固體物理習(xí)題解答

1、會計學(xué)1固體物理習(xí)題解答固體物理習(xí)題解答第1頁/共104頁1.2 為何金剛石結(jié)構(gòu)是復(fù)式格子？為何金剛石結(jié)構(gòu)是復(fù)式格子？答：金剛石晶胞答：金剛石晶胞位于立方體體內(nèi)原子和立方體角或面心位于立方體體內(nèi)原子和立方體角或面心原子價鍵的取向各不相同，所以是復(fù)式原子價鍵的取向各不相同，所以是復(fù)式格子格子這種復(fù)式格子實際上是兩個面心立這種復(fù)式格子實際上是兩個面心立方格子套構(gòu)而成的。方格子套構(gòu)而成的。第2頁/共104頁1.3 對于六角密堆積結(jié)構(gòu)，試證明：對于六角密堆積結(jié)構(gòu)，試證明： 。1/28( )1.6333ca底面原子及與體心原子之間均緊密接觸底面原子及與體心原子之間均緊密接觸222323caa1/281.

2、6333ca則紅線的長度為則紅線的長度為33ya2222cyac/2aac/2aa如果如果 ，則可認(rèn)為是由原子密排面所組成，但這些平，則可認(rèn)為是由原子密排面所組成，但這些平面之間是疏松堆積的。面之間是疏松堆積的。1.633ca第3頁/共104頁1.4 金屬金屬Na在在273K因馬氏體相變從體心立方轉(zhuǎn)變?yōu)榱敲芏岩蝰R氏體相變從體心立方轉(zhuǎn)變?yōu)榱敲芏逊e結(jié)構(gòu)，假定相變時金屬的密度維持不變，已知立方相的晶積結(jié)構(gòu)，假定相變時金屬的密度維持不變，已知立方相的晶格常數(shù)格常數(shù)ac =0.423nm，設(shè)六角密堆積結(jié)構(gòu)相的，設(shè)六角密堆積結(jié)構(gòu)相的c/a維持理想值維持理想值，試求其晶格常數(shù)。，試求其晶格常數(shù)。 解：體

3、心立方每個晶胞包含解：體心立方每個晶胞包含2個原子，一個原子所占的體積為個原子，一個原子所占的體積為單位體積內(nèi)原子數(shù)（即密度）為單位體積內(nèi)原子數(shù)（即密度）為23ccaV 六角密堆積每個晶胞包含六角密堆積每個晶胞包含6個原子，一個原子所占的體積為個原子，一個原子所占的體積為1Vc即：即：32122223843436/323aaacacaaVs因為密度不變，所以因為密度不變，所以scVV1133222/aac16/20.377caanmnmacs615. 0633. 1第4頁/共104頁1.5 如將等體積的剛球分別排成簡立方、體心立方、面心立如將等體積的剛球分別排成簡立方、體心立方、面心立方、六角

4、密積以及金剛石結(jié)構(gòu)，設(shè)方、六角密積以及金剛石結(jié)構(gòu)，設(shè)x表示剛球體積與總體積表示剛球體積與總體積之比，試針對不同的結(jié)構(gòu)求之比，試針對不同的結(jié)構(gòu)求x 。解：理想晶體是由剛性原子球堆積而成，一個晶胞中剛性原解：理想晶體是由剛性原子球堆積而成，一個晶胞中剛性原子球占據(jù)的體積與晶胞體積的比值稱為晶體的致密度，即題子球占據(jù)的體積與晶胞體積的比值稱為晶體的致密度，即題中的中的x設(shè)設(shè)n為一個晶胞中的剛性原子球數(shù)，為一個晶胞中的剛性原子球數(shù)，r表示剛性原子球半徑，表示剛性原子球半徑，V表示晶胞體積，則致密度為表示晶胞體積，則致密度為343nrxV第5頁/共104頁(1) 簡單立方簡單立方任意一個原子球有任意一個

5、原子球有6個最近鄰，若原子個最近鄰，若原子以剛性球堆積，則有以剛性球堆積，則有a334( )326axa32 ,ar Va晶胞內(nèi)包含一個原子，所以有：晶胞內(nèi)包含一個原子，所以有：任意一個原子球有任意一個原子球有8個最近鄰，若原子個最近鄰，若原子以剛性球堆積，則體心原子與處在以剛性球堆積，則體心原子與處在8個個頂角位置處的原子球相切，因此，對頂角位置處的原子球相切，因此，對角線長度為角線長度為(2) 體心立方體心立方a34ar晶胞體積為晶胞體積為3Va34ra33432()3348axa晶胞內(nèi)包含晶胞內(nèi)包含2個原子，所以有：個原子，所以有：第6頁/共104頁(3) 面心立方面心立方(4) 六角密

6、積六角密積a任意一個原子球有任意一個原子球有12個最近鄰，若原子個最近鄰，若原子以剛性球堆積，則面心原子與面角處以剛性球堆積，則面心原子與面角處4個原子球相切，因此，面對角線長度為個原子球相切，因此，面對角線長度為24ar晶胞體積為晶胞體積為3Va33424()2346axa晶胞內(nèi)包含晶胞內(nèi)包含4個原子，所以有：個原子，所以有：任意一個原子球有任意一個原子球有12個最近鄰，若原子個最近鄰，若原子以剛性球堆積，則面心原子與面上其它以剛性球堆積，則面心原子與面上其它6個原子球相切，因此有個原子球相切，因此有2ar晶胞體積晶胞體積2213 3(6sin60 )22oVcaca 由第由第1題知題知82

7、433car晶胞內(nèi)包含晶胞內(nèi)包含6個原子，所以有：個原子，所以有：3246( )23263 32axca第7頁/共104頁(5) 金剛石結(jié)構(gòu)金剛石結(jié)構(gòu)任意一個原子球有任意一個原子球有4個最近鄰，若原子個最近鄰，若原子以剛性球堆積，則空間對角線四分之一以剛性球堆積，則空間對角線四分之一處的原子與三個面上的面心原子球及頂處的原子與三個面上的面心原子球及頂角處原子球相切，因此有角處原子球相切，因此有38ar晶胞體積為晶胞體積為3Va33438()33816axa晶胞內(nèi)包含晶胞內(nèi)包含8個原子，所以有：個原子，所以有：簡立方、體心立方、面心立方、六角密積以及金剛石結(jié)構(gòu)簡立方、體心立方、面心立方、六角密積

