拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用

1、引言 11拉普拉斯變換以及性質(zhì) 11.1拉普拉斯變換的定義 11.2拉普拉斯變換的性質(zhì) 22用拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟 33拉普拉斯變換在求解常微分方程中的應(yīng)用 43.1初值問(wèn)題與邊值問(wèn)題 43.2常系數(shù)與變系數(shù)常微分方程 53.3含函數(shù)的常微分方程 63.4 常微分方程組 73.5拉普拉斯變換在求解非齊次微分方程特解中的應(yīng)用 73.6拉普拉斯變換在求解高階微分方程中的推廣 114拉普拉斯變換在求解偏微分方程中的應(yīng)用 124.1齊次與非齊次偏微分方程 124.2 有界與無(wú)界問(wèn)題 155綜合比較，歸納總結(jié) 19結(jié)束語(yǔ) 20參考文獻(xiàn) 20英文摘要 21致謝 21忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)

2、論文(設(shè)計(jì))拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用物理系0801班學(xué) 生 岳艷林指導(dǎo)老師韓新華摘 要：拉普拉斯變換在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介紹拉普拉斯變換的定義及性質(zhì)；其次給出拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟；然后重點(diǎn)舉例拉普拉斯變換在求解常微分方程(初值問(wèn)題與邊值問(wèn)題、常系數(shù)與變系數(shù)常微分方程、含函數(shù)的 常微分方程、常微分方程組、拉普拉斯變換在求解微分方程特解中的應(yīng)用、拉普拉斯變換在求解高階微分方程的推廣)與典型偏微分方程(齊次與非齊次偏微分方程、有界與無(wú)界問(wèn)題) 中的應(yīng)用舉例；最后綜合比較、歸納總結(jié)拉普拉斯變換在求解微分方程中的優(yōu)勢(shì)以及局限性。關(guān)鍵詞：拉普拉斯變換；拉普拉斯

3、逆變換；常微分方程；偏微分方程；特解引言傅里葉變換和拉普拉斯變換是常用的積分變換，但對(duì)函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換時(shí)必須滿(mǎn)足狄里希利和在：=內(nèi)絕對(duì)可積，但是在物理、無(wú)線(xiàn)電技術(shù)等實(shí) 際應(yīng)用中，許多以時(shí)間t為自變量的函數(shù)通常在t：0時(shí)不需要考慮或者沒(méi)有意 義，像這樣的函數(shù)不能取傅里葉變換。為避免上述兩個(gè)缺點(diǎn)，將函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)改 造，便產(chǎn)生了拉普拉斯變換 。1拉普拉斯變換以及性質(zhì)1.1拉普拉斯變換的定義-bo設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)t 一0時(shí)有定義，而且積分.f(t)e$dt(s是一個(gè)復(fù)參量)在s的0乂某一區(qū)域內(nèi)收斂，則此積分所確定的函數(shù)可寫(xiě)為F (s)二f (t)etdt.我們稱(chēng)上式0為函數(shù) f (t)的 Lap l

4、ace 變換式.記為 F (s) L f (t), F (s)稱(chēng)為 f (t)的 Laplace 變換(或稱(chēng)為象函數(shù))若F(s)是f(t)的Lap lace變換，則稱(chēng)f(t)為F(s)的Laplace逆變換(或稱(chēng) 為象原函數(shù))，記為f (t)二LF(s)2.Lap lace變換的存在定理若函數(shù)f(t)滿(mǎn)足下列條件：1在t _0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；2當(dāng)t_. :時(shí)，f(t)的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù)，亦即存在常數(shù)M . 0 及cx0，使得f (t)蘭Mect,0 G丈址成立(滿(mǎn)足此條件的函數(shù)，稱(chēng)它的增大是不 超過(guò)指數(shù)級(jí)的，c為它的增長(zhǎng)指數(shù)).-bo則f (t)的Laplace變換F(s)

5、 = f(t)e$dt在半平面Re(s) . c上一定存在，0右端的積分在Re(s) _ g c的半平面內(nèi),F(s)為解析函數(shù).1.2拉普拉斯變換的性質(zhì)線(xiàn)性性質(zhì)若：1 是常數(shù)，Lfi(t)二 Fi(s), Lf2(t)二 F2(s),則有 L: f1(t)f2(t) = ： Lf1(t)+ lf2(t),L: Fds)飛L°F1(s)+F2(s).微分性質(zhì)若 Lf(t)二 F(s),則有 Lf'(t) =sF(s) - f(0).高階推廣 若 Lf(t)二 F(s),則有 Lf 二 s2F(s)-sf(0)- f'(0).一般，L f n(t)二 snF(s) -sn

