liu函數(shù)與復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1liu函數(shù)函數(shù)(hnsh)與復(fù)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)(hnsh)第一頁，共48頁。 復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué), , 自然科自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用, , 是解決是解決諸如流體力學(xué)諸如流體力學(xué), , 電磁學(xué)電磁學(xué), , 熱學(xué)熱學(xué), , 彈性理論中彈性理論中的平面問題的有力工具的平面問題的有力工具. . 而自然科學(xué)和生而自然科學(xué)和生產(chǎn)技術(shù)的發(fā)展產(chǎn)技術(shù)的發(fā)展(fzhn)(fzhn)又極大地推動了復(fù)又極大地推動了復(fù)變函數(shù)的發(fā)展變函數(shù)的發(fā)展(fzhn),(fzhn),豐富了它的內(nèi)容豐富了它的內(nèi)容. .第1頁/共47頁第二頁，共48頁。1

2、.zxiyi：將形如 的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其復(fù)中 數(shù) 為211iixy 虛數(shù)單位，并規(guī)定或， 與 為任意實(shí)數(shù)，z分別稱為復(fù)數(shù) 的實(shí)部與虛部，記為Re( ),Im( )xzyz0yzxiyx當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù)；00 xyzxiyiy當(dāng)，時(shí)，為純虛數(shù)；第一章 復(fù)數(shù)(fsh)與復(fù)變函數(shù)1.1 復(fù)數(shù)(fsh)第2頁/共47頁第三頁，共48頁。1112222.zxiyzxiy：數(shù)等，相設(shè)復(fù)，則121212,zzxxyy4.xiyzxiy：稱復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)的共共軛復(fù)數(shù)軛復(fù)數(shù)，, zzxiy記為 即1112223.zxiyzxiy復(fù)數(shù)的，運(yùn)算：設(shè)，則121212(1)()()();zzxxi yy1 212121221(2

3、)()()();z zx xy yi x yx y112122112222222222(3)zx xy yx yx yizxyxy第3頁/共47頁第四頁，共48頁。1212(1)()zzzz；5.共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：1 212(2)();z zzz1122(3);zzzz2222(4)Re( )Im( ) ;zzxyzz(5)2Re( );zzz(6)Im( )2zzzi12例1：設(shè)z ,z 為任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，求證：12121 22Re()z zz zz z第4頁/共47頁第五頁，共48頁。132Re( ),Im( )1izzzzzii 例 ：設(shè)，求及12122155 ,34 .zzzi ziz

4、z 例3：設(shè) 求及1 22345iizii例1 設(shè) 2244xy例 ：將方程 化為復(fù)數(shù)形式。第5頁/共47頁第六頁，共48頁。6.( , )zxiyx y復(fù)平面：復(fù)數(shù) 與實(shí)數(shù)對一一對應(yīng)，用橫軸（稱為實(shí)軸）上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，縱軸（稱為虛軸）上的點(diǎn)表示純虛數(shù)，坐標(biāo)平面稱為復(fù)平面。( , )x y而實(shí)數(shù)對與直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)，故復(fù)數(shù)z與直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)。故注：復(fù)數(shù)z與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)，故以后將不加區(qū)分。第6頁/共47頁第七頁，共48頁。1.z ：復(fù)數(shù) 與平面向量OZ復(fù)數(shù)的模與輻角一一對應(yīng)，|;zz 復(fù)數(shù) 所對應(yīng)的向量OZ的長度稱為復(fù)數(shù)的，記為模.zArgz 復(fù)數(shù) 所對應(yīng)的向量OZ

5、的方向角稱為復(fù)數(shù)的，記為輻角arg , z介于- 與 之間的輻角稱為復(fù)數(shù)，記為主輻角的即arg,arg2,(0, 1, 2,)zArgzzkk -且(2)| |,| |,xzyz| |;zxy22|;zzzz1.2 復(fù)數(shù)(fsh)的三角表示121212(3)| | |zzzzzz性質(zhì)：22(1),zxy第7頁/共47頁第八頁，共48頁。argz可由下列關(guān)系確定：argtg.22yx其中arctg,0;,0,0;2argarctg,0,0;arctg,0,0;,0,02yxxxyyzxyxyxyxxy第8頁/共47頁第九頁，共48頁。 :Im( )0zz 例6：表示上半復(fù)平面 :0Re( )1,