8、以及金剛石結(jié)構(gòu)的致密度依次為的致密度依次為6382626316第8頁/共104頁1.61aai 2aaj 3()2aaijk 基矢為基矢為的晶體為何種結(jié)構(gòu)？的晶體為何種結(jié)構(gòu)？方法方法1：先計算出原胞體積：先計算出原胞體積31231()2Vaaaa由原胞體積可推斷為體心結(jié)構(gòu)由原胞體積可推斷為體心結(jié)構(gòu)方法方法2：由已知的三個基矢構(gòu)造三個新的基矢：由已知的三個基矢構(gòu)造三個新的基矢1312323123()2()2()2aaaaijkaaaaijkaaaaaijk 由此可推斷為體心結(jié)構(gòu)由此可推斷為體心結(jié)構(gòu)第9頁/共104頁1.7、1.8、1.9、1.10、1.12和和1.13見課見課件件1.11 已知三

9、斜晶系的晶體中，三個基矢為已知三斜晶系的晶體中，三個基矢為 ， 和和 , 現(xiàn)測現(xiàn)測知該晶體的某一晶面法線與基矢的夾角依次為知該晶體的某一晶面法線與基矢的夾角依次為、和和，試，試求該晶面的面指數(shù)求該晶面的面指數(shù)1a 2a 3a 332211coscoscoshadhadhaddahdahdahcoscoscos332211晶面指數(shù)為晶面指數(shù)為 dadadacoscoscos321)cos,cos,cos(321sss其中其中 是保證是保證 為互質(zhì)數(shù)的因子為互質(zhì)數(shù)的因子,稱為互質(zhì)稱為互質(zhì)因子因子 321,sss321,hhh解：解：最靠近原點的晶面在三最靠近原點的晶面在三個基矢上的截距分別為個基矢

10、上的截距分別為312123aaahhh、第10頁/共104頁1.14 如圖所示，如圖所示，B、C兩點是面心立方晶胞上的兩面心，求兩點是面心立方晶胞上的兩面心，求： （1）ABC面的密勒指數(shù)；面的密勒指數(shù)； （2）AC晶列的指數(shù)。晶列的指數(shù)。BCAabc矢量矢量 與矢量與矢量 的叉乘即是的叉乘即是ABC面的法線矢量面的法線矢量BA BC BAOAOB 11()()(2)22abbcabcBCOCOB 211(2)()(3)224aBA BCabcacijk ABC面的密勒指數(shù)為面的密勒指數(shù)為(131)（1）1(2)2aijk111()()()222cabbca ik第11頁/共104頁（2）AC

11、晶列的指數(shù)晶列的指數(shù)BCAabcACOCOA 11()()(2 )22cababa ijk 所以所以AC晶列的晶列指數(shù)為晶列的晶列指數(shù)為112第12頁/共104頁第二章第二章 習(xí)題習(xí)題2.1 證明簡單六角布喇菲格子的倒格子仍為簡單六角布喇證明簡單六角布喇菲格子的倒格子仍為簡單六角布喇菲格子，并給出其倒格子的晶格常數(shù)。菲格子，并給出其倒格子的晶格常數(shù)。解：在直角坐標(biāo)系中，簡單解：在直角坐標(biāo)系中，簡單六角布喇菲格子的基矢為：六角布喇菲格子的基矢為：zcayaxaaxaa232321相應(yīng)的倒格子基矢為相應(yīng)的倒格子基矢為：zccazaaaaaabyacayacaaaaabyxacayacxacaaaa

12、ab22323223322232221233322232123222232121323211322321321容易看出此倒格子為容易看出此倒格子為簡單六角布喇菲格子簡單六角布喇菲格子晶格常數(shù)為：晶格常數(shù)為： 1234 34 3233bbbaac第13頁/共104頁2.2 對正交簡單晶格，假設(shè)沿三個基矢方向的周期分別為對正交簡單晶格，假設(shè)沿三個基矢方向的周期分別為a、b和和c的，當(dāng)入射的，當(dāng)入射X射線方向沿射線方向沿100方向（其重復(fù)周期為方向（其重復(fù)周期為a）時，試確定在哪些方向上會出現(xiàn)衍射極大？什么樣的時，試確定在哪些方向上會出現(xiàn)衍射極大？什么樣的X射線射線波長才能觀察到極大？波長才能觀察到

13、極大？ zcbybbxabzcaybaxaa222321321解：解：zchybhxahbhbhbhGh232133221100kk x任意倒格矢任意倒格矢因入射因入射X射線方向沿射線方向沿100方向故有方向故有晶體衍射的布里淵表述晶體衍射的布里淵表述212hhkGG312222hxyzhhhkGkkkabc假定衍射極大出現(xiàn)在假定衍射極大出現(xiàn)在 方向方向(,)xyzkk kk2222231222212()2hhhhGabc第14頁/共104頁0hkkG31202 ()hhhk xxyzabc3120222()hhhkxyzabc212hhkGG22223312122222222()xyzhhh

14、hhhkkkabcabc3120222xyzhhhkkkkabc22222231122222222xhhhhkaabc2223122221xhhhakhabc第15頁/共104頁2223122221xhhhakhabc3222yzhhkkbc所以衍射極大出現(xiàn)在方向所以衍射極大出現(xiàn)在方向22233122222122(,)xyzhhhhhakk kkxyzhabcbc102xhkka102xhkka2223122221()hhhahabc 為觀察到衍射極大要求入射波波長滿足為觀察到衍射極大要求入射波波長滿足1222312022222()hhhhkaabc第16頁/共104頁2.3 證明：體心立方晶

15、格的倒格子是面心立方證明：體心立方晶格的倒格子是面心立方 面心立方晶格的倒格子是體心立方面心立方晶格的倒格子是體心立方 由倒格子定義由倒格子定義2311232aabaaa3121232aaba aa1231232aabaaa體心立方格體心立方格子原胞基矢子原胞基矢)(2),(2),(2321kjiaakjiaakjiaa倒格子基矢倒格子基矢23112322()()22aaaabijkijka aa22() ()4aijkijk)(2kja同理同理)(22321132kiaaaaaab32()bija可見由可見由 為基矢構(gòu)成的格子為面心立方格子為基矢構(gòu)成的格子為面心立方格子 321,bbb第17