6、f (0) -sn，f '(0) - - sf2)(0) - f z)(0).積分性質(zhì)若 L f (t) = F(S),則 |_ f f (t)dt =丄 L F (s).s位移性質(zhì)若 Lf(t)二F(s)，則 Leatf (t)二 F(s-a)(Re(s-a) c).延遲性質(zhì)若Lf(t)二F(s),又t <0時(shí)f(t)=0 ,則對(duì)于任一非負(fù)實(shí)數(shù)，有 Lf (t- ) =eF(s),或 L，e°F(s)二 f(t-)相似性性質(zhì) 若 L f (t)F(s),則 Lf (at)H 1 F(s).a a卷積性質(zhì)若 Lf1(t)二 R(s) , Lf2(t)二 F2(s)，則

7、Lf1(t)f2(t)二 R(s)F2(s)，其中 以小:三(f1f2(ti)dE稱(chēng)為f1 (t)與f2(t)的卷積3.由于從定義以及性質(zhì)求拉普拉斯變換或拉普拉斯逆變換困難且復(fù)雜，在控制工程中，常常通過(guò)查閱已編好的“拉氏變換對(duì)照表”來(lái)實(shí)現(xiàn)。拉氏變換對(duì)照表列3忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))出了工程上常用的時(shí)間函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的拉氏變換， 可以根據(jù)該表查找原函數(shù)的象 函數(shù)，或者從象函數(shù)查找原函數(shù)。對(duì)于表中不能找到的形式， 可以把它展開(kāi)成部 分分式，再求拉普拉斯變換或拉普拉斯逆變換。 以下是本文將用到的幾種常用的 拉普拉斯變換函數(shù)對(duì)：原函數(shù)象函數(shù)原函數(shù)象函數(shù)11stn（n為整數(shù)）n!n-H s丿

8、11 . sin at tarcta nses 九sin cotocosts2丄2s2丄2ssheet©chcots2 . 2 s 一2 . 2 s 一t si n cot2stcoscot2 2 s 一尬/2丄22(s)2 2 2 (s +« )6(t)1erfc(1 M -es表一：拉普拉斯變換函數(shù)表2用拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟像其他方法求解微分方程一樣，應(yīng)用拉普拉斯變換求解微分方程也有規(guī)范的 步驟，其一般步驟4如下：1、根據(jù)自變量的變化范圍和方程及其定解條件的具體情況來(lái)決定對(duì)哪一個(gè)自變量進(jìn)行拉普拉斯變換，然后對(duì)線(xiàn)性微分方程中每一項(xiàng)取拉普拉斯變換，使微分方程變

9、為s的代數(shù)方程；2、解象函數(shù)的代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉普拉斯變換表達(dá)式，即象函數(shù)；3、對(duì)象函數(shù)取拉普拉斯逆變換，得到微分方程的時(shí)域解。流程圖法5如下：原函數(shù)取拉普拉斯逆變換微分方程的解取拉普拉斯變換解代數(shù)方程ah Hu微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程圖一：拉普拉斯變換求解微分方程的流程圖拉普拉斯變換在物理和工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，通過(guò)拉普拉斯變換，可以方便地對(duì)線(xiàn)性控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、研究，可以對(duì)一些級(jí)數(shù)進(jìn)行求和， 還可以求解微分方程。接下來(lái)重點(diǎn)討論拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用。3拉普拉斯變換在求解常微分方程中的應(yīng)用3.1初值問(wèn)題與邊值問(wèn)題例：求解初值問(wèn)題 y 4y 3y =e,y(O) = y

10、(0) =12.解：設(shè)Y(s) = Ly(t),對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有結(jié)合初始條件，有s2Y(s)s-1 4sY(s) -1 3Y(s)二整理展開(kāi)成部分分式，有丫(S)二2s 6s 6(S 1)2(s 3)1 2一+1 +Ss2Y(s) -sy(0) -y'(0)4sY(s) - y(0)3Y(s)二由拉普拉斯變換函數(shù)表 L-二e't,可知L = e3. s-九s+1s+3由拉普拉斯變換函數(shù)表£"“，并結(jié)合位移性質(zhì)Le_ f(t) = F(s )， s(s IF"對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得方程的解為y(t) lY(s)te廿 J(7

