D124函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D124函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)兩類問題:在收斂域內(nèi)和函數(shù))(xS求 和展 開第1頁(yè)/共23頁(yè)其中( 在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日型余項(xiàng)拉格朗日型余項(xiàng) .則在復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 該鄰域內(nèi)有 :f (x) 的 n 階泰勒公式階泰勒公式第2頁(yè)/共23頁(yè)f (x)的的冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)為f (x) 的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) . 則稱當(dāng)x0 = 0 時(shí), (1) 對(duì)此級(jí)數(shù), 它的收斂域是什么 ？(2) 在收斂域內(nèi) , 和函數(shù)是否為 f (x) ?若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 0)(xxf在泰勒級(jí)數(shù)又稱為麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù) .第3頁(yè)/共23頁(yè)

2、)()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn)(00 xxxf200)(!2)(xxxf 泰勒公式可以表示為第4頁(yè)/共23頁(yè)各階導(dǎo)數(shù), 則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)證明證明:設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有“ ”limn“ ”第5頁(yè)/共23頁(yè)若 f (x) 能展成 x 的冪級(jí)數(shù),唯一的 , 證明證明:則顯然結(jié)論成立 .則這種展開式是設(shè) f (x) 所展成的冪級(jí)數(shù)為且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.第6頁(yè)/共23頁(yè)1 直接展開法直接展開法第一步第二步第三步是否為直接展開成冪級(jí)數(shù)的步驟 :展開方法展開方法直接展

3、開法 利用泰勒公式間接展開法 利用已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)0. 展開式求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;寫出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ;判定在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi)第7頁(yè)/共23頁(yè))(xRn(1)1( )(1)!nnfxn(0)f(0)fx2(0)2!fx( )(0)!nnfxn展開成 x 的冪級(jí)數(shù). 解解: 其收斂半徑為 故得級(jí)數(shù) 其余項(xiàng)故( 在0與x 之間)第8頁(yè)/共23頁(yè)展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: 得級(jí)數(shù):其收斂半徑為 其余項(xiàng)! ) 1( nn0(,),x ( 在0與x 之間)第9頁(yè)/共23頁(yè)對(duì)上式兩邊求導(dǎo)可推出:),(x),(x間接展開間接展開第10頁(yè)/共23頁(yè)展開

4、成 x 的冪級(jí)數(shù), 其中m為任意常數(shù) . 解解:于是得 級(jí)數(shù)由于級(jí)數(shù)在開區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂. 因此對(duì)任意常數(shù) m, 第11頁(yè)/共23頁(yè)2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(稱為二項(xiàng)展開式二項(xiàng)展開式 .注：注：(1) 在 x =1 處的收斂性與 m 有關(guān) .(2) 當(dāng) m 為正整數(shù)時(shí), 級(jí)數(shù)為 x 的 m 次多項(xiàng)式, 上式就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理.第12頁(yè)/共23頁(yè)利用已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式,例例4 展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解:)11(x將所給函數(shù)展開成 冪級(jí)數(shù). 將函數(shù))11(x類似地第13頁(yè)/共23頁(yè)展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: 從 0 到 x 積分, 定義且

5、連續(xù), 域?yàn)樯鲜接叶说膬缂?jí)數(shù)在 x =1 收斂 ,所以展開式對(duì) x =1 也是成立的,于是收斂ln(1)x即得第14頁(yè)/共23頁(yè)展成解解: 的冪級(jí)數(shù). 第15頁(yè)/共23頁(yè)展成 x1 的冪級(jí)數(shù). 解解: 22第16頁(yè)/共23頁(yè)201( 1)(1)2nnnnx第17頁(yè)/共23頁(yè)1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法(1) 直接展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式.2. 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式1x( 1,1x x2!21x221x331x441x1( 1)nnxn第18頁(yè)/共23頁(yè)x11nxnnmmm!) 1() 1(當(dāng) m = 1 時(shí)),(x),(x) 1, 1(x第19頁(yè)/共23頁(yè)1. 函數(shù)處 “有泰勒級(jí)數(shù)” 與 “能展成泰勒級(jí)數(shù)” 有何不同 ?提示提示: 后者必需證明前者無(wú)此要求.2. 如何求的冪級(jí)數(shù) ?提示提示:第20頁(yè)/共23頁(yè)將下列函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù)解解:211x時(shí), 因此 級(jí)數(shù)條件收