16、頁/共104頁面心立方格面心立方格子原胞基矢子原胞基矢123()/2()/2()/2aa jkaa kiaa ij倒格子基矢倒格子基矢2311232aabaaa)(21kjiab同理同理)(22kjiab)(23kjiab可見由可見由 為基矢構(gòu)成的格子為體心立方格子為基矢構(gòu)成的格子為體心立方格子 321,bbb 第18頁/共104頁2.4 證明倒格子原胞體積證明倒格子原胞體積3(2 ) 倒格子基矢倒格子基矢2311232aabaaa3121232aabaaa1231232aabaaa倒格子體積倒格子體積123()bbb 32331123(2 )() () ()aaaaaa 3(2 ) 第19頁

17、/共104頁2.5正格子中晶面指數(shù)為正格子中晶面指數(shù)為 的晶面和倒格矢正交的晶面和倒格矢正交1 2 3hhh（）hK 1 12233hKh bh bh b 其其中中hK 倒格矢倒格矢 是晶面指數(shù)為是晶面指數(shù)為 所對應(yīng)的晶面族的法線所對應(yīng)的晶面族的法線1 2 3hhh（）意味著意味著1 2 3h h hK 證明證明3113aaCAhh 1 2 31 12233h h hKh bh bh b 1 2 3311 1223313() ()h h haaKCAh bh bh bhh 311 133130aah bh bhh 2ijijab 1 2 30h h hKCB 所以晶面族與和倒格矢正交所以晶面族

18、與和倒格矢正交1 2 3hhh（）1 2 3h h hK 同理可證同理可證第20頁/共104頁2.6 試導(dǎo)出倒格矢的長度與晶面族面間距間的關(guān)系試導(dǎo)出倒格矢的長度與晶面族面間距間的關(guān)系見課件見課件2.8 試畫出周期為的一維布喇菲格子的第一和第試畫出周期為的一維布喇菲格子的第一和第二布里淵區(qū)。二布里淵區(qū)。2.9 試畫出邊長為的二維正方格子的第一和第二布試畫出邊長為的二維正方格子的第一和第二布里淵區(qū)。里淵區(qū)。第21頁/共104頁 2.7 如果基矢如果基矢 構(gòu)成簡單正交系構(gòu)成簡單正交系 證明晶面族證明晶面族 的面間距為的面間距為 說明面指數(shù)簡單的晶面，其面密度比較大，容易解理說明面指數(shù)簡單的晶面，其面

19、密度比較大，容易解理c,b,a)(hkl2221/ ( )( )( )hkldabc簡單正交系簡單正交系cbakcaj bai aa321,倒格子基矢倒格子基矢2311232aabaaa3121232aabaaa1231232aabaaa第22頁/共104頁kcbjbbiab2,2,2321倒格子矢量倒格子矢量321b lbkbhG222hikjlkabc晶面族晶面族 的面間距的面間距)(hklGd22221/ ( )( )( )hklabc 面指數(shù)越簡單的晶面，其晶面的間距越大面指數(shù)越簡單的晶面，其晶面的間距越大 晶面上格點的密度越大，這樣的晶面越容易解理晶面上格點的密度越大，這樣的晶面越容

20、易解理倒格子基矢倒格子基矢第23頁/共104頁2.10 假設(shè)具有立方對稱、由同種原子構(gòu)成的某種晶體，在假設(shè)具有立方對稱、由同種原子構(gòu)成的某種晶體，在對其進行對其進行x射線分析時，在衍射譜圖中只觀察到（射線分析時，在衍射譜圖中只觀察到（110）、）、（200）、（）、（220）或（）或（222）等衍射峰，但沒有觀察到（）等衍射峰，但沒有觀察到（100）、（）、（300）、（）、（111）或（）或（221）等衍射峰，試通過分）等衍射峰，試通過分析說明該晶體具有何種類型的晶體結(jié)構(gòu)。析說明該晶體具有何種類型的晶體結(jié)構(gòu)。 解：對立方對稱晶體，有簡單立方、體心立方和面心立方三解：對立方對稱晶體，有簡單立方

21、、體心立方和面心立方三種典型的晶體結(jié)構(gòu)。種典型的晶體結(jié)構(gòu)。對同種原子組成的面心立方晶體，衍射指數(shù)全偶或全奇時，對同種原子組成的面心立方晶體，衍射指數(shù)全偶或全奇時，衍射強度最強，而衍射指數(shù)中部分為奇或部分為偶的衍射峰衍射強度最強，而衍射指數(shù)中部分為奇或部分為偶的衍射峰消失。（消失。（200）、（）、（220）或（）或（222）衍射峰的的衍射指數(shù)全）衍射峰的的衍射指數(shù)全為偶數(shù)，但同時出現(xiàn)（為偶數(shù)，但同時出現(xiàn)（110）衍射峰，這是部分為奇和部分）衍射峰，這是部分為奇和部分為偶的情況，故可判斷該晶體并非面心立方結(jié)構(gòu)。為偶的情況，故可判斷該晶體并非面心立方結(jié)構(gòu)。對簡單立方，只能出現(xiàn)偶數(shù)指數(shù)的衍射峰，由于

22、（對簡單立方，只能出現(xiàn)偶數(shù)指數(shù)的衍射峰，由于（110）衍）衍射峰的出現(xiàn)，可判斷該晶體并非簡單立方結(jié)構(gòu)。射峰的出現(xiàn)，可判斷該晶體并非簡單立方結(jié)構(gòu)。第24頁/共104頁對同種原子組成的體心立方晶體，晶胞中包含對同種原子組成的體心立方晶體，晶胞中包含2個原子，其中個原子，其中一個在立方體頂角，另一個在立方體體心，它們的坐標(biāo)分別一個在立方體頂角，另一個在立方體體心，它們的坐標(biāo)分別為（為（000）和（）和（1/2，1/2，1/2），得到衍射強度為），得到衍射強度為2201cos()sin() hklIfn hkln hkl可見，當(dāng)衍射指數(shù)之和為奇數(shù)時，反射消失，而對于衍射可見，當(dāng)衍射指數(shù)之和為奇數(shù)時，反