6、0Im( )1zzz例7：求下列方程所表示的曲線1)| 2;zi2)|2 | |2|;ziz3)Im()4.iz第9頁/共47頁第十頁，共48頁。2.(cossin ),zri復(fù)數(shù)的三角表：復(fù)數(shù)示|rz其中， 為復(fù)數(shù)z的任意輻角。12313,54 ,34zizi zi 例8：寫出的三角形式。第10頁/共47頁第十一頁，共48頁。1 2121 212| |,()( )()z zzzArg z zArg zArg z即11112222|,()( )()|zzzArgArg zArg zzzz11113.(cossin),zri復(fù)數(shù)的三角表的：設(shè)示應(yīng)用2222(cossin)zri，則1 21 21

7、212(cos()sin();z zrri11121222(cos()sin()zrizr第11頁/共47頁第十二頁，共48頁。22z21z1z1z21Oxy1 2122z zzzArgz相當(dāng)于將 的模擴(kuò)大| |倍,并旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度第12頁/共47頁第十三頁，共48頁。11,z 例9：已知等邊三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為22,zi3求另外一個(gè)頂點(diǎn)z。第13頁/共47頁第十四頁，共48頁。(3)(13 )ii例10：用三角表示計(jì)算.第14頁/共47頁第十五頁，共48頁。12,nkrn1/22cossin0,1,1nnkkzrinnkn即4.(cossin ),zri復(fù)數(shù)的乘方開：設(shè)與方則(cossin

8、)(cossin)nnnnzrirnin(cossin ),niz 又若則第15頁/共47頁第十六頁，共48頁。3(13 ) i例11：用三角表示計(jì)算330.zi例12：求解方程412 . i例13：求第16頁/共47頁第十七頁，共48頁。1.3 1.3 平面平面(pngmin)(pngmin)點(diǎn)集的一般概念點(diǎn)集的一般概念0|1.zz：由不等式（任意正數(shù)）所鄰域確定的點(diǎn)集0z稱為 的鄰域；00 |zz由不等式所確定的點(diǎn)集稱0z去為 的心鄰域。2.內(nèi)點(diǎn)：0,zG若存在 的某個(gè)鄰域包含于點(diǎn)集 中 則稱0zG為 的內(nèi)點(diǎn)。3.開集：z0G若點(diǎn)集 的每一點(diǎn)都是它G的內(nèi)點(diǎn)，則稱 為開集。第17頁/共47頁

9、第十八頁，共48頁。C3C2zg1g2C14.余集：GG復(fù)平面上不屬于點(diǎn)集 的全體稱為CG的余集，記為,開集的余集稱為閉集。5.邊界：0CzGG若 的任意鄰域內(nèi)既有 中的點(diǎn)又有中的點(diǎn)，0zG則稱 為 的邊界點(diǎn)，邊界點(diǎn)的全體稱為邊界。第18頁/共47頁第十九頁，共48頁。6.孤立點(diǎn)：000zGzz設(shè)，若在 的某個(gè)鄰域內(nèi)，除0GzG外不含 中的點(diǎn)，則稱 為 的孤立點(diǎn)。孤立點(diǎn)必為邊界點(diǎn)。7.有界集：GG若存在原點(diǎn)為圓心的圓盤包含 ，則稱 為有界集，否則稱為無界集。0 :|GzzzR例：開集0 :|GzzzR閉集xyDO第19頁/共47頁第二十頁，共48頁。無界區(qū)域無界區(qū)域(qy)的例子的例子:xyx

10、yxy上半平面(pngmin):Im z0角形域:0arg zab帶形域:aIm zM的所有點(diǎn)的集合的所有點(diǎn)的集合, 其中實(shí)其中實(shí)數(shù)數(shù)M0, 稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域.即它是圓即它是圓|z|=M的外部且包含的外部且包含(bohn)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身無窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身. 第29頁/共47頁第三十頁，共48頁。 M0|z|M不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身的僅滿足(mnz)|z|M的所有點(diǎn)稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域, 也記作M|z|.第30頁/共47頁第三十一頁，共48頁。加法加法: a+ = +a= (a)減法減法(jinf): a- = ， -a= (a)乘法乘法: a=a= (a 0) :0,(),(0,)0