11、2t)e3eJ4244例：求解邊值問(wèn) y'' - y = 0, y(0) = 0, y'(2 二)=1 2 解：設(shè)Y(s) = Ly(t),對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有s2Y(s)-sy(0)-y'(0) -Y(s) = 0,結(jié)合初始條件，有s2Y(s) - y'(0) -Y(s) =0,整理展開(kāi)成部分分式，有丫叮2(0冷(0)2匕1s 1),15丄1_t,*兀所以，方程的解為y(t)= sinhtsin h2 二3.2常系數(shù)與變系數(shù)常微分方程由拉普拉斯變換函數(shù)表 = e ",可知L丄丄s 九s1對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得方程的解為11

12、'tt'y(t) = L，Y(s)二 2 y (0)(eeJy (0)sinht.sin h2兀為了確定y (0)，將條件y(2二)=1代入上式可得y (0)二例：求解常系數(shù)微分方程y" -2y' y = 0,y(0) = 0,y(1) =2 解：設(shè)Y(s) = Ly(t),對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有2 's 丫(s) - sy(0) - y (0) -2sY(s)y(0) Y(s) = 0, 結(jié)合初始條件，有s2Y(s)-y'(0)-2sY(s) Y(s) =0, 整理展開(kāi)成部分分式，有丫(sJ鑿凡黑,由拉普拉斯變換函數(shù)表L-二 tn,

13、并結(jié)合位移性質(zhì) Lef(t)二 F(s ), s1 1可知 L -二 te(s1)對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演,整理可得方程的解為y(t)二LY(s)二y' (0)tet,2為了確定y'(0)，將條件y(1) = 2代入上式可得y'(0) = 2,e2所以，方程的解為 y(t) = L，Y(s) = tet =2tet*. e例：求解變系數(shù)微分方程ty'' 2y' ty = 0, y(0) =1,y'(0) =5,(5為常數(shù)).解：設(shè)Y(s)二Ly(t),對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，Lty" 2Ly' Lty二0,nI即 Lt

14、y Ly 4Lty二 0,亦即-d s2Y(s) -sy(0) - y'(0) 2sY(s) - y(0) - d Y(s)二 0,dsds兩邊積分可得-2sY(s) -s2 d Y(s) y(0) 2sY(s) - y(0) - d Y(s)二 0,dsds結(jié)合初始條件，有-2sY(s) - s2 d Y(s) 1 2sY(s) -1- d Y(s)二 0, dsdsd1整理可得d Y(s) 2,dss 1兩邊積分可得 Y(s) - -arctans c,TTTT1欲求待定系數(shù) c,可利用 lim Y(s) = 0 ,所以從 c =二，丫(s)=二- arctans = arctan

15、-， 22sa彳a由拉普拉斯變換函數(shù)表 LJ arcta n =-si n at,可知 LJ arcta ns =-s in t.stt對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，可得方程的解為y(t)二LY(s) = ；sint.3.3含§函數(shù)的常微分方程例：質(zhì)量為m的物體掛在彈簧系數(shù)為k的彈簧一端，當(dāng)物體在t=0時(shí)在x方向受到?jīng)_擊力f (tA (t) (t),其中A為常數(shù)。若物體自靜止平衡位置x=0處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求該物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律x(t)2.解：根據(jù)牛頓定律，有 mx" = f(t)-kx,其中_kx由胡克定律所得，是使物體回到平衡位置的彈簧的恢復(fù)力。所以，物體運(yùn)動(dòng)的微分方程為mx，収=f (

16、t)(t - 0),且x(0) = x'(0) = 0.這是二階常系數(shù)非齊次微分方程，對(duì)方程兩邊取拉普拉斯變換，設(shè)Lx(t)H X(s),L f (t)H LA (t)H A,并考慮到初始條件，則得2ms X(s) kX(s)二 A,如果記-0 k,有 X(S)= A 2 1 2 .mm s +«o由拉普拉斯變換函數(shù)表La 2 ' 2 =si nt,可知L 一 si nt. s +國(guó)s +w0 co 0A對(duì)方程兩邊同時(shí)取反演，從而方程的解為x(t)二A si nt.m0可見(jiàn)，在沖擊力作用下，運(yùn)動(dòng)為一正弦振動(dòng)，振幅是 A ,角頻率是-.0,稱(chēng)0m)0為該系統(tǒng)的自然頻率(