23、射消失，而對于衍射指數(shù)之和為偶數(shù)時，衍射加強指數(shù)之和為偶數(shù)時，衍射加強（110）、（）、（200）、（）、（220）或（）或（222）等衍射峰符合衍射）等衍射峰符合衍射指數(shù)之和為偶數(shù)的條件（衍射加強），而（指數(shù)之和為偶數(shù)的條件（衍射加強），而（100）、（）、（300）、（）、（111）或（）或（221）等衍射峰符合衍射指數(shù)之和為奇數(shù)）等衍射峰符合衍射指數(shù)之和為奇數(shù)的條件（反射消失）的條件（反射消失）因此，根據(jù)觀察到的衍射峰特征可判斷該晶體具有體心立因此，根據(jù)觀察到的衍射峰特征可判斷該晶體具有體心立方結(jié)構(gòu)。方結(jié)構(gòu)。第25頁/共104頁2.11 對面心立方的對面心立方的KBr晶體，其中晶體，其中

24、K和和Br離子各自組成一離子各自組成一套面心格子，試通過分析論證該晶體的衍射譜圖有何特征套面心格子，試通過分析論證該晶體的衍射譜圖有何特征？解：對面心立方結(jié)構(gòu)的晶體，晶胞中共包含解：對面心立方結(jié)構(gòu)的晶體，晶胞中共包含4個原子，其中個原子，其中一個在立方體頂角，另三個在立方體面心，它們的坐標(biāo)分一個在立方體頂角，另三個在立方體面心，它們的坐標(biāo)分別為（別為（000）、（）、（1/2，0，1/2）、（）、（1/2，1/2，0）和（）和（0，1/2，1/2），由此得到衍射強度為），由此得到衍射強度為20121cos()cos()cos()sin()sin()sin()hklIffn hkn hln kl

25、fn hkn hln kl可見，對于衍射指數(shù)中部分為奇可見，對于衍射指數(shù)中部分為奇或部分為偶時，或部分為偶時，而對衍射指數(shù)全偶或全奇時而對衍射指數(shù)全偶或全奇時201hklIff此時衍射強度最小此時衍射強度最小201hklIff衍射強度最強衍射強度最強第26頁/共104頁2.12 從形式上看，從形式上看，KCl非常相似非常相似KBr，但對，但對KCl進行衍射分析進行衍射分析時，實驗上觀察到和時，實驗上觀察到和KBr相似的面指數(shù)全為偶數(shù)的衍射峰，但相似的面指數(shù)全為偶數(shù)的衍射峰，但沒有觀察到面指數(shù)全為奇數(shù)的衍射峰，為什么？沒有觀察到面指數(shù)全為奇數(shù)的衍射峰，為什么？答：實驗上觀察到和答：實驗上觀察到和

26、KBr相似的面指數(shù)全為偶數(shù)的衍射峰，說相似的面指數(shù)全為偶數(shù)的衍射峰，說明明KCl晶體具有和晶體具有和KBr相似的面心立方結(jié)構(gòu)，但沒有觀察到面相似的面心立方結(jié)構(gòu)，但沒有觀察到面指數(shù)全為奇數(shù)的衍射峰，說明兩者又不完全相同。這是因為指數(shù)全為奇數(shù)的衍射峰，說明兩者又不完全相同。這是因為KCl中兩種離子的電子數(shù)目相等，散射振幅幾乎相同，因此，中兩種離子的電子數(shù)目相等，散射振幅幾乎相同，因此，對對X-射線來說，就好似一個晶格常數(shù)為射線來說，就好似一個晶格常數(shù)為a/2的單原子簡單立方的單原子簡單立方晶格，對簡單立方晶格，只出現(xiàn)偶數(shù)指數(shù)的衍射峰。晶格，對簡單立方晶格，只出現(xiàn)偶數(shù)指數(shù)的衍射峰。第27頁/共104

27、頁2.13 對由同種原子（碳）構(gòu)成的金剛石晶體，試求出衍射對由同種原子（碳）構(gòu)成的金剛石晶體，試求出衍射強度不為零的條件。強度不為零的條件。1 1 1( , )4 4 41 3 3( , )4 4 43 3 1( , )4 4 43 1 3( , )4 4 4(0,0,0)對于金剛石晶體，選擇立方體作為晶胞，則每個晶胞中對于金剛石晶體，選擇立方體作為晶胞，則每個晶胞中共有共有8個原子，一個在立方體頂角上，坐標(biāo)為個原子，一個在立方體頂角上，坐標(biāo)為1 1( ,0)2 211( ,0, )221 1(0, )2 2三個在立方體的面心位置，坐標(biāo)分別為三個在立方體的面心位置，坐標(biāo)分別為另外四個在立方體對

28、角線的另外四個在立方體對角線的1/4位置處，坐標(biāo)分別位置處，坐標(biāo)分別將這些原子坐標(biāo)代入式得到衍射強度為將這些原子坐標(biāo)代入式得到衍射強度為2221 cos()cos()cos()1111cos()cos(33 )cos(33)cos(33 )22221 sin()sin()sin()111sin()sin(33 )sin(33)si222hklIfn hkn kln hln hkln hklnhklnhklfn hkn kln hln hkln hklnhkl21n(33 )2nhkl第28頁/共104頁2221 cos()cos()cos()1111cos()cos(33 )cos(33)co

29、s(33 )22221 sin()sin()sin()111sin()sin(33 )sin(33)si222hklIfn hkn kln hln hkln hklnhklnhklfn hkn kln hln hkln hklnhkl21n(33 )2nhkl由上式很容易求出衍射強度不為零的條件是：由上式很容易求出衍射強度不為零的條件是：衍射面指數(shù)衍射面指數(shù)nh、nk和和nl均為奇數(shù)；均為奇數(shù)；衍射面指數(shù)衍射面指數(shù)nh、nk和和nl均為偶數(shù)且均為偶數(shù)且 也為偶數(shù)也為偶數(shù)。如果衍射面指數(shù)不滿足上述兩條件，則衍射消失。如果衍射面指數(shù)不滿足上述兩條件，則衍射消失。1()2n hkl第29頁/共104