11、aaaaa= ?= ?n除但可法關(guān)于關(guān)于(guny)的四則運(yùn)算作如下規(guī)定的四則運(yùn)算作如下規(guī)定:其它其它(qt)運(yùn)算不確定。運(yùn)算不確定。第31頁/共47頁第三十二頁，共48頁。11. 復(fù)球面復(fù)球面(qimin)NSOxyPzz對任一點(diǎn)對任一點(diǎn)z, 將將z與與N相連相連, 與球面相交于與球面相交于P點(diǎn)點(diǎn), 則則球面上除球面上除N點(diǎn)外，所有點(diǎn)外，所有點(diǎn)和復(fù)平面上所有點(diǎn)有一一點(diǎn)和復(fù)平面上所有點(diǎn)有一一對應(yīng)的關(guān)系對應(yīng)的關(guān)系(gun x), N點(diǎn)本點(diǎn)本身可代身可代 表無窮遠(yuǎn)點(diǎn)表無窮遠(yuǎn)點(diǎn), 記作記作. 這樣的球面稱作復(fù)球面這樣的球面稱作復(fù)球面.第32頁/共47頁第三十三頁，共48頁。1.,GzG 設(shè) 為復(fù)平面

12、上的一個(gè)點(diǎn)集，若對變數(shù)：復(fù)復(fù)函函有確定的一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù) 與它對應(yīng)，則稱復(fù)變數(shù) 為( ).zf z復(fù)變數(shù) 的函數(shù)，記為,( )zGf z 若對有確定的一個(gè)復(fù)數(shù) 與它對應(yīng)，則稱為非單值的函數(shù)稱為單數(shù)，數(shù)值值函函多多值值函函. .,( )( , )( , )zxiyf zu x yiv x y由于 故相當(dāng)于一對二元實(shí)變函數(shù)1.5 1.5 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)(hnsh)( , ),( , )uu x y vv x y第33頁/共47頁第三十四頁，共48頁。21z：將復(fù)變函數(shù)化為一對二元實(shí)變函數(shù).例1： 將 下 列 函 數(shù) 化 為 復(fù) 變 函 數(shù) .例 22222222(0)xyixyxyxy

13、第34頁/共47頁第三十五頁，共48頁。2. 2. 映射映射(yngsh)(yngsh)的概念的概念函數(shù)函數(shù) w=f (z) 在幾何上可以在幾何上可以(ky)看做是把看做是把 z平面上的一個(gè)點(diǎn)集平面上的一個(gè)點(diǎn)集D(定義集合定義集合)變到變到 w平面上的一個(gè)點(diǎn)集平面上的一個(gè)點(diǎn)集G (函數(shù)值集合函數(shù)值集合)的映射的映射(或變換或變換). 如果如果 D 中的點(diǎn)中的點(diǎn) z 被映射被映射 w=f (z) 映射成映射成 G中的點(diǎn)中的點(diǎn) w, 則則 w 稱為稱為 z 的象的象(映象映象), 而而 z 稱為稱為 w 的原象的原象.xuGzwW=f(z)vyWDZ第35頁/共47頁第三十六頁，共48頁。設(shè)函數(shù)(

14、hnsh)w = z =x iy ; u=x , v=-yyOuABCz1z2ABCw1w2Ovx第36頁/共47頁第三十七頁，共48頁。例例: : 函數(shù)函數(shù) 把傾角把傾角 得直線映射成得直線映射成平面上怎樣的曲線平面上怎樣的曲線.2z3Z平面上傾角 的直線可看成是由 的射線與 的射線組成,而射線 的映像為 ,射線 的映像為 .故Z平面上傾角 的直線的映像為平面上射線3333233223323第37頁/共47頁第三十八頁，共48頁。00( )0 |f zzzz設(shè)函數(shù)在 的去心鄰域義：定定(),0,0,A A 內(nèi)有定義,若存在復(fù)數(shù)對總存在00 |(0)zzz使對一切滿足的 有|( )|f zA0

