解析幾何中有關(guān)參數(shù)范圍問題的求解策略--專業(yè)論文

1、解析幾何中有關(guān)參數(shù)范圍問題的求解策略曾慶寶解析幾何中的參數(shù)范圍問題是平時考試和高考中的重要考查內(nèi)容，但這一類題綜合性 強、變量多、涉及知識血廣，是難點問題。解答這類問題往往運用函數(shù)思想、方程思想、數(shù) 形結(jié)合思想等，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域劃最值等來解決。一. 運用數(shù)形結(jié)合探求參數(shù)范圍r2 (v - n?例l.m為何值時，直線y = -x + m與半橢圓 +§= 1 © » "只有一個公共點？y2 (y分析：因為橢圓莎+卩5=1 (y n 1)為半條曲線，若利用方程觀點研究這類問題,則需轉(zhuǎn)化成根的分布問題，較麻煩且易岀錯。若川數(shù)形結(jié)合的思想來研究則直觀易解

2、。如圖,j厶、厶是直線系y =-兀+加中的三條直線，這三條直線是直線系中的直線與半橢圓交點個數(shù)的“界線”,在人與匚之間的直線(含人,不含厶)及厶都是與半橢圓只有一個公共 點的直線，而m是這些直線在y軸上的截距，由此可求m的范圍。解：厶過（一2后，1）,貝ijl = 2v5+m, m = -25 4-14 過（2后，1）,則 1 = 一2 v5 4-777 , 7/2 = 275+1y = -x + m120得到關(guān)于兀的一元二次方程。(y»i)利用=()得m = 6綜上所得，1 2后5加1 + 2后或加=6二. 構(gòu)建函數(shù)關(guān)系探求參數(shù)范圍例2.p、q、m、n四點都在橢圓宀冷1上，f為橢圓

3、在y軸正半軸上的焦點。已知pf與f0共線，mf與fn共線,且pf mf = q.求四邊形pmqn的而積的最小 值和最大值。分析：顯然，我們只要把面積表示為一個變量的函數(shù)，然后求函數(shù)的最值即可。解：如圖，由條件知mn和pq是橢惻的兩條弦，相交于焦點f （0, 1）,且pq丄mn, 直線pq、mn中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)pq的斜率為k,又pq過點f （0, 1），故 pq方程為y = kx + .代入橢圓方程得（2 +比2）兀2 + 2匕一 1 = 0設(shè)p、q兩點的坐標分別為（“，兒）,（兀2,兒），則當icho時，mn的斜率為一一，同上可推得 kmn =故四邊形面積s = pq （2 +曰（

4、2 +右）5 +心令 u = k2 +得 s = 4（2 + "）= 2（ 1 5 + 2u v 5 + 2 w /因為u = jl2+-l>2,此時k=±l, w = 2, s = , us是以u為自變量的增函 k29數(shù)，所以<s<2o9當r=0吋，mn為橢圓長軸，|w| = 2v2, pq = /2s = pq mn = 2綜合知，四邊形pmqn而積的最人值為2,最小值為匹。三. 構(gòu)造含參數(shù)不等式探求參數(shù)范圍例3已知拋物線b =2/x（p0）,過m （a, 0）且斜率為1的直線/與拋物線交于 不同的兩點a、b, ab<2p.（1）求a的取值范圍；

5、（2）若線段ab的垂直平分線交兀軸于點n,求anab而積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，對于（1）,可以設(shè)法得到關(guān)于。的不 等式，通過解不等式求出"的范圍，即“求范圍，找不等式”。或者將。表示為另一個變量 的函數(shù)，利川求函數(shù)的值域求出。的范圍。對于（2）首先要把anab的面積表示為一個變 量的函數(shù)，然后再求它的最大值。解（1）直線z的方程為：y = x 0，將y二兀d代入拋物線方程y2 = 2px，設(shè)得x1 - 2(。+ /;)% +。2 = 0設(shè)直線z與拋物線兩交點的坐標分別為a（“，兒），b（x2 ,兒），則4(。+ py -4a2 > 0< 兀