30、頁3.1 證明兩種一價離子組成一維晶格的馬德隆常數(shù)證明兩種一價離子組成一維晶格的馬德隆常數(shù)2ln2M 假設(shè)參考離子帶負(fù)電荷，則正離子取假設(shè)參考離子帶負(fù)電荷，則正離子取“+”、負(fù)離子取、負(fù)離子取“-”R參考離參考離子子11112.234MRRRRR則有則有2源于參考離子左右各源于參考離子左右各有兩個距離相等的離子有兩個距離相等的離子11121.234M 利用利用234ln(1).234xxxxx2ln2M 第三章習(xí)題第三章習(xí)題第30頁/共104頁3.2 若一晶體兩個離子之間的相互作用能可以表示為若一晶體兩個離子之間的相互作用能可以表示為nmrrru)(計算計算1) 平衡間距平衡間距r02) 結(jié)合

31、能結(jié)合能W（單個原子的）（單個原子的）3) 體彈性模量體彈性模量4) 若取若取 計算計算 的值的值 ,eVWnmrnm4,3 . 0,10, 20第31頁/共104頁1) 平衡間距平衡間距r0的計算的計算平衡條件平衡條件)(2)(nmrrNrU00rrdrdU01010nmrnrm2) 單個原子的結(jié)合能單個原子的結(jié)合能01( )2Wu r 1(1)()2mn mmnWnmmnmnr10)(晶體內(nèi)能晶體內(nèi)能00( )()mnr ru rrr 第32頁/共104頁3) 體彈性模量體彈性模量0220)(VVUKV晶體的體積晶體的體積3NArV A為常數(shù)，為常數(shù)，N為原胞數(shù)目為原胞數(shù)目VrrUVU11

32、21()23mnNmnrrNAr221121()23mnUNrmnVVrrrNAr)(2)(nmrrNrU晶體內(nèi)能晶體內(nèi)能第33頁/共104頁91200020220220nmnmVVrnrmrnrmVNVU031)(22010100NArrnrmNVUnmVVnmrnrm00體彈性模量體彈性模量0220)(VVUKV由平衡條件由平衡條件912020220220nmVVrnrmVNVU第34頁/共104頁9120020220nmVVrnnrmmVNVU920020nmrrVnmNnmrnrm00)(2000nmrrNU)(9020220UVmnVUVV009VmnUK 體彈性模量體彈性模量022

33、0)(VVUKV912020220220nmVVrnrmVNVU第35頁/共104頁4) 若取若取 計算計算 的值的值eVWnmrnm4,3 . 0,10, 20,mnmnr10)(1(1)()2mn mmnWnm1002rW210020Wrr95101.18 10eV m1929.0 10eV mnmrnrm00第36頁/共104頁3.3 設(shè)若一晶體平衡時體積為設(shè)若一晶體平衡時體積為V0，原子間總的相互作用，原子間總的相互作用能為能為U0，如果原子間相互作用能由式，如果原子間相互作用能由式所表述，試證明壓縮系數(shù)為所表述，試證明壓縮系數(shù)為( )nmU rrr 009nm UV證明：體彈性模量證

34、明：體彈性模量晶體體積晶體體積0202()VUKVV因此，體彈性模量可表示為因此，體彈性模量可表示為 3VNr02201()9r rUKN rr211222(1)(1)(),()22mnmnUNmnUNm mn nrrrrrr0222000222222000000001(1)(1)21122r rmnmnmnmnUNm mn nrrrrNmnmnNmnrrrrrrrr00mnmnrr0002 9mnN nmKVrr0000( )()2mnNU rUrr009nmUV第37頁/共104頁 3.4 已知有已知有N個離子組成的個離子組成的NaCl晶體，其結(jié)合能為晶體，其結(jié)合能為 現(xiàn)以現(xiàn)以 來代替排斥

35、項來代替排斥項 ，且當(dāng)晶體處于平衡時，且當(dāng)晶體處于平衡時， 這兩者對互作用勢能的貢獻(xiàn)相同，試求這兩者對互作用勢能的貢獻(xiàn)相同，試求n和和 的關(guān)系。的關(guān)系。 20( )()24nNeU rrrrcenr 將結(jié)合能在平衡位置處展開將結(jié)合能在平衡位置處展開)()()()(000rrrUrUrUrr第38頁/共104頁)4(2)( 02rcereNrU以以 代替代替 后后rce0nr)()()( )( 000rrrUrUrUrr根據(jù)題意根據(jù)題意)( )(00rUrU結(jié)合能結(jié)合能0)()(00rrrrrUrU00rncer010rnncer第39頁/共104頁00rncer010rnncernr 01()

36、nen c兩式相比兩式相比n和和 的關(guān)系的關(guān)系第40頁/共104頁3.5計算面心立方簡單格子的計算面心立方簡單格子的A6和和A12(1) 只計最近鄰；（只計最近鄰；（2）計算到次近鄰。）計算到次近鄰。o111角頂角頂o原子周圍有原子周圍有8個這樣的晶胞個這樣的晶胞標(biāo)號為標(biāo)號為1的原子是原子的原子是原子o的最近鄰，總共有的最近鄰，總共有12個最近鄰，以最近鄰距離度量，則個最近鄰，以最近鄰距離度量，則aj=122212121jjAa 661jjAa 0 jjra R R為最近鄰距離為最近鄰距離若只計最近鄰則若只計最近鄰則661(1)12 ( )121A12121(1)12 ( )121A標(biāo)號為標(biāo)號

37、為2的原子是原子的原子是原子o的次近鄰，總共有的次近鄰，總共有6個次近鄰，以最近鄰距離度量，則個次近鄰，以最近鄰距離度量，則aj=21/2若計算到次近鄰則若計算到次近鄰則66611(2)12 ( )6 ()12.7512A 12121211(2)12 ( )6 ()12.09412A 第41頁/共104頁4.1對一維雙原子分子鏈，原子質(zhì)量均為對一維雙原子分子鏈，原子質(zhì)量均為m，原子統(tǒng)一編號，原子統(tǒng)一編號，任一原子與兩最近鄰的間距不同，力常數(shù)分別為任一原子與兩最近鄰的間距不同，力常數(shù)分別為 1和和 2，晶，晶格常數(shù)為格常數(shù)為a，求原子的運動方程以及色散關(guān)系，求原子的運動方程以及色散關(guān)系。1 2

