余弦定理公式大全（精編版）

1、正弦、余弦定理解斜三角形建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)1三角形基本公式：（1）內(nèi)角和定理：a+b+c=180 ， sin(a+b)=sinc, cos(a+b)= -cosc,cos2c=sin2ba, sin2c=cos2ba（2）面積公式： s=21absinc=21bcsina=21casinbs= pr =)()(cpbpapp ( 其中 p=2cba, r為內(nèi)切圓半徑)（3）射影定理：a = bcosc + ccosb；b = acosc + ccosa；c = acosb + bcosa2正弦定理：2sinsinsinabcrabc外證明：由三角形面積111sinsinsin222sabcbcaac

2、b得sinsinsinabcabc畫出三角形的外接圓及直徑易得：2sinsinsinabcrabc3余弦定理：a2=b2+c2-2bccosa, 222cos2bcaabc；證明：如圖abc中，sin,cos,coschba ahbabhcba22222222sin(cos )2cosachbhbacbabcbca當(dāng) a、 b是鈍角時(shí)，類似可證。正弦、余弦定理可用向量方法證明。要掌握正弦定理、余弦定理及其變形，結(jié)合三角公式，能解有關(guān)三角形中的問題4利用正弦定理，可以解決以下兩類問題：（ 1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角；有三種情況：bsin

3、aab 時(shí)有兩解； a=bsina 或 a=b 時(shí)有 解； absina 時(shí)無解。5利用余弦定理，可以解決以下兩類問題：（1）已知三邊，求三角； （2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角。6熟練掌握實(shí)際問題向解斜三角形類型的轉(zhuǎn)化，能在應(yīng)用題中抽象或構(gòu)造出三角形，標(biāo)出已知量、未知量，確定解三角形的方法；提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力cbahcba練習(xí)題1(2006 山東 ) 在abc中，角,a b c的對(duì)邊分別為, ,a b c，已知,3,13aab，則c（）c.31d.32在 abc中， ab=3 ，bc=13，ac=4 ，則邊 ac上的高為（）a.223 b.233 c.23 d.

4、333 （2002 年上海）在abc中，若 2cosbsina=sinc，則abc的形狀一定是a.等腰直角三角形b.直角三角形c.等腰三角形d.等邊三角形4. (2006 全國 ) 用長度分別為2、3、4、 5、6（單位：cm）的 5 根細(xì)木棒圍成一個(gè)三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為 ( )a. 28 5cm b. 26 10cm c. 23 55cm d. 220cm5. （2006 全國）已知abc的三個(gè)內(nèi)角a、b、 c成等差數(shù)列，且ab=1 ，bc=4 ，則邊 bc上的中線ad的長為_.6.(2006春上海 ) 在abc中，已知5,8acbc，三角形面積為1

5、2，則c2cos .答案:; 3.由 2cosbsina=sinc得acbca222a=c，a=b.4. 組成邊長 6,7,7時(shí)面積最大 ; 5. 3; 6. 257四、經(jīng)典例題【例 1】 (2006 天津 ) 如圖，在abc中，2ac，1bc，43cosc（1）求ab的值；（2）求ca2sin的值 . 解（）：由余弦定理，2222.cosabacbcac bcc341 22 12.42.ab（）解：由3cos4c，且0,c得27sin1cos.4cc由正弦定理 : ,sinsinabbcca解得sin14sin8bccaab。所以，5 2cos8a。由倍角公式5 7sin2sin 2cos1

6、6aaa，且29cos212sin16aa，故3 7sin 2sin 2coscos2sin8acacac.解讀思想：已知兩邊夾角, 用余弦定理 , 由三角函數(shù)值求三角函數(shù)值時(shí)要注意“三角形內(nèi)角”的限制.【例 2】在 abc中，已知a=3,b=2,b=45，求 a,c 及邊 c解：由正弦定理得：sina=23245sin3sinbba, 因?yàn)?b=4590且 ba,所以有兩解a=60或 a=120(1) 當(dāng) a=60時(shí) ,c=180-(a+b)=75 ， c=22645sin75sin2sinsinbcb,(2) 當(dāng) a=120時(shí) ,c=180-(a+b)=15 ， c=22645sin15s