6、+兀2 = 2(a + ), 并口)=兀_a, y2 = x2-axjx2又0v ab < 2p, 8p(p + 2a)>0=8p(p + 2a)所以 0 v8p(p + 2a) <2p解得（2）令ab中點為q,= 1ab-qn = pq j ab<p 2p = 42p2 2即anab的回積的最大值為v2/?2。->例4已知梯形abcd中,|ab| = 2|cd|,點e滿足4e = 2ec,雙曲線過c、d、e2 3三點，冃以a、b為焦點。當一525二時，求雙曲線離心率e的取值范圍。3 4分析：顯然，我們只要找到e-4a的關(guān)系，然后利用解不等式或求函數(shù)的值域即可求出

7、 e的范圍。解：如圖建立朋標系，cd丄y軸，因為雙曲線經(jīng)過點c、d,且以a、b為焦點，由雙 曲線的對稱性知c、d關(guān)于y軸對稱。(c i依題意，記a(-c, 0), c=, /*, e(x(), y(j，其c = -ab為雙曲線的半焦原，h是梯形的高。解得:兀0-»-由 ae = a ec,(2-2)c2(1 + 2)設(shè)雙曲線的方程為令-令"則離心率e手由點c、e在雙曲線上，將點c、e的坐標和幺二£代入雙曲線的方程得: a/?2 t一廠1< 112)2< a )1久+ 1丿j久+ 1丿44>h22 h2=1<2>將vl式代入2式,整理得

8、:-(4-42)=1 + 2223233依題設(shè)齊久行得齊聳解得：v7 <e< v10所以雙曲線的離心率的取值范圍是<< vio2 2例5.已知橢圓四. 運用幾何性質(zhì)探求參數(shù)范圍（ab0）, a、b是橢圓上的兩點，線段ab的垂直平分線與x軸相交于點卩（兀（），0）o證明:分析：欲證滿足關(guān)于參數(shù)b的不等式，須從題中找出不等關(guān)系，由橢圓的性質(zhì)可 知，橢圓上的點的坐標滿足如下條件：a h ,因此問題轉(zhuǎn)化為尋求與兀的關(guān)系。證明：由題設(shè)可知，點p在線段ab的垂直平分線上,所以ap = bp若設(shè)力（旺，yj, b（x2,兒），則有：（習一*0）2汀=（x2_x°）2兒2-2

9、 , ?因為點a、b在橢|員|上，所以）= b2x2, y22 = b2x22cr cr從而由一d < xx <a, -a < x2 < a at得,<兀0 v-b2a五. 構(gòu)造方程運用判別式探求參數(shù)范圍例6.己知拋物線，2=2"（“工0）上存在關(guān)于直線x + y = 1對稱的相異兩點，求p 的取值范用。分析：解決本題的關(guān)鍵是建立方程，運用判別式找到關(guān)于p的不等式。解：設(shè)拋物線上關(guān)于直線x + y = l對稱的兩點是mfr】，yj, 7v（x2, y2）設(shè)直線mn的方程為y = xb,代入拋物線方程，得x2 +（2b 一 2p）x + b2 = 0則 &

10、#163; + 乙=2p - 2b, y, + y2 =+ x2 + 2b = 2p則mn的中點p的朋標為（p-b, p）又因點p在直線x + y = l上，所以2p b = ,即b = 2p-乂 a =（2/?-2p）2 -4/?2 =4/? _8 切0將b = 2” 一 1 代入得：4p2 -sp（2p -1） > 0, 3p2 -2p <02解得：ovpv 【練習】1.設(shè)橢圓 齊+1的兩個焦點是f,（-c,（）與f2（c, 0）,且c0,橢圓上存在一點p,使得直線與（1）求實數(shù)m的取值范圍;（2）設(shè)z是相應(yīng)于焦點&的準線，直線p&與/相交于點q若p斗=2-求22陰直線p&的方程。2.在以0為原點的直角坐標系中，點a(4, 3)為厶oab的直角頂點。已知ab =2 oa ,且點b的縱坐標大于零。(1) 求向量ab的坐標;(2) 求圓/ 6兀+ b + 2y = 0的關(guān)于直線ob對稱