17、或稱(chēng)固有頻率)。3.4常微分方程組例：求解三維常微分方程組f ''x x + y +z =0,Tx+y，_y+z=0, x(0) = 1, y(0) = z(0) = x'(0) = y' (0) = z (0) = 0 nx + y +z z =0,解：設(shè)X(s)二Lx(t), Y(s) = Ly(t), Z(s) = L z(t),對(duì)方程組的兩個(gè)方程兩邊分別取拉普拉斯變換并結(jié)合初始條件，有廠(chǎng) 2(s2 -1)X(s) +Y(s)-Z(s)=0, *X(s) +(s2 -1)Y(s) +Z(s) =0X(s)十丫(s) +(s2 -1)Z(s) =0.+丄亠3

18、 s21,2s-23ss21解該方程組，整理展開(kāi)成部分分式，有X(s) - (s2 +1)(s2 2) -3 s2 _2s1丫(s)汩飛 2.1)(s2_2)3 取其逆變換，可得原方程組的解2*-1x(t) = - cosh(J2t) + cost,i 33y(t) =z(t) = coshWt)+lcost.l.33 3.5拉普拉斯變換在求解非齊次微分方程特解中的應(yīng)用形如y(n) ' a1y(n4)' an4y ' an f(x)的方程稱(chēng)為n階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程，這里a1,a2, "；a4,an為常數(shù)，f (x)為連續(xù)函數(shù)。我們平時(shí)用到的f(x)主要有

19、三種形式：f (x) =,f(x)=*p(x)(其中 p(x) = P1X+ P2X2 + + PnXn), f(x)二 sin x、f (x)二 cos，x .該非齊次微分方程的解即該非齊次微分方程的特解與對(duì)應(yīng)的齊次微分方程 的通解。對(duì)于該方程的通解可用多種方法求特解，女口：比較系數(shù)法、常數(shù)變易法、 算子法等。下面將用拉普拉斯變換法求解該方程的特解。設(shè)Y(s) = Ly(t), F(s)二L f (x),為求特解令初始條件為零，對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，得到丫(滬詔9步鳥(niǎo)，下面結(jié)合f(x)的三種形式分別作介紹。(1) f(x)=e'x此時(shí)，Y(s)=1nn 1，(s-'；

20、J(s aiSans an)ABsn+csn-2 +d對(duì)其進(jìn)行部分分式分解，令 WfJ sG，As- 則該齊次微分方程特解的形式與自由項(xiàng)f(x)有關(guān)，也就是說(shuō)與變換項(xiàng)A有關(guān);Bsn_L +CsnJ2 + + D對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解由決定，只要該項(xiàng)分母中不 含有特解因子S-，則特解只取決于 AOs_k若 sn a1sn4'亠 ans an s-A則 A=(s- )Y (x)1"(sn -a1sn1-an4s an)即相應(yīng)的拉普拉斯變換特解為丫匕)=丄Is/s x (Sn 十恥+anxs + an)對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得原微分方程的特解為y”二LY (s).例：求解常

21、系數(shù)線(xiàn)性齊次方程y" - y e2x的特解。解：設(shè)Y(s) = Ly(t),令初始條件為零,1對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有(沁)茸2 整理展開(kāi)成部分分式，有丫飛乩一八打汀此時(shí)(s2 -沐廠(chǎng)0,則1 1g dsn V-anQan)i i-Hs-2s2-s1 1小2 sQ對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得原微分方程的特解為y"t) = LY*(s) = L，V】弓/2 s -22二(s_ y|s(s若 sn - aiSn丁一ans - an5 巾嚴(yán)bn_m)=0,令A(yù)Bs® CsD')(s-')m1 (s" Es® _ -bn)，同