38、3n-1 n n+1N-2 N-1 N12第第n-1與第與第n+1個原子屬于同一種原子個原子屬于同一種原子n+2 n+3 第第n與第與第n+2個原子屬于同一種原子個原子屬于同一種原子于是于是 第第n個原子受的力為個原子受的力為第第n+1個原子受的力為個原子受的力為2111()()nnnnnfxxxx 112121()()nnnnnfxxxx 第四章習(xí)題第四章習(xí)題第42頁/共104頁對每種原子，可寫出其運動方程對每種原子，可寫出其運動方程221112()()nnnnnd xmxxxxdt21121212()()nnnnnd xmxxxxdt 將方程的解寫成角頻率為將方程的解寫成角頻率為 的簡諧振

39、動的形式，即的簡諧振動的形式，即第43頁/共104頁2122122112()()0()()0iqaiqamAeBeAmB 2122122112()0()iqaiqameem 22221/21212221221/212122121624sin ()2()2411sin ()()2mqammmqam 色散關(guān)系色散關(guān)系得到得到A、B非非0解的條件是系解的條件是系數(shù)行列式必須為數(shù)行列式必須為0，即，即由此得到由此得到代入代入221112()()nnnnnd xmxxxxdt21121212()()nnnnnd xmxxxxdt 第44頁/共104頁4.2 問長光學(xué)支格波與長聲學(xué)支格波在本質(zhì)上有何區(qū)別？

40、問長光學(xué)支格波與長聲學(xué)支格波在本質(zhì)上有何區(qū)別？長光學(xué)支格波的特征是每個原胞內(nèi)的不同原子做相對振動長光學(xué)支格波的特征是每個原胞內(nèi)的不同原子做相對振動，振動頻率較高，包含了晶格振動頻率最高的振動模式。，振動頻率較高，包含了晶格振動頻率最高的振動模式。長聲學(xué)支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移，長聲學(xué)支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移，原胞做整體振動，振動頻率較低，包含了晶格振動頻率最原胞做整體振動，振動頻率較低，包含了晶格振動頻率最低的振動模式。低的振動模式。任何晶體都存在聲學(xué)支格波，但簡單晶格晶體不存在光學(xué)任何晶體都存在聲學(xué)支格波，但簡單晶格晶體不存在光學(xué)支格波。支格波。第45頁/

41、共104頁4.3 按德拜模型試計算晶體中的聲子數(shù)目，并對高溫和按德拜模型試計算晶體中的聲子數(shù)目，并對高溫和很低溫度兩種情況分別進行討論。很低溫度兩種情況分別進行討論。頻率為頻率為 的格波的聲子數(shù)的格波的聲子數(shù)/1( )1kTne對德拜模型，模式密對德拜模型，模式密度或頻率分布函數(shù)為度或頻率分布函數(shù)為2233( )2VgC則總的聲子數(shù)則總的聲子數(shù)0( ) ( )DNngd/20231312DkTVdeC高溫高溫/0kT/1/kTekT /1( )/1kTnkTe所以高溫時聲子數(shù)為所以高溫時聲子數(shù)為22334DVkNTC第46頁/共104頁/23021312DkTVNdeC很低溫度很低溫度/ kT

42、 作變量變換作變量變換/xkT 332233032(1)xVk T x dxCe2/2301312DkTVNdeC3AT332233032(1)xVkT x dxAconstCe第47頁/共104頁4.4 設(shè)一長度為設(shè)一長度為L的一維簡單晶格，原子質(zhì)量為的一維簡單晶格，原子質(zhì)量為m，原子間，原子間距距為為a，原子間的相互作用勢可表示成，原子間的相互作用勢可表示成試由簡諧近似求試由簡諧近似求（1）色散關(guān)系；）色散關(guān)系；（2）模式密度）模式密度D（ ）；）；（3）晶格比熱。）晶格比熱。()cos( )U aAa （1）色散關(guān)系）色散關(guān)系()cos( )U aAa 22022()()ad Ud Ud

43、rd 恢復(fù)力常數(shù)恢復(fù)力常數(shù)2022()d UAda 代入代入得到色散關(guān)系為得到色散關(guān)系為第48頁/共104頁設(shè)單原子鏈長度設(shè)單原子鏈長度波矢取值波矢取值hNaq2每個波矢的寬度每個波矢的寬度2Na狀態(tài)密度狀態(tài)密度Na2dq間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)dqNa2 對應(yīng)對應(yīng) q， 取值相同，取值相同， d 間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目dqNad22)(LNa（2）模式密度）模式密度D（ ）第49頁/共104頁dqNad22)(一維單原子鏈色散關(guān)系一維單原子鏈色散關(guān)系)2(sin422aqmm40)2sin(0aq令令兩邊微分得到兩邊微分得到dqaqad)2cos(202021)2cos(aqd

44、qad2202d 間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目第50頁/共104頁2202dadqdN2201222012)(Ndqad2202代入代入dqNad22)( 一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)第51頁/共104頁（3）晶格比熱）晶格比熱頻率為頻率為 的格波的熱振動能為的格波的熱振動能為/1Bk Te整個晶格的熱振動能為整個晶格的熱振動能為0/0( )1Bk TEde VdECdT22012)(N02/222002()(1)BVBk TBLdCkak Te 第52頁/共104頁4.5 設(shè)晶體中每個振子的零點振動能為設(shè)晶體中每個振子的零點振動能為 ，試用德拜，試用德拜模型求晶體

45、的零點振動能模型求晶體的零點振動能 12根據(jù)量子力學(xué)零點能是諧振子所固有的，與溫度無關(guān)，根據(jù)量子力學(xué)零點能是諧振子所固有的，與溫度無關(guān)，故故T=0K時振動能時振動能E0就是各振動模零點能之和就是各振動模零點能之和 000mEEgd 012E 22332sVgv42339168mmsVNv第53頁/共104頁4.6 如果原子離開平衡位置位移后的勢能為如果原子離開平衡位置位移后的勢能為如用經(jīng)典理論，試證明比熱為：如用經(jīng)典理論，試證明比熱為： 234( )Ucgf2233151()28VBBfgCkk Tcc第54頁/共104頁4.7 假設(shè)晶體總的自由能可表示為假設(shè)晶體總的自由能可表示為其中其中 表

