數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)課程的研究

1、    數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)課程的研究    潘璐+杜勇摘 要：微元法是一類重要的數(shù)學(xué)模型和工具，有著廣泛的應(yīng)用。如何靈活有效的運(yùn)用微元法去解決實(shí)際問題，是微積分教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。本文通過舉例分析總結(jié)，將微元法的應(yīng)用步驟和過程歸納為：建立適當(dāng)坐標(biāo)系；選變量，定范圍；找元素；求總量。并結(jié)合實(shí)際例子的不同求解方法過程進(jìn)行比較說明。關(guān)鍵詞：微元法；數(shù)學(xué)建模；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；做功一、 序言高等數(shù)學(xué)是大學(xué)中一門重要的公共基礎(chǔ)課程，它在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)及工程技術(shù)等領(lǐng)域中有著廣泛而重要的應(yīng)用，而數(shù)學(xué)建模思想方法是學(xué)習(xí)理解掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)有效的重要途徑。數(shù)學(xué)建

2、模是聯(lián)系現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的橋梁，整個(gè)數(shù)學(xué)建模過程就是發(fā)現(xiàn)和分析問題，創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的系統(tǒng)過程。高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中有許多重要的數(shù)學(xué)模型，比如函數(shù)模型、導(dǎo)數(shù)模型、微分模型、積分模型、微分方程模型等，它們大多都是為了解決實(shí)際問題而建立起來的數(shù)學(xué)模型。其中微元法就是解決求總體量的一類重要數(shù)學(xué)模型。微元法也稱為元素法，是微積分學(xué)的重要思想方法之一。微元法不僅成功地解決了諸如不規(guī)則平面圖形的面積、曲線弧的長度、旋轉(zhuǎn)體的體積等初等數(shù)學(xué)難以處理的幾何問題，而且也廣泛應(yīng)用于力學(xué)、電磁學(xué)以及其他的工程技術(shù)領(lǐng)域中。如何靈活有效的運(yùn)用微元法去解決實(shí)際問題，是微積分教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。二、 微

3、元法的原理及應(yīng)用步驟牛頓萊布尼茲公式可理解或解釋為：一個(gè)量的局部微小改變量在整體范圍每一點(diǎn)的無限累積結(jié)果，就是這個(gè)量在整體范圍的總改變量（或總量）?；蛞粋€(gè)量在整體范圍的總改變量（或總量），就是由這個(gè)量的局部微小改變量在整體范圍上每一點(diǎn)的無限累積而成。這就是微元法的思想和原理。（一） 微元法的應(yīng)用條件如果一個(gè)量q的總改變量（或總量）滿足算術(shù)相加性（即整體量是部分量的簡單相加），則可考慮用微元法求總體量。一般的標(biāo)量都具有此特點(diǎn)，如長度、面積、體積、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、質(zhì)量、功等等。如果q是一個(gè)向量，如引力、場(chǎng)強(qiáng)等。則向量之和不滿足簡單的算術(shù)相加性，但它在某一固定方向上的分量滿足算術(shù)相加性。所以，可以對(duì)向量在

4、某一固定方向上用微元法求其分量之和，然后再按向量合成方法求得總向量。（二） 微元法的應(yīng)用步驟微元法的應(yīng)用過程可歸納為下列幾個(gè)步驟：建立適當(dāng)坐標(biāo)系；選變量，定范圍；找元素dq；求總量q=qdq。其中，坐標(biāo)系的選擇，一般有數(shù)軸、直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系等，要根據(jù)所求量的分布范圍特征（比如對(duì)稱性等）去選擇。變量的選擇，一般根據(jù)選定的坐標(biāo)系和問題的特點(diǎn)去選擇。若所求量分布在線上，則一般選一個(gè)變量；若分布在面上，則一般選兩個(gè)變量；若分布在立體上，則一般選三個(gè)變量。應(yīng)根據(jù)所求量分布的范圍特點(diǎn)，以選擇較少的變量并使計(jì)算總量的積分過程簡單容易為原則。范圍的確定，一般就是把研究對(duì)象向變量所在的坐標(biāo)系投影

5、而得到的區(qū)域范圍。元素dq的尋找，一般是對(duì)選定的變量都給以增量，在對(duì)應(yīng)的局部微小范圍內(nèi)，尋找q的部分量的近似值而得到元素dq（局部以不變近似代替變化）。找元素是比較困難的一步，也是最重要的一步。總量的計(jì)算，q=qdq就是無限累積的結(jié)果，也就是把找到的元素在確定的范圍上積分的過程。根據(jù)所選變量的個(gè)數(shù)分別為一重積分、二重積分和三重積分等。三、 微元法的應(yīng)用舉例（一） 求質(zhì)量。不同幾何體的質(zhì)量計(jì)算公式為m=qdm，其中ds、ds、dv分別表示弧長元素、面積元素和體積元素，為密度函數(shù)。上述公式中，當(dāng)密度=1時(shí)，總質(zhì)量公式就變成對(duì)應(yīng)的曲線的弧長、曲面的面積和立體的體積公式了。下面對(duì)立體質(zhì)量的計(jì)算過程作一說明：1. 在直角坐標(biāo)系下以上6種解法中，解法1、2、3選取變量較少，具有一定的特殊性；解法4、5、6選取變量較多，具有一般性。具體求解時(shí)應(yīng)根據(jù)實(shí)際問題靈活運(yùn)用。四、 結(jié)語微元法是微積分學(xué)的重要思想方法之一，也是一類重要的數(shù)學(xué)模型，它在眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用微元法的關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)淖兞亢蛯ふ以?。變量的選擇應(yīng)使元素好找，并且總量積分好算。應(yīng)根據(jù)問題的特點(diǎn)靈活地建立坐標(biāo)系并選取變量，一般盡量選取比較少的變量，并使問題簡化，容易求解。尋找元素時(shí)，一般是通過在局部以不變近似代替變化而得到部分量的近似值，即為所求的元素。但要注意近似代替后的誤差是自變量改變量的高階無