22、理，相應(yīng)的拉普拉斯變換特解為Y*( ) -1r1X)-(s)m1幕心朋5嘰)s例：求解常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程 y -5y 8y - 4y = e2x的特解。解：設(shè)Y(s)=Ly(t),令初始條件為零,對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有(s'-5s2+8s-4)Y(s)s2則 丫一 (s_2)(s -5s28s-4) 一(s-2)(s-2)2(s-1)此時(shí) s3 -5s2 8s-4s=2 =0,令Y(sv常則相應(yīng)的拉普拉斯變換特解為屮_11Y(X)m 1 I n -mnm4(S-) (s pSbn_m)1s=2 -3 ，(s-2)對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得原微分方程的特解為y (t) =L

23、Y (s)八十一1 3】= x2e2x.(s 2)2(2) f (x) =e'xp(x)(其中 p(x)= »x+ P2X2 + + PnXn).例：求微分方程y -5y，6y二xe2x的特解。解：設(shè)Y(s) = Ly(t),令初始條件為零，對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有2(s -5s 6)Y(s)1(s-2)2則 Y(s)=1(s -2)2(s2 -5s 6)1(s-2)2(s-2)(s-3)此時(shí) s2 -5s - 6 s：2 =0,令 Y(s)=As B(s-2)2Cs Ds2 -5s 6111-ss2_4 s=_4s2 -5s + 6- 2_ssJsy 一(2_s)(

24、1_s)2As B 二丫(s) (s _2)1 -ss2 - 3s 2s2 -4s 二_41 -s一 s-2相應(yīng)的拉普拉斯變換特解為Y (s)As B(s-2)211 -s _11(s-2)2 s 2 一(s-2)2(s-2)3對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得原微分方程的特解為1.1112x 1 2x2x1y(t)=LY(s) = L-苛 = (* -嚴(yán))=* (1+評(píng).(3) f(x) =sin 'x、f(x) =cos，x例：求解微分方程y"，4y'，5y=sin2x的特解解：設(shè)Y(s)二Ly(t),令初始條件為零，對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，有2(s 4s 5)

25、Y( s)=令Y(滬晉十!5%，222(4s +1)2s +4s+5s 一 4s + 1J _ (4s_1)(4s + 1)s?. . 4As B 二丫(s)(s24)二_ 2(4s _1)=16s2 -1s2 -4_2(4s_1)_65相應(yīng)的拉普拉斯變換特解為y)=As+B= 2(4s1)=_丄(8._L)s2 +4 _65(s2 +4)65s2 +4 s2 +4 '對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得原微分方程的特解為州州_is21y(tLY(s)L8s2.s2 4-65 (8COs2sX).3.6拉普拉斯變換在求解高階微分方程中的推廣對(duì)于n階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程 y(n) a&quo

26、t;®'心:any any二0滿(mǎn)足以 下兩個(gè)引理：引理1 n階常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程的解(積分曲線(xiàn))具有平移不變性。也就是說(shuō), 若y=y(x)為n階常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程的一個(gè)解，則對(duì)任意的常數(shù)c, y = y(xc)也是n階常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程的解。引理2若y = y(x,x°, y°)為n階常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程的一個(gè)解，y = y(x, x°, y°) 經(jīng)平移后變?yōu)閥 = y(x -人,0,y°),則y =y(x- x0,0,y°)也是n階常系數(shù)線(xiàn)性齊次方 程的解。下面給出利用拉普拉斯變換方法求解三階常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程 y(

27、3) py'' qy' ry =0滿(mǎn)足在任意點(diǎn)的初始條件' 1 '' 2y(«) =y°, y(x°), y (人)的解。設(shè)方程的解為y =y(x,x0,y°) = y(x-x0,0,y°),這樣，我們便將初值點(diǎn)平移到了 x-x° =0點(diǎn)，于是可用如下的拉普拉斯變換方法求解該初值問(wèn)題。令 y(t)二 y(x -x°,0, y°)(其中 t = x - 冷)，y(0) = y0,y'(0) = y°',y"(0) = y。,y (0)

28、 = y。.設(shè)Y(s) = L y(t),對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，得到Ly(3) py qy ry 0,由拉普拉斯變換的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)Lf'(t)二sF(s) - f (0)以及高階導(dǎo)數(shù)推廣 L fn(t) = snF(s) -sn'f (0) - 嚴(yán) f'(0) - sf z (0) - f(n4)(0)可得，忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）s3Y(s) - s2y(0) - sy (0) - y (0) ps2Y(s) - sy(0) - y (0) qsY(s) - y(0) rY(s)二 0.結(jié)合初始條件，有s3Y(s) -s2y°-sy。1-y

