高三數(shù)學一輪復習（原卷版）2021屆小題必練20 新定義類創(chuàng)新題（理）-教師版

1、小題必練20：新定義類創(chuàng)新題1能發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，綜合與靈活地應用所學的數(shù)學知識、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進行獨立的思考，探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表現(xiàn)對數(shù)學問題的“觀察猜測抽象概括證明”，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，對數(shù)學知識的遷移組合融會的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識也就越強2高考對創(chuàng)新能力的考查，主要是要求考生不僅能理解一些概念，定義，掌握一些定理、公式，更重要的是能夠應用這些知識和方法解決數(shù)學中和現(xiàn)實生活中的比較新穎、有一定深度和廣度的問題要增加研究型、探索型、開放型的試題，考查考生發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維1【2020年

2、全國二卷理科】周期序列在通信技術中有著重要應用，若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期，對于周期為的序列，是描述其性質的重要指標，下列周期為5的序列中，滿足的序列是（ ）ABCD【答案】C【解析】對于A選項：，不滿足，排除；對于B選項，不滿足，排除；對于C選項，滿足；對于D選項，不滿足，排除，故選C【點晴】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學生對新定義的理解能力以及數(shù)學運算能力，是一道中檔題2【2020·山東卷】信息熵是信息論中的一個重要概念，設隨機變量所有可能的取值為，且，定義的信息熵（ ）A若，則B若，則隨著的增大而

3、增大C若，則隨著的增大而增大D若，隨機變量所有可能的取值為，且，則【答案】AC【解析】A中：當時，則，故A正確；B中：若，由題知，B錯誤；C中：，隨著的增大而增大，C正確；D中：令，則，此時，此時，D錯誤，正確選項為AC【點睛】本小題主要考查對新定義“信息熵”的理解和運用，考查分析、思考和解決問題的能力，涉及對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質的運用，屬于難題一、選擇題1定義集合的一種運算：，其中，若，則（ ）ABCD【答案】B【解析】當時，可以取或，則或；當時，可以取或，則或；當時，可以取或，則或，2若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析

4、式為，值域為的“同族函數(shù)”共有（ ）A個B個C個D個【答案】C【解析】由題意知，問題的關鍵在于確定函數(shù)定義域的個數(shù)函數(shù)解析式為，值域為，當時，；當時，則定義域可以為，因此“同族函數(shù)”共有個3規(guī)定記號“”表示一種運算，定義(為正實數(shù))，若，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】因為定義(為正實數(shù))，所以，化為，所以，所以4設數(shù)列的前項和為，若為常數(shù)，則稱數(shù)列為“吉祥數(shù)列”已知等差數(shù)列的首項為，公差不為，若數(shù)列為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列的通項公式為（ ）ABCD【答案】B【解析】設等差數(shù)列的公差為，因為，則，即，整理得因為對任意的正整數(shù)上式均成立，所以，解得，所以數(shù)列的通項公式為5定義一種運算

5、：已知函數(shù)，為了得到函數(shù)的圖象，只需要把函數(shù)的圖象上所有的點（ ）A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向上平移個單位長度D向下平移個單位長度【答案】A【解析】由題設知，所以為了得到函數(shù)的圖象，只需要把函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位長度，故選A6定義為兩個向量間的“距離”若向量滿足：；對任意，恒有，則（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意知，即，又，所以展開整理得因為上式對任意恒成立，所以，即，所以于是，所以，故選C7定義為個正數(shù)，的“快樂數(shù)”若已知數(shù)列的前項的“快樂數(shù)”為，則數(shù)列的前項和為（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意得數(shù)列的前項和，易知，于是，故數(shù)列的前項和為，故選B8設函

6、數(shù)的定義域為，如果對任意的，存在，使得成立，則稱函數(shù)為“函數(shù)”下列為“函數(shù)”的是（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意知，“函數(shù)”的值域關于原點對稱選項A中，因為，所以函數(shù)的值域為，該函數(shù)的值域不關于原點對稱，故選項A中的函數(shù)不是“函數(shù)”；選項B中，函數(shù)在上單調遞增，函數(shù)的值域為，關于原點對稱，故選項B中的函數(shù)是“函數(shù)”；選項C中，函數(shù)的值域為，不關于原點對稱，故選項C中的函數(shù)不是“函數(shù)”；選項D中，因為，所以該函數(shù)的值域為，不關于原點對稱，故選項D中的函數(shù)不是“函數(shù)”，綜上，選B9定義一種運算：，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為（ ）ABCD【答案】C

7、【解析】由新運算可知，所以將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，即的圖象，顯然該函數(shù)為偶函數(shù)，經(jīng)檢驗知選項A，B，D錯誤，選C10定義：分子為且分母為正整數(shù)的分數(shù)叫作單位分數(shù)，我們可以把拆分成多個不同的單位分數(shù)之和例如：，依此拆分方法可得，其中，則（ ）ABCD【答案】C【解析】由題易知，依此類推，得，易知，解得，所以故選C11若定義在上的奇函數(shù)滿足對任意的，且，都有，則稱該函數(shù)為滿足約束條件的一個“函數(shù)”下列為“函數(shù)”的是（ ）ABCD【答案】D【解析】選項A中，函數(shù)不是奇函數(shù)，故選項A中的函數(shù)不是“函數(shù)”；選項C中，函數(shù)的定義域不是，故選項C中的函數(shù)不是“函數(shù)”；已知定義在上的

8、奇函數(shù)滿足對任意的，且，都有，等價于奇函數(shù)在上單調遞增選項B中，函數(shù)在R上單調遞減，故選項B中的函數(shù)不是“函數(shù)”；選項D中，函數(shù)，在上單調遞增且為奇函數(shù)，故選項D中的函數(shù)是“函數(shù)”故選D12設集合，中至少有個元素，且，滿足：對于任意的，若，則；對于任意的，若，則下列命題正確的是（ ）A若有4個元素，則有7個元素B若有4個元素，則有6個元素C若有3個元素，則有5個元素D若有3個元素，則有4個元素【答案】A【解析】取，此時有4個元素，排除D；取，此時有5個元素，排除C；取，此時有7個元素，排除B，故選A二、填空題13集合，如果中的元素滿足，就稱為“復活集”，給出下列結論：集合是“復活集”；若，且是

9、“復活集”，則；若，則不可能是“復活集”其中正確的結論是_(填序號)【答案】【解析】，故正確；不妨設，則由根與系數(shù)的關系知是一元二次方程的兩個根，由，可得或，故錯；不妨設，由，得，當時，有，又，于是由，得，無正整數(shù)解，即當時，不可能是“復活集”，故正確14在一個數(shù)列中，如果，都有(為常數(shù))，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，叫做這個數(shù)列的公積已知數(shù)列是等積數(shù)列，且，公積為，則_【答案】【解析】依題意得數(shù)列是周期為的數(shù)列，且，因此15在平面斜坐標系中，若，其中分別為軸、軸正方向的單位向量，則有序實數(shù)對叫作向量在平面斜坐標系中的坐標，即點的斜坐標為在平面斜坐標系中，若點在以為圓心，為半徑的圓上，則的取值范圍是_【答案】【解析】由題設得，所以，又向量的模均為，且夾角為，所以兩邊平方化簡得方法一：變形得，當且僅當時取等號，所以，解得，故所求的取值范圍是方法二變形得，所以可設，(參數(shù))，即，(參數(shù))，所以，故所求的取值范圍是16高斯是德國著名的數(shù)學家，享有“數(shù)學王子”之稱，以他的名字“高斯”命名的成果達多個，其中