15、( )Af zzz則稱 為函數(shù)當(dāng) 趨于 時(shí)的極限,記為00lim( )( )()zzf zAf zAzz 或 當(dāng)3.復(fù)變函數(shù)(hnsh)的極限第38頁/共47頁第三十九頁，共48頁。xOz0zOuAf(z)0zz當(dāng)變點(diǎn)極限的在 的一幾何意義：個(gè)充分小的鄰域時(shí)，它們的像點(diǎn)落在的一個(gè)給定的 鄰域內(nèi).第39頁/共47頁第四十頁，共48頁。20lim0zz：證明：例1.：若極限存注在，則必唯一。02.zz的方式是任意的。( )zf zz：問函數(shù)在原點(diǎn)的極限是否存在？例0z ：問下列函數(shù)在 的極限是否存在？例例Re( )( )|zf zz第40頁/共47頁第四十一頁，共48頁。證證 令 z = x +

16、i y, 則22( ),xf zxy由此得22( , ), ( , )0.xu x yv x yxy讓 z 沿直線(zhxin) y = k x 趨于零, 我們有2200()()lim( , )limxxy kxy kxxu x yxy22201lim.(1)1xxkxk 故極限(jxin)不存在. 第41頁/共47頁第四十二頁，共48頁。00lim( ),lim( ),zzzzf zAg zB如果則01)lim ( )( )zzf zg zAB02)lim( ) ( )zzf z g zAB0( )3)lim(0)( )zzf zABg zB極限極限(jxin)的四則運(yùn)算：的四則運(yùn)算：第42

17、頁/共47頁第四十三頁，共48頁。00( )( , )( , )f zu x yiv x yAuiv 設(shè)函數(shù)，,定定理理1 10000lim( )zzzxiyf zA,則的充分必要條件是000000lim ( , ), lim ( , ).xxxxyyyyu x yuv x yv第43頁/共47頁第四十四頁，共48頁。00lim( )()zzf zf z如果成義立，則稱定定：( )f z若在區(qū)域D(閉區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)( )f z則稱在區(qū)域D(閉區(qū)域D)內(nèi)連續(xù).0( )f zz在 處連續(xù).( )arg (0)f zz z：求證：在全平面除去原點(diǎn)和例例負(fù)實(shí)軸的區(qū)域上連續(xù)，在負(fù)實(shí)軸上不連續(xù).4.

18、4.復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)(hnsh)的連續(xù)的連續(xù)第44頁/共47頁第四十五頁，共48頁。l例例 討論函數(shù)討論函數(shù) 的連續(xù)性的連續(xù)性.l解解 設(shè)設(shè) 為復(fù)平面為復(fù)平面(pngmin)上任意一點(diǎn)，則上任意一點(diǎn)，則l當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 在在 無定義，故無定義，故 在在 l 處不連續(xù)處不連續(xù).l當(dāng)當(dāng) 落在負(fù)實(shí)軸上時(shí)，由于落在負(fù)實(shí)軸上時(shí)，由于 ，在，在 從從實(shí)軸上方趨于實(shí)軸上方趨于 時(shí)，時(shí)， 趨于趨于 ，在，在 從實(shí)軸下方趨從實(shí)軸下方趨于于 時(shí)，時(shí)， 趨于趨于 ，所以，所以l 不連續(xù)不連續(xù).當(dāng)當(dāng) 為其它情況時(shí)，由于為其它情況時(shí)，由于 l 所以所以 連續(xù)連續(xù).zarg0z00zzarg0zzarg00z0zzargz0zzargz0zzargzarg0z0argarglim0zzzzzarg第45頁/共47頁第四十六頁，共48頁。000( )( , )( , )f zu x yiv x yzxiy 函數(shù)，在處連續(xù)定定理理2 200( , )( , )(,).u x yv x yxy的充要條件是與在連續(xù)閉區(qū)連續(xù)數(shù)質(zhì)有有界界域域上上的的函函的的性性：1.( )Df z有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)是