7、in2sinsinbcb解讀思想：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形問題，用正弦定理求解，必需注意解的情況的討論【例 3】(2006 上海 ) 如圖，當(dāng)甲船位于a處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20 海里的 b處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距 10 海里 c 處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往b處救援（角度精確到1） 解 連接 bc,由余弦定理得bc2=202+10222010cos120 =700于是 ,bc=107710120sin20sin acb, sin acb=73,acb90 acb=41 乙船應(yīng)朝北偏東71方向沿直線前往

8、b處救援點(diǎn)撥糾正: 把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解斜三角形問題，在問題中構(gòu)造出三角形，標(biāo)出已知量、未知量，確定解三角_ a_ c_ b30形的方法；【例 4】已知o的半徑為r， ，在它的內(nèi)接三角形abc中，有bbacarsin2sinsin222成立，求abc面積s的最大值解：由已知條件得babrbar2sin2sinsin2222即有2222babca，又222cos222abcbac4c34abbarabcabssinsin44242sin212222232sinsin()4222sin(cossin)22(sin 21cos2 )22sin(2)124raaraaaraara當(dāng)32,()428aab

9、即時(shí), 2max212rs思路方法:1. 邊角互化是解三角形問題常用的手段一般有兩種思路：一是邊化角；二是角化邊。2. 三角形中的三角變換，應(yīng)靈活運(yùn)用正、余弦定理在求值時(shí)，要利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)【研討 . 欣賞】（2006 江西）如圖 , 已知abc是邊長為1的正三角形 , m、n分別是邊ab、ac上的點(diǎn) ,線段mn經(jīng)過abc的中心g. 設(shè)2()33mga.(1) 試將agm、agn的面積 ( 分別記為1s與2s) 表示為的函數(shù) ;(2) 求221211yss的最大值與最小值.解: (1)因?yàn)間為邊長為1的正三角形abc的中心 ,所以233,.3236agmag由正弦定理,sinsin()6

10、6gmga3,6sin()6gm得11sin1sin().26( 3cot)12sin()6sgm ga則或3,sinsin()6sin()666gngagn又得21sin1sin()().26( 3cot)12sin()6sgn ga則或2222221211144(2)sin ()sin ()72(3cot).sin66yss因?yàn)?33, 所以當(dāng)233或時(shí),y的最大值max240y;當(dāng)2時(shí), y的最小值min216y.提煉總結(jié)1掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理；2利用正弦定理，可以解決以下兩類問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（

11、從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）；3. 利用余弦定理，可以解決以下兩類問題：（1）已知三邊，求三角； （ 2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角。4邊角互化是解三角形的重要手段正弦、余弦定理解斜三角形【選擇題】1. （2004 浙江）在abc中， “a30”是“ sina21”的 ( )a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件2. （2004 全國）abc中，a、b、c分別為a、b、c的對(duì)邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，b=30，abc的面積為23，那么b等于 ( )a.231+3c.232+33. 下列條件中，abc是銳角三角形的是 ( )+cosa=

12、51b. ab bc0+tanb+tanc 0 =3，c=33 ，b=304.(2006全國 )abc的內(nèi)角 a、b、c的對(duì)邊分別為a、b、c，若 a、b、c 成等比數(shù)列， 且2ca，則cosb( )a. 14 b. 34 c. 24 d. 23【填空題】5.（2004 春上海） 在abc中，cba、分別是a、b、c所對(duì)的邊。 若105a，45b，22b，則c_6. 在銳角abc中，邊長a=1，b=2，則邊長c的取值范圍是_.練習(xí)簡答：; 1.在abc中，a 300sina 1sina21；sina2130a150a30答案： b2. 2b=a+c. 平 方 得a2+c2=4b2 2ac. 由