46、示晶格振動對系統(tǒng)自由能的貢獻(xiàn)，表示晶格振動對系統(tǒng)自由能的貢獻(xiàn)， 是絕對零是絕對零度時系統(tǒng)的內(nèi)能，若度時系統(tǒng)的內(nèi)能，若 可表示可表示其中其中 是德拜溫度，試證明：是德拜溫度，試證明：（1）壓力）壓力 ， 為格林愛森常為格林愛森常數(shù)；數(shù)；（2）線膨脹系數(shù)）線膨脹系數(shù) 0( )( , )vFU VF T VvF0( )U VvF()DvFTfTD0(/)(1/)DUfTPVVT lnlnDddV 3VCVK第55頁/共104頁4.8（1）溫度一定時，問一個光學(xué)波的聲子數(shù)目和一個）溫度一定時，問一個光學(xué)波的聲子數(shù)目和一個 聲學(xué)波的聲子數(shù)目哪個多？聲學(xué)波的聲子數(shù)目哪個多？ （2）對同一個振動模式，問溫度

47、高時的聲子數(shù)目和）對同一個振動模式，問溫度高時的聲子數(shù)目和 溫度低時的聲子數(shù)目哪個多？溫度低時的聲子數(shù)目哪個多？頻率為頻率為 的格波的平均聲子數(shù)為的格波的平均聲子數(shù)為/1( )1kTne（1）光學(xué)波的頻率總是比聲學(xué)波的頻率高，所以，溫度一）光學(xué)波的頻率總是比聲學(xué)波的頻率高，所以，溫度一定時，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目少于一個聲學(xué)波的聲子數(shù)目定時，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目少于一個聲學(xué)波的聲子數(shù)目（2）溫度高時的聲子數(shù)目多于溫度時的聲子數(shù)目）溫度高時的聲子數(shù)目多于溫度時的聲子數(shù)目/1()1HHkTn Te/1()1LLkTn Te第56頁/共104頁5.1 試問絕對零度時價電子與晶格是否交換能量？試問絕對零

48、度時價電子與晶格是否交換能量？晶格的振動形成格波，價電子與晶格交換能量，實際上是晶格的振動形成格波，價電子與晶格交換能量，實際上是價電子與格波交換能量，格波的能量子稱為聲子，因此，價電子與格波交換能量，格波的能量子稱為聲子，因此，價電子與格波交換能量可看成是價電子與聲子交換能量。價電子與格波交換能量可看成是價電子與聲子交換能量。頻率為頻率為 的格波的聲子數(shù)的格波的聲子數(shù)/1( )1kTne絕對零度時，任何頻率的格波的聲子全部消失，因此，絕絕對零度時，任何頻率的格波的聲子全部消失，因此，絕對零度時價電子與晶格不再交換能量。對零度時價電子與晶格不再交換能量。第五章習(xí)題第五章習(xí)題第57頁/共104頁

49、5.2 試問晶體膨脹時費米能級如何變化？試問晶體膨脹時費米能級如何變化？費米能級費米能級202/3(3)2FEnm晶體膨脹時，體積變大，但晶體膨脹時，體積變大，但電子數(shù)目不變，故電子數(shù)目不變，故n變小，變小，因此，費米能級降低。因此，費米能級降低。第58頁/共104頁5.3 試問為什么價電子的濃度越高，電導(dǎo)率越高？試問為什么價電子的濃度越高，電導(dǎo)率越高？2nem從公式看，電導(dǎo)率正比于價電子的濃度，從公式看，電導(dǎo)率正比于價電子的濃度，因此，價電子濃度越高，電導(dǎo)率就越高因此，價電子濃度越高，電導(dǎo)率就越高然而，并非所有價電子都參與導(dǎo)電，僅僅費米面附近然而，并非所有價電子都參與導(dǎo)電，僅僅費米面附近的電

50、子才參與對導(dǎo)電的貢獻(xiàn)，因此，費米球越大，對的電子才參與對導(dǎo)電的貢獻(xiàn)，因此，費米球越大，對導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的電子數(shù)目就越多，而費米球的半徑導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的電子數(shù)目就越多，而費米球的半徑021/3(3)Fkn可見，電子濃度越高，費米球就越大，對導(dǎo)電有貢獻(xiàn)可見，電子濃度越高，費米球就越大，對導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的電子什么也就越多，因此，電導(dǎo)率就越高的電子什么也就越多，因此，電導(dǎo)率就越高第59頁/共104頁5.4 假設(shè)二維電子氣的能態(tài)密度假設(shè)二維電子氣的能態(tài)密度 試證明費米能為試證明費米能為 其中其中n為單位面積的電子數(shù)。為單位面積的電子數(shù)。2( )mN E2/ln1Bnmk TFBEk Te單位面積金屬的電子總數(shù)為單位

51、面積金屬的電子總數(shù)為0( ) ( )nN E f E dE2( )mN E()/1( )1FBE Ek Tf Ee()/2011FBE Ek TmndEe/2ln(1)FBEk TBmk Te2/1FBBnEk Tmk Tee2/ln1Bnmk TFBEk Te第60頁/共104頁5.5 試求一維金屬中自由電子的能態(tài)密度、費米能級、電試求一維金屬中自由電子的能態(tài)密度、費米能級、電子平均動能以及一個電子對比熱的貢獻(xiàn)。子平均動能以及一個電子對比熱的貢獻(xiàn)。設(shè)一維金屬中有設(shè)一維金屬中有N個導(dǎo)電電子，個導(dǎo)電電子，晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為a，則狀態(tài)密度為，則狀態(tài)密度為2222km dEdkmE2再由E得到1/

52、22( )dzNamg EEdE能態(tài)密度能態(tài)密度222Nadzdk則在則在kk+dk范圍內(nèi)電子數(shù)為范圍內(nèi)電子數(shù)為2Na1/22NamdzEdE在在EE+dE內(nèi)電子數(shù)為內(nèi)電子數(shù)為第61頁/共104頁絕對零度時費米能級以下所有態(tài)被電子占據(jù)，故有絕對零度時費米能級以下所有態(tài)被電子占據(jù)，故有0001/200222( )FFEEFNamENamNg E dEEdE202()8FEma平均一個電子所具有的能量平均一個電子所具有的能量00( ) ( )NEdzEf E g E dEENN1/202( )amf E EdE23/2222() 38FBFamEEk TE第62頁/共104頁平均一個電子對比熱的貢

