高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案：10.5　直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)_20210103224756

1、10.5直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)典例精析題型一面面垂直的判定與性質(zhì)【例1】 平面平面，A，B，AB與平面、所成的角分別為和，求AB與，的交線l所成的角的大小.【解析】過A、B分別作AAl，BBl，垂足分別為A、B，則AA，BB.連接AB，AB，則ABA，BAB.設(shè)AB1，則AA，AB，BB，所以AB.過B作BCl且BC，連接AC、AC，則ABC為AB與l所成的角，來源:數(shù)理化網(wǎng)因?yàn)锳BBC，且BBAB，所以ABBC為矩形，所以ACBC.又因?yàn)锳ABC，AAACA，所以BC平面AAC，所以ACBC.在RtACB中，cosABC，所以ABC，即AB與l所成的角為.【點(diǎn)撥】此題關(guān)鍵是根據(jù)面面垂直

2、的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形.【變式訓(xùn)練1】如圖一所示，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面為正方形，O1、O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD內(nèi)的射影是O.求證：平面O1DC平面ABCD.【證明】要證明平面O1DC與平面ABCD垂直，考慮到圖中已知平面ABCD的垂線A1O，因而設(shè)法在平面O1DC中找出A1O的平行線.如圖二所示，連接AC，BD，A1C1，則O為AC、BD的交點(diǎn)，O1為A1C1、B1D1的交點(diǎn).由棱柱的性質(zhì)知：A1O1OC，且A1O1OC，所以四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1OO1C.又A1O平面ABCD，所以O(shè)1C平面ABCD，又O1C平面O1DC，所以平面O

3、1DC平面ABCD.題型二線面垂直的判定與性質(zhì)【例2】 RtABC所在平面外一點(diǎn)S滿足SASBSC，D為斜邊AC的中點(diǎn).(1)求證：SD平面ABC；(2)若ABBC，求證：BD平面SAC.【證明】(1)設(shè)E是AB的中點(diǎn).因?yàn)镈是AC的中點(diǎn).所以DEBC，又BCAB，所以DEAB.因?yàn)镾ASB，所以SEAB，又SEDEE，所以AB平面SDE，而SD平面SDE，所以ABSD，又SASC，D為AC的中點(diǎn)，所以SDAC.而ABACA，所以SD平面ABC.(2)若ABBC，則BDAC.又由(1)知，SD平面ABC，所以SDBD，而SDACD，來源:所以BD平面SAC.【點(diǎn)撥】證明直線與平面垂直，關(guān)鍵在于

4、證明直線與平面內(nèi)的兩相交直線垂直.【變式訓(xùn)練2】如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90°，BC1AC，則C1在上底面ABC上的射影H必在()A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.ABC內(nèi)部【解析】選A.題型三折疊問題【例3】 在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，將ABD沿對(duì)角線BD折起，記折起后點(diǎn)A的位置為P，且使平面PBD平面BCD，如圖所示：(1)求證：平面PBC平面PDC；(2)在折疊前的四邊形ABCD中，作AEBD于E，過E作EFBC于F，求折疊后的圖形中PFE的正切值.【解析】(1)折疊前，在四邊形ABC

5、D中，ADBC，ADAB，BAD90°，所以ABD為等腰直角三角形.又因?yàn)锽CD45°，所以BDC90°.折疊后，因?yàn)槠矫鍼BD平面BCD，CDBD，所以CD平面PBD，又因?yàn)镻B平面PBD，所以CDPB.又因?yàn)镻BPD，PDCDD，所以PB平面PDC，又PB平面PBC，故平面PBC平面PDC.(2)AEBD，EFBC，折疊后的這些位置關(guān)系不變，所以PEBD，又平面PBD平面BCD，所以PE平面BCD，所以PEEF，設(shè)ABADa，則BDa，所以PEaBE，在RtBEF中，EFBE·sin 45°a×a.在RtPFE中，tanPFE.【

6、點(diǎn)撥】翻折與展開是一個(gè)問題的兩個(gè)方面，不論是翻折還是展開，均要注意平面圖形與立體圖形各個(gè)對(duì)應(yīng)元素的相對(duì)變化，元素間的大小與位置關(guān)系.一般而言，在翻折過程中， 處在同一個(gè)半平面內(nèi)的元素是不變的，弄清這一點(diǎn)是解決這類問題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練3】如圖，平行四邊形ABCD中，DAB60°，AB2，AD4.將CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求證：ABDE；來源:(2)求三棱錐EABD的側(cè)面積.【解析】(1)證明：在ABD中，來源:因?yàn)锳B2，AD4，DAB60°，所以BD2.所以AB2BD2AD2，所以ABBD.又因?yàn)槠矫鍱BD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，所以AB平面EBD.因?yàn)镈E平面EBD，所以ABDE.(2)由(1)知ABBD.因?yàn)镃DAB，所以CDBD. 從而DEBD.在RtDBE中，因?yàn)镈B2，DEDCAB2，所以SBDEDB·DE2.又因?yàn)锳B平面EBD，BE平面EBD，所以ABBE.因?yàn)锽EBCAD4，所以SABEAB·BE4.來源:數(shù)理化網(wǎng)因?yàn)镈EBD，平面EBD平面ABD，所以ED平面ABD，而AD平面ABD，所以EDAD