于，所以沿著山路前進200米，則升高200×=10（米）?！敬鸢浮刻?0?！痉椒c撥】少數(shù)學生因為未能正確理解坡度的意義，而出現(xiàn)使用錯誤。突破方法：牢記坡度表示坡角的正切值即坡角的對邊：坡角的鄰邊=，然后再結合直角三角形，可求出坡角的正弦值，從而容易求得結果。圖8-1例3如圖8-1，在ABC中，C90°，點D在BC上

4、，BD4，ADBC，cosADC=求：（1）DC的長；（2）sinB的值【考點要求】本題考查銳三角函數(shù)概念的相關知識及其簡單運用?！舅悸伏c撥】（1）在RtABC中，cosADC，設CD3k，AD5k又BCAD，3k+45k，k2 CD3k6（2）BC3k46410，AC4k8ABsinB= 【答案】（1）CD6；（2）sinB=?！痉椒c撥】本題的關鍵是抓住“ADBC”這一相等的關系，應用銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理解題0.5m3m圖8-3-1例4如圖所示，秋千鏈子的長度為3m，靜止時的秋千踏板（大小忽略不計）距地面0.5m秋千向兩邊擺動時，若最大擺角（擺角指秋千鏈子與鉛垂線的夾角）約為，則秋

5、千踏板與地面的最大距離約為多少？(參考數(shù)據(jù)：0.8,0.6)【考點要求】本題考查利用銳角三角函數(shù)知識和解直角三角形解決實際生活中的直角三角形問題【思路點撥】設秋千鏈子的上端固定于A處，秋千踏板擺動到最高位置時踏板位于B處過點A，B的鉛垂線分別為AD，BE，點D，E在地面上，過B作BCAD于點C在Rt中， AC=1.8（m） 圖8-3-2 （m） （m）【答案】秋千擺動時踏板與地面的最大距離約為m【方法點撥】部分學生想直接求出踏板離地最高的距離即BE，但卻缺少條件。突破方法：通過作輔助線，將BE轉化到CD位置上，根據(jù)題目所給條件容易求出AC，從而可求得CD的長。解題關鍵：利用解直角三角形求解實際

6、問題的關鍵在于構造適當?shù)闹苯侨切巍?圖8-4EACBD北東例5如圖8-5，一條漁船某時刻在位置A觀測燈塔B、C(燈塔B距離A處較近)，兩個燈塔恰好在北偏東65°45的方向上，漁船向正東方向航行l(wèi)小時45分鐘之后到達D點，觀測到燈塔B恰好在正北方向上，已知兩個燈塔之間的距離是12海里，漁船的速度是16海里時，又知在燈塔C周圍18.6海里內有暗礁，問這條漁船按原來的方向繼續(xù)航行，有沒有觸礁的危險?【考點要求】本題考查解直角三角形在航海問題中的運用，解決這類問題的關鍵在于構造相關的直角三角形幫助解題【思路點撥】在RtABD中，（海里），BAD=90°-65°45=24

7、°15.cos24°15=，(海里).AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).在RtACE中，sin24°15=，CE=AC·sin24°15=42.71×0.4107=17.54(海里).17.5418.6，有觸礁危險。【答案】有觸礁危險，不能繼續(xù)航行?！痉椒c撥】本題有兩個難點，一是要能將實際問題抽象為數(shù)學問題，二是構造合適的直角形。突破方法：有無觸礁危險，關鍵看離燈塔C最近的距離與18.6的大小關系，如果最近的距離大于18.6，則不會有觸礁危險。解題關鍵：離燈塔最近的距離是從燈塔向航線作垂線段。例6某數(shù)學興趣小組

8、，利用樹影測量樹高已測出樹AB的影長AC為9米，并測出此時太陽光線與地面成30°夾角 （1）求出樹高AB；（2）因水土流失，此時樹AB沿太陽光線方向倒下，在傾倒過程中，樹影長度發(fā)生了變化，假設太陽光線與地面夾角保持不變，試求樹影的最大長度（計算結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：1.414， 1.732）圖8-5-1圖8-5-2【考點要求】本題考查解直角三角形在測量中的實際運用【思路點撥】（1）在RtA BC中，BAC90°，C30°tanC ABAC·tanC9×5.2（米）（2）以點A為圓心，以AB為半徑作圓弧，當太陽光線與圓弧相切時樹影最長，點

9、D為切點，DEAD交AC于E點，（如圖2）在RtADE中，ADE90°，E30°，AE2AD2×5.210.4（米）【答案】樹高AB約為5.2米，樹影有最長值，最長值約為10.4米?！痉椒c撥】部分學生第（1）問沒有太大困難，第（2）問中樹在傾倒過程中，確定何處樹影最長比較困難。突破方法：以A為圓心，AB為半徑作圓弧，其中與圓弧相切的太陽光線所照射得到的樹影最長。解題關鍵：如何用直觀的方式將樹傾倒過程體現(xiàn)出來，這是解決該題的關鍵所在。圖8-6-1例7初三（5）班綜合實踐小組去湖濱花園測量人工湖的長，如圖1A、D是人工湖邊的兩座雕塑，AB、BC是湖濱花園的小路，小東

10、同學進行如下測量，B點在A點北偏東60o方向，C點在B點北偏東45o方向，C點在D點正東方向，且測得AB=20米，BC=40米，求AD的長（，結果精確到0.01米）【考點要求】本題考查解直角三角形在實際生活當中的綜合運用要求學生能根據(jù)問題實際快速確定正確解決問題的方法【思路點撥】過點B作BED，BFD，垂足分別為E，F(xiàn)，如圖2圖8-6-2由題意知，ADCD四邊形BFDE為矩形BF=ED 在RtABE中，AE=AB·cosEAB在RtBCF中，BF=BC·cosFBC AD=AE+BF=20·cos60o+40·cos45o =10+20×1.4