29、。2ps2Y(s) -sy- y。1qsY(s) -y°rY(s) =0.整理可得 Y(s) = 2(s2 +ps + q)y° Ps + plyo1 +y°2.s + ps +qs + r對(duì)上式兩邊同時(shí)取拉普拉斯逆變換，可得11I212LY(s)=L【32(s ps q)y° (s p)y°y°.s + ps +qs+r進(jìn)行變量還原，便得到所求初值問(wèn)題的解為 y = y(x,x。，y。)三 y(x X0,0,y。) = y(t)二 y(x冷).例：求解二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程 y y =0，該方程滿(mǎn)足初始條件兀，兀8y(4)"

30、;y(4) 1解：首先轉(zhuǎn)化初值條件 y =y(x，1) = y(x ,0,1) - y(t)(其中t=x ).444設(shè)Y(s)二L y(t),對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換，得到Ly''yH 0,即s2Y(s)-s 1 Y(s) =0.整理成部分分式，有ss211s21.19丄aq由拉普拉斯變換函數(shù)表 L =C0St,可知L 丁 = cost,S2 +時(shí)2S2 +1丄£心丄 1由拉普拉斯變換函數(shù)表 L =si nt,可知L 二-=si nt,s 卡尬s +1對(duì)方程兩邊同時(shí)求反演，整理可得方程的解為y(t) = LY(s) =cost-si nt.變量還原，得到原初值問(wèn)題

31、的解為ji二 cos(x - 4)-sin(x -)=2 cosx.JIJIy 二 y(x 1) = y(x -0,1) = y(t)二 cost - sint444拉普拉斯變換在求解偏微分方程中的應(yīng)用4.1齊次與非齊次偏微分方程例：求解齊次偏微分方程'du2/c丄、=x y,(x >0,y £+=c), ccyy Z0*u=3y.2解：對(duì)該定解問(wèn)題關(guān)于y取拉普拉斯變換，并利用微分性質(zhì)及初始條件可得Lu(x, y)二U (x,s),L3_ =sU(x,s) -u(x,O) =sU -x2,L【孕：x ： y.Xy =0，sdU-2x,dxLx2y二2x2 ,s32s這樣

32、，原定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)Lu|嗨=Ux=9s的一階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程的邊值問(wèn)2x2，s題:dUs-2x = dx方程- dU2。伍虧可轉(zhuǎn)化為sdU -2x = x：dxs2解此微分方程，可得其通解為32c,其中c為常數(shù)。為了確定常數(shù)c,將邊界條件x-03代入上式，可得S由拉普拉斯變換函數(shù)表2.丄 X2L _ =1,可知 L =x2.ss忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))由拉普拉斯變換函數(shù)表=可知芻s3s方程兩邊取反演，從而原定解問(wèn)題的解為u(x,y)二 LJU (x,s)3y x2.6例：求解非齊次偏微分方程2 2；：2u 2 九a.:t2g, (g為常數(shù))，(x 0, t 0),

33、xS：ujt=0,t =0x=0=0.232解：對(duì)該問(wèn)題關(guān)于t取拉普拉斯變換，并利用微分性質(zhì)及初始條件可得Lu(x,t)二U (x,s),L峯=s2U(x,s) -su :t:utz0；:t二 S2U,t zOLg=9, s；：2ud2Lf 2LU(x，t)QU，x =0=0.這樣，原定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參數(shù) s的二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程的邊值問(wèn) 題:2dU2aU|= 0,lim_U =0.x £' sj：:方程dU 1dx2a2s2U1 g可轉(zhuǎn)化為-2dU 1 s?u -1 gdx2解此微分方程，可得其通解為U(x,s) =&es- xC2e a g3,其中g(shù), q

34、為常數(shù)。 s為了確定常數(shù)c1,c2,將邊界條件UXT =0,limU二0代入上式,所以，U (x,s)=爲(wèi)(1s-e a )xg g-as由拉普拉斯變換函數(shù)表由拉普拉斯變換函數(shù)表n!s1 n!LLg 2t2.2sn1-tn,并結(jié)合延遲定理LJ3t)F(s)f (t - to),(tf)2u(t 曲.2 aa方程兩邊取反演,從而原定解問(wèn)題的解為x =0 = 0, u(t),1_J g gu(x,t) =L U(x,s) =L 弓 3es s(或)X -; a、2 2T2W.4.2有界與無(wú)界冋題 例：求解有界偏微分方程22:u 2 u .:t2a 2 ,(0 ： x ： I ,t 0), ;xt