13、s=21acsin30 =41ac=23， 得ac=6. a2+c2=4b2 12. 得cosb=acbca2222=6212422bb=442b=23，解得b=1+3 . 答案： b3. 由 tana+tanb+tanc=tanatanbtanc0，a、b、c都為銳角 . 答案： c; 6.若c最大，由cosc0. 得c5 . 又cba=1， 1c5 .【解答題】7. （2004 春北京）在abc中，a、b、c分別是a、b、c的對(duì)邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2c2=acbc，求a的大小及cbbsin的值 .剖析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求a，需找a與三邊的關(guān)系，故可用余

14、弦定理. 由b2=ac可變形為cb2=a，再用正弦定理可求cbbsin的值 .解法一：a、b、c成等比數(shù)列，b2=ac.又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc.在abc中，由余弦定理得cosa=bcacb2222=bcbc2=21，a=60.在abc中，由正弦定理得sinb=aabsin，b2=ac，a=60，acbcbb60sinsin2=sin60 =23.解法二：在abc中，由面積公式得21bcsina=21acsinb.b2=ac，a=60，bcsina=b2sinb.cbbsin=sina=23.評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理

15、.8. （2005 春北京）在abc中， sina+cosa=22，ac=2，ab=3，求 tana的值和abc的面積 .解法一： sina+cosa=2 cos（a 45） =22，cos（a45） =21.又 0a180，a 45=60，a=105.tana=tan （ 45+60） =3131=23 .sina=sin105 =sin （45+60）=sin45 cos60+cos45sin60 =462.sabc=21acabsina=2123462=43（2 +6 ）.解法二： sina+cosa=22，（ sina+cosa）2=21. 2sinacosa=21.0a180， si

16、na0，cosa0.90a180.（ sinacosa）2=12sinacosa=23，sinacosa=26. +得 sina=462.得cosa=462.tana=aacossin=462624=23 .（以下同解法一）9. （ 2004 全國）已知銳角abc中， sin （a+b） =53，sin （ab）=51.（1）求證： tana=2tanb；（2）設(shè)ab=3，求ab邊上的高 .剖析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，結(jié)合圖形，以（1）為鋪墊，解決（2）.（1）證明： sin （a+b）=53，sin （ab）=51，51sincoscossin53sincoscossin

17、bababababababatantan51sincos52cossin=2.tana=2tanb.（2）解：2a+b， sin （a+b）=53.tan （a+b） =43，即babatantan1tantan=43.將 tana=2tanb代入上式整理得2tan2b4tanb1=0，解得 tanb=262（負(fù)值舍去） .得 tanb=262， tana=2tanb=2+6 .設(shè)ab邊上的高為cd，則ab=ad+db=acdtan+bcdtan=623cd. 由ab=3得cd=2+6 ，所以ab邊上的高為2+6 .評(píng)述：本題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和與差的公式以及應(yīng)用，分析和計(jì)算能力.10

18、. 在abc中， sina=cbcbcoscossinsin，判斷這個(gè)三角形的形狀.分析：判斷一個(gè)三角形的形狀，可由三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系確定，亦可由三邊的關(guān)系確定. 采用后一種方法解答本題，就必須“化角為邊”.解：應(yīng)用正弦定理、余弦定理，可得a=abcbacabaccb22222222，所以22222222cababcbccb,化簡得a2=b2+c2. 所以abc是直角三角形 .評(píng)述：恒等變形是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功，變形的方向是關(guān)鍵. 若考慮三內(nèi)角的關(guān)系，本題可以從已知條件推出cosa=0.【探索題】已知a、b、c是abc的三個(gè)內(nèi)角，y=cota+）（cbaacoscossin2.（1）若任意交換兩個(gè)角的位置，y的值是否變化試證明你的結(jié)論.（2）求y的最小值 .解： （ 1）y=cota+）（）（）（cbcbcbcoscossin2=cot a+）（）（）（cbcbcbcoscossin2=cot a+cbc