11、14=38.28（米）【答案】38.28米?！痉椒c撥】部分學生知道需要利用解直角三角形來解題，但卻又不知從何處入手。突破方法：在無法直接求出AD長的情況下，可考慮分段計算，也就是構造多個直角三角形，化整為零，各個突破，再積零為整，求得結果。難點突破方法總結銳角三角函數(shù)與解直角三角形在近年的中考中，難度比以前有所降低，與課改相一致的是提高了應用的要求，強調利用解直角三角形知識解決生活實際中的有關測量、航海、定位等方面的運用。因此，在本專題中，有以下幾點應加以注意。1.正確理解銳三角函數(shù)的概念，能準確表達各三角函數(shù)，并能說出常用特殊角的三角函數(shù)值。2.在完成銳角三角函數(shù)的填空、選擇題時，要能根據(jù)

12、題意畫出相關圖形，結合圖形解題更具直觀性。3.能將實際問題轉化為相關的直角三角形問題，即把實際問題抽象為幾何問題，研究圖形，利用數(shù)形結合思想、方程思想等解決生活問題。4.注重基礎，不斷創(chuàng)新，掌握解直角三角形的基本技能，能靈活應對在測量、航海、定位等現(xiàn)代生活中常見問題，這也是以后中考命題的趨勢。拓展練習第1題圖一、填空題1如圖，如果APB繞點B按逆時針方向旋轉30°后得到APB，且BP=2，那么PP的長為_ (不取近似值. 以下數(shù)據(jù)供解題使用：sin15°=，cos15°=)2用計算器計算： （精確到0.01） 3如圖，在甲、乙兩地之間修一條筆直的公路，從甲地測得公

13、路的走向是北偏東48°甲、乙兩地間同時開工，若干天后，公路準確接通，則乙地所修公路的走向是南偏西 度北甲北乙第3題圖第4題圖xOAyB 4如圖，機器人從A點，沿著西南方向，行了個4單位，到達B點后觀察到原點O在它的南偏東60°的方向上，則原來A的坐標為 （結果保留根號）5求值：sin260°+cos260°= 6在直角三角形ABC中，A=，BC=13，AB=12，那么 A40°52mCD第5題圖B43°¤7根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)，求得避雷針CD的長約為_m（結果精確的到0.01m）（可用計算器求，也可用下列參考數(shù)據(jù)求：sin43

14、°0.6802，sin40°0.6428，cos43°0.7341，cos40°0.7660，tan43°0.9325，tan40°0.8391）第6題圖8如圖，自動扶梯AB段的長度為20米，傾斜角A為，高度BC為米（結果用含的三角比表示）二、選擇題9在ABC中，C900，ACBC1，則tanA的值是（ ）A B C1 D10在RtABC中，CD是斜邊AB上的高線，已知ACD的正弦值是，則的值是（ ）第11題圖A B C D11如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為2米，梯子的頂端B到地面的距離為7米現(xiàn)將梯子的底端A向外

15、移動到，使梯子的底端到墻根O的距離等于3米，同時梯子的頂端B下降到，那么（ ）A等于1米 B大于1米 C小于1米 D不能確定第12題圖12如圖，延長RtABC斜邊AB到D點，使BDAB，連結CD，若cotBCD3，則tanA（ ）A B1 C D三、解答題13已知等腰梯形ABCD中，ADBC18cm，sinABC，AC與BD相交于點O，BOC1200，試求AB的長14如圖，河對岸有一鐵塔AB在C處測得塔頂A的仰角為30°，向塔前進16米到達D，在D處測得A的仰角為45°，求鐵塔AB的高第16題圖 第15題圖第13題圖15如圖，我市某廣場一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面

16、成40°夾角，且DB=5m，則BC的長度是多少？現(xiàn)再在C點上方2m處加固另一條鋼纜ED，那么鋼纜ED的長度為多少？（結果保留三個有效數(shù)字）【參考數(shù)據(jù)：】習題答案專題八銳角三角函數(shù)與解直角三角形習題答案一、填空題1（點撥：連結PP，過點B作BDPP，因為PBP=30°，所以PBD=15°，利用sin15°=，先求出PD，乘以2即得PP）22.35348（點撥：根據(jù)兩直線平行，內錯角相等判斷）4(0，)（點撥：過點B作BCAO，利用勾股定理或三角函數(shù)可分別求得AC與OC的長）51（點撥：根據(jù)公式sin2+cos2=1）6（點撥：先根據(jù)勾股定理求得AC=5，再

17、根據(jù)求出結果）74.86（點撥：利用正切函數(shù)分別求了BD，BC的長）8（點撥：根據(jù)，求得）二、選擇題9 C10D11C（點撥：利用勾股定理先求出AB的長，再求出的長）12A（點撥：過點D作DECB的延長線于點E，易證得ACB與DEB全等，所以A=BDE，BC=BE。又因為cotBCD3，所CE=3DE，所tanA=tanBDE=）三、解答題13解：如圖，作DEAC交BC的延長線于E，則四邊形ACED是平行四邊形 ADCE，DEAC，易證ABCDCB ACDB，BDDE DBE為等腰三角形 BEBCAD18cm 分別過A、D作AGBC于G，DFBC于F BDEBOC1200，BDF600 BFBE9cm，AG