35、=0=0.2解：對(duì)該定解問(wèn)題關(guān)于t取拉普拉斯變換，記Lu(x,t) =U (x,s),= s2U su-:tt =0 二 S2U ,：2c uL . 2；xd2Udx2忻州師范學(xué)院物理系本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）LUx»ULux4 = '(S).31s的二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程的邊值問(wèn)題:這樣，原定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)x4 =(s).d2U s2 ,門(mén) dx2 a2U 仁=0,U該方程的通解為U(x,s) =Ge，sx.C2e a ,其中Ci,C2是常數(shù)。為確定常數(shù)c1,c2，將邊界條件x衛(wèi)=0,代入上式，可得C1 - o =0,即& - -C2；將邊界條件Ussl. .-

36、lx± = (s)代入上式，可得(s) -c)eac2e a因此 g - -c2 = siea(s)sl -e a從而s x ea u(x,s)= (S)s-lea -es-x-e a仝i-a-(lle aJc-l 七) -e a1 4l =s e a=(s)ss3sx . . l .I a +e a )絲a )s-x(ea -e a )(e(s)自_s.l(ea -e a )(e*(31 -x) (3I x)aa+s.1 -e a4l為了求U (x,s)的拉普拉斯逆變換，注意到分母為一 s1 - e a ,所以逆變換u(x, t)是周期為絲的關(guān)于i的周期函數(shù)。根據(jù)周期函數(shù)的拉普拉斯

37、變換式，其中s廠(chǎng)表 as1 -e a明：(t)是以4l為周期的周期函數(shù)，即aL=4- =07cp匕,ss 01 -e a 1 -e a由拉普拉斯變換函數(shù)表L冷1 -e(s)4iH-(t),sa并結(jié)合延遲定理Le丑F(s)二f (t -t。).可知L半廠(chǎng)e號(hào)Jt -G)u(t -匕).saa1 -e a同理可知(s)4ls1 -e al ；：xsl ：卜 Xl ：卜 Xe a V(t丨X)u(tx).aaL（s）4ls1 -e aL 饗1 -e a31 _x -s3l - x 31 - x、e a = (t )u(t ).aae晉(t_g)u(t-m,aa方程兩邊取反演，從而原定解問(wèn)題的解為i忻

38、丨一x丨一x忻丨+x丨+xu(x,tr L U(x,s)(t )u(t )- (t )u(t ) aaaa"3lx)u(t_3l-x)_(t_3l x”.31 x).aaaa其中u（a）為單位階躍函數(shù),即 u(a)Qa cO, J,a >0.例：求解無(wú)界偏微分方程-l2=a2 _hu, （h為常數(shù)），（xAO,tO）,c xdx=0 =u°（常數(shù)），u鳥(niǎo)=°. 2解：對(duì)該問(wèn)題關(guān)于t取拉普拉斯變換，記Lu(x,t)二U (x,s),L ： =sU(x,s) -u :t-2c uL 一 2】:Xd2Udx2：2：2 Lu(x,t) :x-Ux =0u0這樣，原定

39、界問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參數(shù) s的二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程的邊值問(wèn)題:du* dx2Ux衛(wèi)從而 U(x,t)二 LU(x,s)二 LU°e ss h -U =0,a二Uo,limU =0(為自然定解條件)s x 解此微分方程可得通解為s hx s h xU(x,s)二 qeac2e a ,其中 q, c2 為常數(shù)。為確定常數(shù)g, q，將邊界條件U| =巴代入上式，可得Ci+C2=;一 ss因此，J:U。C2s所以，U吊XU(x,s) 0 e a . s將邊界條件lim U =0代入上式，可得G =0._±±xa ，由拉普拉斯變換函數(shù)表l¥=1，s可知LU0 =u