53、獻(xiàn)為平均一個電子對比熱的貢獻(xiàn)為23/2222() 38FBFamEEk TE2222()()3124eVVBBBFFEamTCk TkkTTE第63頁/共104頁5.6 試求二維金屬中自由電子的能態(tài)密度、費米能級、電試求二維金屬中自由電子的能態(tài)密度、費米能級、電子平均動能以及一個電子對比熱的貢獻(xiàn)。子平均動能以及一個電子對比熱的貢獻(xiàn)。設(shè)二維金屬的面積為設(shè)二維金屬的面積為S，則狀態(tài)密度為，則狀態(tài)密度為222kmkdkdEm2再由E得到2( )dzmSg EdE能態(tài)密度能態(tài)密度222(2 )Sdzkdk則在則在kk+dk范圍內(nèi)電子數(shù)為范圍內(nèi)電子數(shù)為2(2 )S2222(2 )SmdEdz在在EE+d

54、E內(nèi)電子數(shù)為內(nèi)電子數(shù)為第64頁/共104頁絕對零度時費米能級以下所有態(tài)被電子占據(jù)，故有絕對零度時費米能級以下所有態(tài)被電子占據(jù)，故有0002200( )FFEEFmSmSNg E dEdEE20FnEm平均一個電子所具有的能量平均一個電子所具有的能量00( ) ( )NEdzEf E g E dEENN20( )mf E EdEn2222() 23FBmEEk TnNnS平均一個電子對比熱的貢獻(xiàn)為平均一個電子對比熱的貢獻(xiàn)為2()()3eVVBFETCkTT第65頁/共104頁5.7 證明，當(dāng)證明，當(dāng) 時，電子數(shù)目每增加一個時，電子數(shù)目每增加一個， 則費米能變化為則費米能變化為 其中其中 為費米能

55、級處的能態(tài)密度。為費米能級處的能態(tài)密度。0BFk TE001()FFEg E0()Fg E222/30(3)2FnEm2/3AN222/3(3/)2VAm電子數(shù)目每增加一個，費米能的變化電子數(shù)目每增加一個，費米能的變化02/32/3(1)FEA NAN2/32/3(1 1/)1ANN2/32(1) 13ANN1/323AN02/31/32/32233FEANNNN03/22()3FNC E003/20011()()FFFFEC Eg ECE第66頁/共104頁5.8 每個原子占據(jù)的體積為每個原子占據(jù)的體積為a3，絕對零度時價電子的費米半，絕對零度時價電子的費米半 徑為徑為 ，計算每個原子的價電

56、子數(shù)目，計算每個原子的價電子數(shù)目02 1/3(6)/Fka021/3(3)Fkn根據(jù)自由電子氣模型，根據(jù)自由電子氣模型，絕對零度時費米半徑為絕對零度時費米半徑為而已知金屬絕對零度而已知金屬絕對零度時費米半徑為時費米半徑為02 1/3(6)/Fka23 1/3(6/)a21/332(3)a兩者比較可知電子密度為兩者比較可知電子密度為32na因此該金屬的原子具有兩個價電子因此該金屬的原子具有兩個價電子第67頁/共104頁310.5/mg cm661.61 10(295)0.038 10(20)cm TKcm TK 銀的質(zhì)量密度銀的質(zhì)量密度 原子量原子量 電阻率電阻率 107.875.9 若將銀看成

57、具有球形費米面的單價金屬若將銀看成具有球形費米面的單價金屬 計算以下各量計算以下各量1) 費密能量和費密溫度費密能量和費密溫度2) 費密球半徑費密球半徑3) 費密速度費密速度4) 在室溫以及低溫時電子的平均自由程在室溫以及低溫時電子的平均自由程第68頁/共104頁 1) 費密能量和費密溫度費密能量和費密溫度2022/3(3)2FEnm6293313410.5100.586 10/107.879.11 101.05 10AAmNnNmmkgJ sM0198.82 105.5FEJeV046.4 10FFBETKk費密能量費密能量費密溫度費密溫度210/3(3)Fkn第69頁/共104頁2) 費密

58、球半徑費密球半徑020()2FFkEm0022FFmEk 01011.2 10Fkm0198.82 10FEJ3) 費密速度費密速度0FFkvm61.38 10/Fvm s第70頁/共104頁4) 在室溫以及低溫時電子的平均自由程在室溫以及低溫時電子的平均自由程120()1FneEm02()FmEne0()FFlvE2Fkne01011.2 10FFkkm電導(dǎo)率電導(dǎo)率馳豫時間馳豫時間平均自由程平均自由程2Fmvlne0 K到室溫之間的費密半徑變化很小到室溫之間的費密半徑變化很小第71頁/共104頁02Fklne平均自由程平均自由程1929334010162956201.6 100.586 10

59、/1.05 101.2 101.61 100.038 10FTKTKeCnmJ skmcmcm829563205.24 1052.42.2 102.210TKTKlmnmlmnm第72頁/共104頁6.1 電子在周期場中的勢能函數(shù)電子在周期場中的勢能函數(shù)bnaxbanbnaxbnanaxbmxV) 1(0)(21)(222 且且a=4b， 是常數(shù)。是常數(shù)。1) 畫出此勢能曲線，并計算勢能的平均值；畫出此勢能曲線，并計算勢能的平均值；2) 用近自由電子模型用近自由電子模型 計算晶體的第一個和第二個帶隙寬度計算晶體的第一個和第二個帶隙寬度 第六章習(xí)題第六章習(xí)題第73頁/共104頁bnaxbanbn

60、axbnanaxbmxV) 1(0)(21)(222( )V x2a-b2a2a+b(n-1)a-b(n-1)a+b(n-1)ana-bna+bna(n+1)a-b(n+1)a+b(n+1)a-b0b第74頁/共104頁 勢能的平均值勢能的平均值LikxikxdxeLxVeLV01)(1222111() 2na bikxikxna bVNembxnae dxLLLNa第75頁/共104頁勢能的平均值勢能的平均值222111() 2na bikxikxna bVNembxnae dxLL222() 2na bna bNVmbxnadxL令令nax 2221()2bbVmbda2296aVm第76