40、°。s由拉普拉斯變換函數(shù)表®(2亍可知L41esXsx2a =erfC() ： x2aJt5如果令f(t)2e小，顯然f(0) = 0,由導(dǎo)數(shù)性質(zhì),1 二、s'亦即 L4e a = f (t)二2t)ddt2at tx2e審由位移性質(zhì) Le"f (t) =F(s + k),可知 L°e一丁x二2atJ 珥x2X e事X4- ht)x e 4a2t2at -：t由卷積定理 Llftf2(t) =F|(s)F2(s),jShx可得 U(x,t)二 LJ 0 LJe a ,sx令、=2a /,最后可得該定解問(wèn)題的解為( x2 1uo1x丄荷iht)u(

41、x,t) = L L e a = Uo e 4a ts2 at J兀 tUo( )X0U0 XeF0 2a(t - )二(t _ )x h(t f.)d0.Vn2hx2-hC Vx e a、d .2a.J t5綜合比較，歸納總結(jié)從以上的例題可以看出，用拉普拉斯變換方法求解微分方程有如下的優(yōu)缺點(diǎn)113:拉普拉斯變換對(duì)像函數(shù)要求比傅里葉變換弱，其使用面更寬。但拉普拉斯 變換像其他變換一樣都有其局限性，只有滿(mǎn)足其存在定理時(shí)才可以使用拉普拉斯 變換。而在微分方程的一般解法中，并沒(méi)有任何限制；用拉普拉斯變換方法求解微分方程， 由于同時(shí)考慮初始條件，求出的結(jié)果 便是需要的特解。而微分方程的一般解法中，先求

42、通解，再考慮初始條件確定任 意常數(shù)，從而求出特解的過(guò)程比較復(fù)雜；零初始條件、零邊界條件使得拉普拉斯變換方法求解微分方程更加簡(jiǎn)單。 而在微分方程的一般解法中，不會(huì)因此而有任何簡(jiǎn)化；用拉普拉斯變換求解微分方程，對(duì)于自變量是零的初始條件，求其特解是 非常方便的。但微分方程的一般解法并沒(méi)有簡(jiǎn)化；用拉普拉斯變換方法求解微分方程， 對(duì)方程的系數(shù)可變與否、對(duì)區(qū)域有界 與否、對(duì)方程和邊界條件齊次與否并無(wú)特殊關(guān)系。而在微分方程的一般解法中， 會(huì)遇到很多困難；用拉普拉斯變換方法求解微分方程組， 可以在不知道其余未知函數(shù)的情況 下單獨(dú)求出某一個(gè)未知函數(shù)。但在微分方程的一般解法中通常是不可能的；拉普拉斯變換可以使解n

43、個(gè)自變量偏微分方程的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為解n-1個(gè)自 變量的微分方程的問(wèn)題，逐次使用拉普拉斯變換，自變量會(huì)逐個(gè)減少，有時(shí)還可 將解n個(gè)自變量偏微分方程的問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為解一個(gè)常微分方程的問(wèn)題，比微分 方程的一般解法更為簡(jiǎn)單、直接；比較系數(shù)法和常數(shù)變易法只需進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算和積分運(yùn)算，要求相對(duì)較低。相比之下，算子法要先將方程化為算子形式然后利用算子的性質(zhì)進(jìn)行分解，對(duì)初學(xué)者而言要求相對(duì)較高，然而算子法卻具備比較系數(shù)法和常數(shù)變易法無(wú)法具備的 應(yīng)用條件，有適應(yīng)面廣、計(jì)算量小、準(zhǔn)確度高、簡(jiǎn)單易行的特點(diǎn)。結(jié)束語(yǔ)通過(guò)列舉拉普拉斯變換在求解微分方程中的應(yīng)用，可以看出拉普拉斯變換是 一種特別成功的數(shù)學(xué)方法，求解微分方程的步驟比較明確、規(guī)律性比較強(qiáng)、思路清晰且容易掌握。靈活使用拉普拉斯變換，可以巧妙地推出一些復(fù)雜問(wèn)題的答案， 便于學(xué)生理解進(jìn)而提高教學(xué)質(zhì)量。參考文獻(xiàn)1 李高翔.拉普 拉斯變 換在微分 方程組求解中的應(yīng)用J.高等函授 學(xué)報(bào),2009，22(3):22-24.2 張?jiān)?工程數(shù)學(xué)積分變換(第四版) M.北京：高等教育出版社，2003 : 68-